【正文】 第七章 與圓有關(guān)的知識 167。 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) (2022河北 ,6,3分 )如圖 ,AC,BE是☉ O的直徑 ,弦 AD與 BE交于點 F,下列三角形中 ,外心 ? 點 O的 是 ? ( ) ? A.△ ABE B.△ ACF C.△ ABD D.△ ADE ??不 是A組 20222022年河北中考題組 五年中考 答案 B 外心即為三角形外接圓的圓心 , ∵ △ ACF的頂點 F不在圓 O上 ,∴ 圓 O不是△ ACF的外接圓 ,∴ 點 O不是△ ACF的外心 ,故選 B. 解題關(guān)鍵 此題主要考查三角形外心的定義 ,正確把握外心的定義是解題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 圓的有關(guān)概念、垂徑定理 1.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,CD為☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 AB=12,OM∶ MD =5∶ 8,則☉ O的周長為 ? ( ) ? C.? D.? 965? 3 9 1 05 ?答案 B 連接 OA,設(shè) OM=5x(x0),則 MD=8x,∴ OA=OD=13x,又 ∵ AB=12,AB⊥ CD,∴ AM= Rt△ AOM中 ,(5x)2+62=(13x)2,解得 x=? (舍負 ),∴ 半徑 OA=? ,∴ ☉ O的周長為 13π. 12 132方法規(guī)律 如圖 ,設(shè)圓的半徑為 r、弦長為 a、弦心距為 d,弓形的高為 h,則 ? +d2=r2(h=rd或 h= r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量 . ? 22a??????2.(2022新疆 ,9,5分 )如圖 ,☉ O的半徑 OD垂直于弦 AB,垂足為點 AO并延長交☉ O于點 E,連 接 BE,CE,若 AB=8,CD=2,則△ BCE的面積為 ? ( ) ? 答案 A ∵ ☉ O的半徑 OD垂直于弦 AB,AB=8,∴ AC=BC=? AB=4. 設(shè) OA=r,則 OC=ODCD=r2, 在 Rt△ AOC中 ,由勾股定理得 42+(r2)2=r2,解得 r=5,∴ AE=10, 在 Rt△ ABE中 ,BE=? =? =6, ∴ S△ BCE=? BCBE=? 46= A. 1222AE AB? 2210 8?12 12方法指導(dǎo) 運用垂徑定理求相關(guān)線段長度的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 ,進而利用勾股定理求解 . 其最常用的方法是“連接圓心和圓中弦的端點” .若弦長為 l,圓心到弦的距離為 d,半徑為 r,則 根據(jù)勾股定理有 ? l=? . 1222rd?3.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 4,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,連接 OB、 ∠ BAC與 ∠ BOC互補 ,則弦 BC的長為 ? ( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3答案 B ∵∠ BOC+∠ CAB=180176。,∠ BOC=2∠ CAB, ∴∠ BOC=120176。,作 OD⊥ BC交 BC于點 D, ∴ BC=2BD.∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。, ∴ BD=OBcos 30176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知在☉ O中 ,AB是弦 ,半徑 OC⊥ AB,垂足為點 D,要使四邊形 OACB為 菱形 ,還需添加一個條件 ,這個條件可以是 ? ( ) ? =BD =CD C.∠ CAD=∠ CBD D.∠ OCA=∠ OCB 答案 B 根據(jù)垂徑定理知 OD垂直平分 AB,所以添加 OD=CD,即可判定四邊形 OACB是菱形 , 故選 B. 5.(2022四川南充 ,15,3分 )下圖是由兩個長方形組成的工件平面圖 (單位 :mm),直線 l是它的對稱 軸 ,能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是 mm. ? 答案 50 解析 設(shè)符合條件的圓為☉ O,由題意知 ,圓心 O在對稱軸 l上 ,且點 A、 B都在☉ O上 .設(shè) OC=x mm,則 OD=(70x)mm,由 OA=OB,得 OC2+AC2=OD2+BD2,即 x2+302=(70x)2+402,解得 x=40,∴ OA= ? =? =50 mm,即能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是 50 mm. ? 22AC OC? 2230 40?6.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個動 點 ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。,則四邊形 MANB的面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當(dāng)點 M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點時 ,四邊形 MANB的面積取最大值 .連接 MN,此時 MN為☉ O的直徑 ,故 MN=4, ∵∠ AMB=45176。,∴∠ AOB=90176。,∴ AB=? OA=2? . 故四邊形 MANB面積的最大值 =? ABMN=? 2? 4=4? . 2 212 122 27.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點 E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)若 (1)中的點 E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長 . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所示 .? (4分 ) (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因為 ∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦 CE的長為 ? .? (10分 ) BE︵ EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點 M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? = ?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵ EC︵8.(2022河南 ,17,9分 )如圖 ,AB是半圓 O的直徑 ,點 P是半圓上不與點 A,B重合的一個動點 ,延長 BP 到點 C,使 PC=PB,D是 AC的中點 ,連接 PD,PO. (1)求證 :△ CDP≌ △ POB。 (2)填空 : ① 若 AB=4,則四邊形 AOPD的最大面積為 。 ② 連接 OD,當(dāng) ∠ PBA的度數(shù)為 時 ,四邊形 BPDO是菱形 . ? 解析 (1)證明 :∵ D是 AC的中點 ,且 PC=PB, ∴ DP∥ AB,DP=? AB. ∴∠ CPD=∠ PBO.? (3分 ) ∵ OB=? AB,∴ DP=OB. ∴ △ CDP≌ △ POB.? (5分 ) (2)① 4.? (7分 ) (AC⊥ AB時 ,四邊形 AOPD面積最大 ) ② 60176。.(注 :若填 60,不扣分 )? (9分 ) (∵ OP=OB,四邊形 BPDO為菱形 ,∴ OP=OB=PB,△ OBP為等邊三角形 ) 1212考點二 圓周角與圓內(nèi)接四邊形 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點 D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。,∴∠ BAC=50176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。,所以 ∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=65176。5 0176。=15176。,故選 A. 2.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點 .下列四個角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。,易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+ ∠ ACD=90176。,故選 D. 3.(2022廣東 ,9,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,DA=DC,∠ CBE=50176。,則 ∠ DAC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∴∠ D=∠ CBE=50176。,∵ DA=DC,∴∠ DAC=? (180176。50176。)=65176。,故選 C. 12思路分析 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知 ,∠ D=∠ CBE,再由三角形的內(nèi)角和為 180176。及等腰三角形 的性質(zhì) ,求得 ∠ DAC的大小 . 解題關(guān)鍵 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 ∠ D的大小是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點 A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40 176。,則 ∠ P的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵∠ DCE=40176。,CD⊥ OA,CE⊥ OB,∴∠ DOE=180176。40176。=140176。. ∴∠ P=? ∠ AOB=70176。.故選 B. 125.(2022山東威海 ,9,3分 )如圖 ,已知 AB=AC=AD,∠ CBD=2∠ BDC,∠ BAC=44176。,則 ∠ CAD的度數(shù) 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC=AD,∴∠ ABC=∠ ACB,點 B、 C、 D在以 A為圓心的圓上 ,∴∠ BDC=? ∠ BAC,∠ CAD=2∠ CBD, ∵∠ BAC=44176。,∴∠ BDC=22176。,∵∠ CBD=2∠ BDC, ∴∠ CBD=44176。,∴∠ CAD=2∠ CBD=88176。.故選 B. 126.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點 A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。,∠ ACD=50176。,則 ∠ ADB= 176。. ? CB︵ CD︵答案 70 解析 ∵ ? =?, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。,∠ ACD=50176。,∴∠ ADB=180176。 30176。30176。50176。=70176。. CB︵ CD︵7.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,☉ O經(jīng)過點 A、 C、 D,與 BC相交于點 E,連接 AC、 ∠ D=78176。,則 ∠ EAC= 176。. ? 答案 27 解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AD∥ BC,CA平分 ∠ DCB. ∵∠ D=78176。,∴∠ DCB=180176。∠ D=102176。, ∴∠ ACE=? ∠ DCB=51176。. ∵ A、 E、 C、 D四點共圓 ,∴∠ D+∠ AEC=180176。,∴∠ AEC=102176。. 在△ AEC中 ,∠ EAC=180176?！?AEC∠ ACE=180176。102176。51176。=27176。. 12解后反思 本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì) ,掌握這兩個性質(zhì)是 解決問題的關(guān)鍵 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176?；?130176。 解析 當(dāng) I在△ ABC的內(nèi)部時 ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。 當(dāng) I在△ ABC的外部時 ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。,∴∠ A=130176。. 圖 1 圖 2 12129.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4,sin B=? ,則線段 AC的長為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因為 AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176