【正文】 )如圖 ,邊長為 4的正方形 ABCD外切于☉ O,切點分別為 E、 F、 G、 陰影部分的面積為 . ? 答案 2π+4 解析 連接 OH,OF,OE,OG,則由題意可得 H,O,F三點共線 ,E,O,G三點共線 ,OE=OG=OF=OH=2, 易知 EG⊥ FH,∴ S陰影 =S半圓 +S△ HGF=? π22+? 42=2π+4. 12 1210.(2022河南 ,14,3分 )如圖 ,在扇形 AOB中 ,∠ AOB=90176。,以點 A為圓心 ,OA的長為半徑作 ? 交 ? 于點 OA=2,則陰影部分的面積為 . ? OC︵ AB︵答案 ? ? 33?解析 連接 OC,AC,則 OC=OA=AC,所以△ OAC為等邊三角形 ,所以 ∠ COA=∠ CAO=60176。,因為 ∠ AOB=90176。,所以 ∠ BOC=30176。, 所以 S陰影 =S扇形 BOC+S△ OACS扇形 OAC=? +? ? =? π+? ? =? ? . 30 4360? ?2324? 60 4360? ? 133 23?33?評析 本題考查扇形、等邊三角形面積的計算 ,分割法是求陰影部分面積的常見方法 . 11.(2022江蘇連云港 ,16,3分 )如圖 ,☉ P的半徑為 5,A、 B是圓上任意兩點 ,且 AB=6,以 AB為邊作正 方形 ABCD(點 D、 P在直線 AB兩側(cè) ).若 AB邊繞點 P旋轉(zhuǎn)一周 ,則 CD邊掃過的面積為 . ? 答案 9π 解析 CD邊掃過的區(qū)域如圖陰影部分所示 . 作 PF⊥ AB(垂足為 F)并延長交 DC于 E,連接 PC. 易知四邊形 BFEC為矩形 . ∵ FP⊥ AB,∴ FB=? AB=3,∴ EC=3. S陰影 =πPC2πPE2=πEC2=9π. 1212.(2022貴州遵義 ,18,4分 )如圖 ,在圓心角為 90176。的扇形 OAB中 ,半徑 OA=2 cm,C為 ? 的中 點 ,D、 E分別是 OA、 OB的中點 ,則圖中陰影部分的面積為 cm2. ? AB︵答案 ? ? +? 2? 12 22解析 連接 OC,作 CF⊥ AO于點 F,記 AD、 DC與 ? 圍成的圖形的面積為 S. ? ∵ C為 ? 的中點 ,D、 E分別為 OA、 OB的中點 , ∴∠ AOC=? ∠ AOB=45176。,OD=OE=? OA=1 cm. ∴ CF=OF=? cm. ∴ S=S扇形 AOCS△ COD=? ? ODCF=? ? 1? =? cm2.∴ S陰影 =S扇形 AOBSS△ DOE= ? ? ? 11=? cm2. AC︵AB︵12 122245 2360? ? 12 2? 12 2 222????????290 2360? ? 222????????12 122 2 2?????????13.(2022山東濰坊 ,22,8分 )如圖 ,AB為半圓 O的直徑 ,AC是☉ O的一條弦 ,D為 ? 的中點 ,作 DE⊥ AC,交 AB的延長線于點 F,連接 DA. (1)求證 :EF為半圓 O的切線 。 (2)若 DA=DF=6? ,求陰影區(qū)域的面積 .(結(jié)果保留根號和 π) ? BC︵3解析 (1)證明 :連接 OD, ∵ D為 ? 的中點 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ BAD=∠ ADO, ∴∠ CAD=∠ ADO.? (2分 ) ∵ DE⊥ AC,∴∠ E=90176。,∴∠ CAD+∠ EDA=90176。, ∴∠ ADO+∠ EDA=90176。,即 OD⊥ EF,? (3分 ) 又 ∵ OD為半圓 O的半徑 ,∴ EF為半圓 O的切線 .? (4分 ) (2)連接 OC與 CD. BC︵∵ DA=DF,∴∠ BAD=∠ F,∴∠ F=∠ BAD=∠ CAD, 又 ∵∠ BAD+∠ CAD+∠ F=90176。, ∴∠ F=30176。,∠ BAC=60176。,? (5分 ) ∵ OC=OA,∴ △ AOC為等邊三角形 , ∴∠ AOC=60176。,∴∠ COB=120176。. ∵ OD⊥ EF,∠ F=30176。,∴∠ DOF=60176。. 在 Rt△ ODF中 ,DF=6? , ∴ OD=DFtan 30176。=6.? (6分 ) 在 Rt△ AED中 ,DA=6? ,∠ CAD=30176。, 33∴ DE=DAsin 30176。=3? ,EA=DAcos 30176。=9.? (7分 ) ∵∠ COD=180176?！?AOC∠ DOF=60176。,OC=OD, ∴ △ COD為等邊三角形 ,∴∠ OCD=60176。, ∴ CD∥ AB,∴ S△ ACD=S△ COD, ∴ S陰影 =S△ AEDS扇形 COD=? 93? ? π62=? 6π.? (8分 ) 3123 60360 2 7 3214.(2022山東臨沂 ,23,9分 )如圖 ,點 O為 Rt△ ABC斜邊 AB上的一點 ,以 OA為半徑的☉ O與 BC切于 點 D,與 AC交于點 E,連接 AD. (1)求證 :AD平分 ∠ BAC。 (2)若 ∠ BAC=60176。,OA=2,求陰影部分的面積 (結(jié)果保留 π). ? 解析 (1)證明 :連接 OD. ∵ BC是☉ O的切線 ,D為切點 , ∴ OD⊥ BC.? (1分 ) 又 ∵ AC⊥ BC, ∴ OD∥ AC,? (2分 ) ∴∠ ADO=∠ CAD.? (3分 ) 又 ∵ OD=OA, ∴∠ ADO=∠ OAD,? (4分 ) ∴∠ CAD=∠ OAD,即 AD平分 ∠ BAC.? (5分 ) (2)解法一 :連接 OE,ED. ∵∠ BAC=60176。,OE=OA,∴ △ OAE為等邊三角形 , ∴∠ AOE=60176。,∴∠ ADE=30176。. 又 ∵∠ OAD=? ∠ BAC=30176。,∴∠ ADE=∠ OAD, ∴ ED∥ AO,? (6分 ) 12∴ S△ AED=S△ OED,∠ OED=∠ AOE=60176。, ∵ OE=OD,∴ △ ODE為等邊三角形 ,∴∠ DOE=60176。, ∴ 陰影部分的面積 =S扇形 ODE=? =? π.? (9分 ) 解法二 :同解法一 ,得 ED∥ AO,? (6分 ) ∴ 四邊形 AODE為平行四邊形 , ∴ S△ AED=S△ OED=? 2? =? .? (7分 ) 又 S扇形 ODES△ OED=? ? =? π? (△ ODE為等邊三角形 ),? (8分 ) ∴ 陰影部分的面積 =(S扇形 ODES△ OED)+S△ AED=? π? +? =? π.? (9分 ) 60 4360???23123 360 4360??? 3233233 323評析 本題考查了切線的性質(zhì)、扇形的面積等 ,解題的關(guān)鍵是知道連接圓心和切點的直線與 切線垂直 ,能夠?qū)⒉灰?guī)則圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積問題來求解 . 15.(2022江蘇蘇州 ,27,8分 )如圖 ,已知☉ O上依次有 A,B,C,D四個點 ,? =?, 連接 AB,AD,BD,弦 AB不經(jīng)過圓心 AB到 E,使 BE= EC,F是 EC的中點 ,連接 BF. (1)若☉ O的半徑為 3,∠ DAB=120176。,求劣弧 ? 的長 。 (2)求證 :BF=? BD。 (3)設(shè) G是 BD的中點 .探索 :在☉ O上是否存在點 P(不同于點 B),使得 PG=PF?并說明 PB與 AE的位 置關(guān)系 . ? AD︵ BC︵BD︵12解析 (1)連接 OB,OD. ∵∠ DAB=120176。, ∴ ? 所對圓心角的度數(shù)為 240176。. ∴∠ BOD=120176。. ∵ ☉ O的半徑為 3, ∴ 劣弧 ? 的長為 ? π3=2π. (2)證明 :連接 AC. ∵ AB=BE,∴ 點 B為 AE的中點 . ∵ F是 EC的中點 , ∴ BF為△ EAC的中位線 . ∴ BF=? AC. ∵ ? =?, ∴ ? +? =?+ ? , ∴ ? =?. DCB︵BD︵12022012AD︵ BC︵AD︵ AB︵ BC︵ AB︵DAB︵ CBA︵∴ BD=AC. ∴ BF=? BD. (3)存在 .過點 B作 AE的垂線 ,與☉ O的交點即為所求的點 P. 連接 PG,PF. ∵ BF為△ EAC的中位線 ,∴ BF∥ AC. ∴∠ FBE=∠ CAE. ∵ ? =?, ∴∠ CAB=∠ DBA.∴∠ FBE=∠ DBA. 12AD︵ BC︵∵ BP⊥ AE,∴∠ GBP=∠ FBP. ∵ G為 BD的中點 ,∴ BG=? BD. ∴ BG=BF. ∵ BP=BP,∴ △ PBG≌ △ PBF.∴ PG=PF. 此時 PB與 AE相互垂直 . 12考點一 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 1.(2022石家莊橋西一模 ,6)如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 P是☉ O外一點 ,PO交☉ O于點 C,連接 BC, PA .若 ∠ P=40176。,當(dāng) ∠ B等于 時 ,PA與☉ O相切 .? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ OC=OB,∴∠ OCB=∠ B,若 ∠ B=25176。,則 ∠ B=∠ OCB=25176。, ∴∠ POA=∠ B+∠ OCB=50176。,又 ∠ P=40176。,∴∠ PAO=90176。,即 OA⊥ PA ,∴ PA與☉ O相切 ,故選 B. 2.(2022石家莊長安質(zhì)檢 ,13)如圖 ,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長是 1,點 M,N,O均為格點 ,點 N在 ☉ O上 ,若過點 M作☉ O的一條切線 MK,切點為 K,則 MK=? ( ) ? ? ? D.? 2 5 34答案 B 連接 OM,ON,根據(jù)勾股定理可得 OM=? =5,ON=? =? , 過點 M作☉ O的切線 MK,則 OK=? ,∠ OKM=90176。, ∴ MK=? =? =2? ,故選 B. 2234? 2212? 5522OM OK? 225 ( 5)? 53.(2022唐山路北二模 ,10)平面上圓 O與四條直線 l l l l4的位置關(guān)系如圖所示 ,若圓 O的半 徑為 20,且 O點到其中一條直線的距離為 14,則這條直線為 ? ( ) ? 答案 B 點 O到某條直線的距離為 14,且 1420,所以由直線和圓的位置關(guān)系可知 ,這條直線與 ☉ O相交且不過點 O,由題圖可知這條直線為 l2,故選 B. 4.(2022唐山路南一模 ,7)如圖 ,AC是☉ O的切線 ,切點為 C,BC是☉ O的直徑 ,AB交☉ O于點 D,連接 OD,若 ∠ BAC=50176。,則 ∠ COD的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AC是☉ O的切線 ,∴∠ ACB=90176。, ∵∠ BAC=50176。,∴∠ B=90176。50176。=40176。, ∵∠ COD=2∠ B, ∴∠ COD=80176。,故選 B. 5.(2022唐山豐潤一模 ,18)如圖 ,☉ O是 Rt△ ABC的外接圓 ,∠ ACB=90176。,∠ A=25176。,過點 C作圓 O的 切線 ,交 AB的延長線于點 D,則 ∠ D的度數(shù)是 . ? 答案 40176。 解析 連接 OC, ∵ OA=OC,∠ A=25176。, ∴∠ OCA=∠ A=25176。, ∵ CD為☉ O的切線 , ∴∠ OCD=90176。,∵∠ DOC=∠ A+∠ OCA=50176。, ∴∠ D=90176。50176。=40176。. 6.(2022石家莊裕華一模 ,19)如圖 ,P是雙曲線 y=? (x0)上的一點 ,以點 P為圓心 ,1個單位長度為 半徑作☉ P,當(dāng)☉ P與直線 y=3相切時 ,點 P的坐標(biāo)為 . ? 4x答案 (1,4)或 (2,2) 解析 設(shè)點 P的坐標(biāo)為 (x,y), ∵ 點 P是雙曲線 y=? (x0)上的一點 ,∴ xy=4, 如圖 ,分兩種情況 :當(dāng)☉ P與直線 y=3相切時 ,點 P的縱坐標(biāo)為 2, 4x∴ 點 P的橫坐標(biāo)為 2。 當(dāng)☉ P39。與直線 y=3相切時 ,點 P39。的縱坐標(biāo)為 4, ∴ 點 P39。的橫坐標(biāo)為 1. ∴ 點 P的坐標(biāo)為 (1,4)或 (2,2). 7.(2022唐山路南一模 ,24)如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點 ,過點 E作 EC⊥ OA于點 C,過點 B作☉ O的切線交 CE的延長線于點 D. (1)求證 :DB=DE。 (2)若 AB=12,BD=5,過 D點作 DF⊥ AB于點 F. ① 直接寫出 cos∠ EDF的值 。 ② 求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :在△ OAB中 , ∵ OA=OB,∴∠ OAB=∠ OBA. ∵ BD切☉ O于點 B,∴ OB⊥ BD, 即 ∠ OBD=90176。,∴∠ OBA+∠ EBD=90176。, ∵ EC⊥ OA,∴∠ OAB+∠ CEA=90176。