【正文】 167。 與圓有關(guān)的計(jì)算 中考數(shù)學(xué) (山東專用 ) A組 2022— 2022年山東中考題組 考點(diǎn)一 弧長、扇形的面積 五年中考 1.(2022濱州 ,8,3分 )已知半徑為 5的☉ O是△ ABC的外接圓 ,若 ∠ ABC=25176。,則劣弧 ? 的長為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? AC︵2536π12536π2518π5 π答案 C 先求出劣弧 ? 所對(duì)的圓心角的度數(shù) ,再根據(jù)弧長公式直接代入計(jì)算即可 . AC︵2.(2022德州 ,9,4分 ) 如圖 , 從一塊直徑為 2 m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為 90176。的扇形 ,則此 扇形的面積為 ? ( ) ? A.? m2 B.? π m2 m2 m2 ? 3答案 A 連接 AC,∵∠ B=90176。,∴ AC是☉ O的直徑 ,∴ AB=BC=? =? =? (m),∴ 此扇形的面 積為 ? πAB2=? π? =? π(m2). 2AC2214 14 2( 2)13.(2022威海 ,12,3分 )如圖 ,正方形 ABCD中 ,AB=12,點(diǎn) E為 BC中點(diǎn) ,以 CD為直徑作半圓 CFD,點(diǎn) F 為半圓的中點(diǎn) ,連接 AF,EF,圖中陰影部分的面積是 ? ( ) ? +36π +18π +18π +18π 答案 C 如圖 ,取 CD的中點(diǎn) M,連接 AM、 EM、 DF、 CF、 MF. ? 設(shè)半圓的半徑為 r,則 r=6, ∴ S半圓 CFD=? πr2=? π62=18π,S△ CDF=? 126=36. ∵ 點(diǎn) F是半圓的中點(diǎn) ,M是 CD的中點(diǎn) ,∴ MF⊥ CD, ∴ AD∥ MF, 又 ∵ △ ADF、△ ADM的底相同 ,高相等 , ∴ S△ ADF=S△ ADM=? 126=36. 同理 ,S△ CEF=? 66=18, 11 121212∴ S陰影部分 =S△ ADF+S△ CEF+S半圓 CFDS△ CDF=18+18π. 4.(2022萊蕪 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BCA=90176。,∠ BAC=30176。,BC=2,將 Rt△ ABC繞 A點(diǎn)順時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 90176。得到 Rt△ ADE,則 BC掃過的面積為 ? ( ) ? A.? B.(2? )π C.? π 2? 3232?答案 D ∵∠ BCA=90176。,∴ BC2+AC2=AB2,即 AB2AC2=BC2.∵ 整個(gè)圖形的面積 =△ ABC的面積 + 扇形 BAD的面積 =陰影部分的面積 +扇形 CAE的面積 +△ AED的面積 ,又△ ABC的面積 =△ AED 的面積 ,∴ 陰影部分的面積 =扇形 BAD的面積 扇形 CAE的面積 =? =? =π, 即 BC掃過的面積為 π. 2290 ( )360AB AC???290360BC? ?思路分析 繞 A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。時(shí) ,點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) E,點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) D,則 BC掃過的面積 =S扇形 BADS 扇形 CAE. 易錯(cuò)警示 此類問題容易出錯(cuò)的地方是不會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想 ,將不規(guī)則的圖形、零散的幾個(gè) 圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形之間的和、差關(guān)系或相對(duì)集中形成的規(guī)則圖形的面積 . 5.(2022煙臺(tái) ,9,3分 )如圖 ,?ABCD中 ,∠ B=70176。,BC= AD為直徑的☉ O交 CD于點(diǎn) E,則 ? 的長 為 ? ( ) ? A.? π B.? π C.? π D.? π DE︵13 23 76 43答案 B 如圖 ,連接 OE. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD=BC=6,∠ D=∠ B=70176。, ∴ OD=3.∵ OD=OE,∴∠ OED=∠ D=70176。. ∴∠ DOE=40176。. ∴ ? 的長 =? =? π. ? DE︵40 3180? ?23思路分析 求弧長需要先求得弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) ,故此先連接 OE,先依據(jù)平行線四邊形 的性質(zhì)求得 ∠ D的度數(shù) ,然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得 ∠ DOE的 度數(shù) ,最后利用扇形的弧長公式求解即可 . 6.(2022棗莊 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB,∠ CDB=30176。,CD=2? ,則陰影部分的面 積為 ? ( ) ? C.? D.? 33? 23?答案 D 設(shè) AB與 CD的交點(diǎn)為 OD. ∵ AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB,∴ CE=DE=? CD=? , ∵ S△ COE=? CEOE,S△ DOE=? DEOE,∴ S△ COE=S△ DOE, ∴ S陰影部分 =S扇形 BOD,∵∠ COB=2∠ CDB=60176。, ∴∠ BOD=60176。,∴ OD=? =2, ∴ S扇形 BOD=? =? ,即 S陰影部分 =? .故選擇 D. 12 312 12sin 6 0DE? 260 2360???3?23?思路分析 連接 OD,設(shè) AB、 CD交于點(diǎn) E,首先根據(jù)垂徑定理得到 CE=DE,進(jìn)一步得到 S△ COE=S△ DOE,從而把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形 BOD的面積 ,然后求解即可 . 7.(2022臨沂 ,10,3分 )如圖 ,AB是☉ O的切線 ,B為切點(diǎn) ,AC經(jīng)過點(diǎn) O,與☉ O分別相交于點(diǎn) D, ∠ ACB=30176。,AB=? ,則陰影部分的面積是 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? D.? ? 3326? 326? 336?答案 C 連接 OB, ∵ AB是☉ O的切線 ,B為切點(diǎn) ,∴∠ OBA=90176。, 又 ∠ AOB=2∠ ACB=60176。, ∴∠ OAB=30176。. 在 Rt△ ABO中 ,設(shè) OB=x,則 OA=2x,∵ OB2+AB2=OA2, ∴ x2+(? )2=(2x)2,解得 x=1(負(fù)值舍去 ), ∴ S陰影 =S△ OABS扇形 BOD=? ABOB? =? ? 1? =? ? .故選 C. 312260 1360???12 36? 326?評(píng)析 本題考查了切線的性質(zhì)、扇形的面積公式 .此題難度適中 ,注意掌握輔助線的作法 ,注意 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 8.(2022青島 ,13,3分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ B=90176。,∠ C=30176。,O為 AC上一點(diǎn) ,OA=2,以 O為圓心 ,OA為 半徑的圓與 CB相切于點(diǎn) E,與 AB相交于點(diǎn) F,連接 OE、 OF,則圖中陰影部分的面積是 . ? 答案 ? ? π 73243解析 在 Rt△ ABC中 ,易知 ∠ A=60176。.∵ OA=OF,∴ △ OAF是等邊三角形 ,∴∠ AOF=60176。,∴∠ COF=120176。.∵ BC與☉ O相切于點(diǎn) E, ∴∠ OEC=90176。,又 ∠ C=30176。,OE=OA=2,∴ OC= Rt△ ABC中 ,∠ C=30176。,AC=AO+OC=2+4=6,∴ AB=? AC=3,BC=ACcos C=6? =3? .設(shè)☉ O與 AC的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,過 O作 OG⊥ AF于點(diǎn) G, 如圖所示 ,則 OG=OAsin A=2? =? .∵ S△ ABC=? ABBC=? 33? =? ,S△ AOF=? AFOG= ? 2? =? ,S扇形 ODF=? =? π, ∴ S陰影部分 =S△ ABCS△ AOFS扇形 ODF=? ? ? π=? ? π. ? 12 32332312 12 3932121 33212 2360? ?439323437324易錯(cuò)警示 此類問題容易出錯(cuò)的地方是找不到復(fù)雜圖形的面積組合方式 ,求解時(shí)要將復(fù)雜圖 形轉(zhuǎn)化為能夠直接計(jì)算面積的圖形 . 思路分析 S陰影部分 =S△ ABCS△ AOFS扇形 DOF,分別求出兩個(gè)三角形和一個(gè)扇形的面積即可 . 9.(2022日照 ,15,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD中 ,AB=CD,AD∥ BC,以點(diǎn) B為圓心 ,BA為半徑的圓弧與 BC交于點(diǎn) E,四邊形 AECD是平行四邊形 ,AB=6,則扇形 (圖中陰影部分 )的面積是 . ? 答案 6π 解析 ∵ 四邊形 AECD是平行四邊形 , ∴ AE=CD,∵ AB=BE=CD=6, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE是等邊三角形 ,∴∠ B=60176。, ∴ ? =? =6π. BAES扇 形260 6360? ?思路分析 在四邊形 ABCD中 ,AE=CD,易得△ ABE是等邊三角形 ,即可求得 ∠ B的度數(shù) ,從而求 得扇形 BAE的面積 . 10.(2022煙臺(tái) ,17,3分 )如圖 ,C為半圓內(nèi)一點(diǎn) ,O為圓心 ,直徑 AB長為 2 cm,∠ BOC=60176。,∠ BCO=90 176。.將△ BOC繞圓心 O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ B39。OC39。,點(diǎn) C39。在 OA上 ,則邊 BC掃過區(qū)域 (圖中陰影部分 )的面 積為 cm2. ? 答案 ? 4?解析 ∵∠ BOC=60176。,△ B39。OC39。是由△ BOC繞圓心 O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的 , ∴ △ BCO≌ △ B39。C39。O,∠ B39。OC39。=60176。, ∴∠ B39。OC=60176。,∴∠ B39。OB=120176。, ∵ AB=2 cm,∴ OB=1 cm,易得 OC39。=? cm,B39。C39。=? cm, ∴ S扇形 B39。OB=? =? cm2,S扇形 C39。OC=? =? cm2, ∴ S陰影 =S扇形 B39。OB+S△ B39。C39。OS△ BCOS扇形 C39。OC=S扇形 B39。OBS扇形 C39。OC=? ? =? cm2. 12 322120 1360? ?3?11204360? ?12?3??411.(2022臨沂 ,23,9分 ) 如圖 ,△ ABC為等腰三角形 ,O是底邊 BC的中點(diǎn) ,腰 AB與☉ O相切于點(diǎn) D, OB與☉ O相交于點(diǎn) E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。 (2)若 BD=? ,BE=1,求陰影部分的面積 . ? 3解析 (1)證明 :如圖 ,過點(diǎn) O作 OF⊥ AC,垂足為點(diǎn) F,連接 OD,OA. ? ∵ △ ABC是等腰三角形 ,點(diǎn) O是底邊 BC的中點(diǎn) , ∴ AO是△ ABC的高線 ,也是 ∠ BAC的平分線 , ∵ AB是☉ O的切線 , ∴ OD⊥ AB, 又 ∵ OF⊥ AC, ∴ OF=OD,即 OF是☉ O的半徑 , ∴ AC是☉ O的切線 . (2)在 Rt△ BOD中 ,BE=1,BD=? ,設(shè) OD=OE=x,則 OB=x+1,由勾股定理 ,得 (x+1)2=x2+(? )2,解得 x= 3 31,∴ OB=2,OD=OF=1. ∵ sin∠ BOD=? =? ,∴∠ BOD=60176。, ∴∠ AOD=∠ AOF=90176?！?BOD=30176。, ∴ AD=AF=ODtan∠ AOD=? , ∴ S陰影 =S四邊形 ADOFS扇形 ODF=? ADOD2? π12=? ? =? . BD32 3312 60360336?236 ??思路分析 (1)過點(diǎn) O作 OF⊥ AC于點(diǎn) F,證明 OF=OD,即證明 OF是☉ O的半徑 ,又 OF⊥ AC,所以 證得 AC是☉ O的切線 .(2)根據(jù) BD和 BE的長 ,由勾股定理算出☉ O的半徑的長 ,結(jié)合三角函數(shù)算 出 ∠ BOD和 ∠ AOD的度數(shù) ,然后根據(jù)四邊形和扇形的面積公式求解 . 考點(diǎn)二 圓柱與圓錐的側(cè)面展開圖 1.(2022東營 ,8,3分 )若圓錐的側(cè)面積等于其底面積的 3倍 ,則該圓錐側(cè)面展開圖所對(duì)應(yīng)扇形圓心 角的度數(shù)為 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 答案 C 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為 r,母線長為 l,側(cè)面展開圖所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為 n176。. 根據(jù)題意得 πrl=3πr2,則 l=3r,則有 2πr=? ,解得 n=120. 180nl?思路分析 利用圓錐側(cè)面積和底面積之間的關(guān)系 ,得到母線長 l與底面圓的半徑 r之間的關(guān)系 , 再用兩種不同的方式表示圓錐側(cè)面展開圖 (扇形 )的面積 ,即可求得扇形圓心角的度數(shù) . 易錯(cuò)警示 此類問題容易出錯(cuò)的地方是不知道幾何體側(cè)面展開圖的形狀 ,以及幾何體側(cè)面展 開圖與幾何體各個(gè)部分之間的聯(lián)系 ,再有就是沒有掌握好相關(guān)的計(jì)算公式 . 拓展延伸 圓錐的側(cè)面展開圖及相關(guān)公式 : S圓錐側(cè) =πrl,S圓錐全 =πrl+πr2,其中 r為底面圓的半徑 ,l為母線長 ,h為圓錐高 . ? 2.(2022威海 ,8,3分 )若用一張直徑為 20 cm的半圓形鐵片做一個(gè)圓錐的側(cè)面 ,接縫忽略不計(jì) ,則 所得圓錐的高為 ? ( ) ? cm ? cm C.? cm cm 3 55 1 52答案 A 設(shè)所得圓錐的底面半徑為 r cm,高為 h cm,依題意 ,得 ? 20π=2πr,解得 r=5,則 h= ? =5? (cm).故選 A. 12210