【文章內容簡介】 3,設 AF=x(x0),則 BF=3x,在 Rt△ ABF中 , 由勾股定理得 AF2+BF2=AB2,即 x2+(3x)2=22,解得 x=? (負值舍去 ),所以 3x=? ,即 BF=? .故 選 B. ADDEBF311053 1 053 1 05思路分析 先通過證明△ ADE∽ △ BFA得到 AF與 BF的數(shù)量關系 ,再在 Rt△ ABF中 ,由勾股定理 建立方程求解 . 2.(2022天津 ,10,3分 )如圖 ,把一張矩形紙片 ABCD沿對角線 AC折疊 ,點 B的對應點為 B39。,AB39。與 DC 相交于點 E,則下列結論一定正確的是 ? ( ) ? A.∠ DAB39。=∠ CAB39。 B.∠ ACD=∠ B39。CD =AE =CE 答案 D 由折疊知 ,∠ EAC=∠ BAC,∵ AB∥ CD,∴∠ ECA=∠ BAC, ∴∠ EAC=∠ ECA,∴ AE= D. 3.(2022山東臨沂 ,12,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,延長 AD到 E,使 DE=AD,連接 EB,EC, ,? 使四邊形 DBCE成為矩形的是 ? ( ) ? =BE ⊥ DC C.∠ ADB=90176。 ⊥ DE ??不 能答案 B ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC,AD=BC,AB=CD,∴ DE∥ BC,又 DE=AD,∴ DE=BC,∴ 四邊形 DBCE是平行四邊形 .若 AB=BE,則 CD=BE,則平行四邊形 DBCE是矩形 .若 CE ⊥ DE,即 ∠ DEC=90176。,則平行四邊形 DBCE是矩形 .若 ∠ ADB=90176。,則 ∠ BDE=90176。,則平行四邊形 DBCE是矩形 .當 BE⊥ DC時 ,平行四邊形 DBCE是菱形 .故選 B. 4.(2022安徽 ,9,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點 E在 AB上 ,點 F在 CD上 ,點 G、 H在對角線 AC上 ,若四邊形 EGFH是菱形 ,則 AE的長是 ? ( ) ? ? ? 55答案 C 連接 EF交 GH于點 O,由四邊形 EGFH為菱形 ,可得 EF⊥ GH,OH=OG,因為四邊形 ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。.因為 AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。因為 EO⊥ GH,∠ B=90176。,所以 ∠ AOE=∠ B,又因為 ∠ OAE= ∠ BAC,所以△ AOE∽ △ ABC,所以 ? =? =? ,所以 AE=5,故選 C. 22AB BC?512 5AO545.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=5,AD=3,動點 P滿足 S△ PAB=? S矩形 ABCD,則點 P到 A、 B 兩點距離之和 PA +PB的最小值為 ? ( ) ? A.? B.? ? D.? 132934241答案 D 設△ PAB中 AB邊上的高是 h. ∵ S△ PAB=? ? , ∴ ? ABh=? ABAD, ∴ h=? AD=2, ∴ 動點 P在與 AB平行且與 AB的距離是 2的直線 l上 ,如圖 ,作 A關于直線 l的對稱點 E,連接 AE,連接 BE,則 BE就是所求的最短距離 . 在 Rt△ ABE中 ,∵ AB=5,AE=2+2=4, ∴ BE=? =? =? , 即 PA +PB的最小值為 ? . 故選 D. ? 13 ABCDS矩 形121323 22B AE?2254?41解題關鍵 本題考查了軸對稱、最短路徑問題 ,三角形的面積 ,矩形的性質 ,勾股定理 ,兩點之 間線段最短的性質 ,得出 PA +PB最小時動點 P所在的位置是解題的關鍵 . 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,M為 BC邊上一點 ,連接 AM,過點 D作 DE⊥ AM,垂足為 E,若 DE=DC=1,AE=2EM,則 BM的長為 . ? 答案 ? 255解析 ∵∠ BAM+∠ EAD=90176。,∠ EAD+∠ EDA=90176。, ∴∠ BAM=∠ ∵∠ B=∠ AED=90176。, ∴ △ ADE∽ △ MAB.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AE= AE=2EM可設 AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負 ),∴ BM=2x=? . AEDEAB1155 57.(2022黑龍江哈爾濱 ,19,3分 )在矩形 ABCD中 ,AD=5,AB=4,點 E,F在直線 AD上 ,且四邊形 BCFE 為菱形 ,若線段 EF的中點為點 M,則線段 AM的長為 . 答案 解析 如圖① ,依題意知 BE=BC=5, 則 AE=3,又 EF=5,M是 EF的中點 ,則 EM=, ∴ AM=3+=. ? 圖① 如圖② ,同理 ,FD=3,MF=, 則 DM=DF+FM=3+=, AM=DMDA==. ? 圖② 綜上 ,線段 AM的長為 . 8.(2022福建 ,24,12分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,P,E分別是線段 AC,BC上的點 ,且四邊形 PEFD為矩形 . (1)若△ PCD是等腰三角形 ,求 AP的長 。 (2)若 AP=? ,求 CF的長 . ? 2解析 (1)在矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,∠ ADC=90176。, ∴ DC=AB=6,∴ AC=? =10. 要使△ PCD是等腰三角形 ,有如下三種情況 : ①當 CP=CD時 ,CP=6,∴ AP=ACCP=4. ②當 PD=PC時 ,∠ PDC=∠ PCD, ∵∠ PCD+∠ PAD=∠ PDC+∠ PDA=90176。, ∴∠ PAD=∠ PDA,∴ PD=PA , ∴ PA =PC,∴ AP=? ,即 AP=5. ③當 DP=DC時 ,過 D作 DQ⊥ AC于 Q,則 PQ=CQ. ∵ S△ ADC=? ADDC=? ACDQ, ∴ DQ=? =? , ∴ CQ=? =? , ∴ PC=2CQ=? ,∴ AP=ACPC=? . 22AD DC?212 12 D DCAC?245 DC DQ?185365145? 綜上所述 ,若△ PCD是等腰三角形 ,則 AP=4,或 AP=5,或 AP=? . (2)連接 PF,DE,記 PF與 DE的交點為 O,連接 OC. ∵ 四邊形 ABCD和四邊形 PEFD都是矩形 , ∴∠ ADC=∠ PDF=90176。, 即 ∠ ADP+∠ PDC=∠ PDC+∠ CDF, ∴∠ ADP=∠ CDF. ∵∠ BCD=90176。,OE=OD,∴ OC=? ED. 在矩形 PEFD中 ,PF=DE,∴ OC=? PF. 1451212∵ OP=OF=? PF,∴ OC=OP=OF, ∴∠ OCF=∠ OFC,∠ OCP=∠ OPC, 又 ∵∠ OPC+∠ OFC+∠ PCF=180176。, ∴ 2∠ OCP+2∠ OCF=180176。,∴∠ PCF=90176。,即 ∠ PCD+∠ FCD=90176。. 在 Rt△ ADC中 ,∠ PCD+∠ PAD=90176。,∴∠ PAD=∠ FCD. ∴ △ ADP∽ △ CDF,∴ ? =? =? .∵ AP=? ,∴ CF=? . ? 12 CDAD34 2324易錯警示 在第 (1)問中 ,分三種情況 CP=CD、 PD=PC、 DP=DC討論 ,不能丟解 . 一題多解 在第 (2)問中 ,連接 PF,DE,PF與 DE相交于點 O,連接 OC. ∵ 四邊形 DPEF是矩形 ,∴ OP=OE=OD=OF. ∵ △ ECD是直角三角形 ,∴ OC=OE=OD. ∴ D、 P、 E、 C、 F都在以 O為圓心 , OC為半徑的圓上 . ∴∠ PCF=∠ BCD=90176。,∴∠ DCF=∠ ACB. ∵ AD∥ BC,∴∠ ACB=∠ DAC. ∴∠ DCF=∠ DAP. 又 ∵∠ ADC=∠ PDF=90176。, ∴∠ CDF=∠ ADP,∴ △ CDF∽ △ ADP. ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ CF=? . AP268324考點二 菱形 1.(2022河南 ,10,3分 )如圖 1,點 F從菱形 ABCD的頂點 A出發(fā) ,沿 A→ D→ B以 1 cm/s的速度勻速運 動到點 2是點 F運動時 ,△ FBC的面積 y(cm2)隨時間 x(s)變化的關系圖象 ,則 a的值為 ? ( ) ? 圖 1 ? 圖 2 A.? C.? ? 552 5答案 C 如圖 ,作 DE⊥ BC于點 E,在菱形 ABCD中 ,當 F在 AD上時 ,y=? BCDE,即 a=? aDE, ∴ DE=2. ? 由題意知 DB=? ,在 Rt△ DEB中 , BE=? =1,∴ EC=a1. 在 Rt△ DEC中 ,DE2+EC2=DC2, ∴ 22+(a1)2=a2. 解得 a=? .故選 C. 12 125 22DB DE?52思路分析 當點 F在 AD上運動時 ,y不變 ,值為 a,可求得菱形的 BC邊上的高為 2,由點 F在 BD上運 動的時間為 ? ,得出 BD的長 ,作出菱形的 BC邊上的高 ,由勾股定理可求 a值 . 5解后反思 本題為菱形中的動點和函數(shù)圖象問題 ,關鍵要根據菱形的各邊都相等以及 y的意義 求出菱形的 BC邊上的高和 BD的長 ,再構造直角三角形 ,用勾股定理求解 . 2.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點 E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點 , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 12 22OB OA?55思路分析 首先根據菱形的性質得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,然后根據三角形中位線定理 得出 EF=? AC,EH=? BD,進而得到 OB=2OA,最后根據勾股定理求得 AB=? OA,即得 AB=? EF. 12 12 5 53.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,添加下列條件 ? 判定 ?ABCD是菱形的只有 ? ( ) ? ⊥ BD =BC =BD D.∠ 1=∠ 2 ??不 能答案 C 根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得選項 A正確 。根據一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形可得選項 B正確 。對角線相等的平行四邊形為矩形 ,故選項 C錯誤 。因為 CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1=∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D正確 .故選 C. 4.(2022寧夏 ,5,3分 )菱形 ABCD的對角線 AC,BD相交于點 O,E,F分別是 AD,CD邊上的中點 ,連接 EF=? ,BD=2,則菱形 ABCD的面積為 ? ( ) ? ? ? ? ? 22222答案 A 因為 E,F分別是 AD,CD邊上的中點 ,所以 EF∥ AC,且 EF=? AC,所以 AC=2EF=2? .所 以 S菱形 ABCD=? ACBD=? 2? 2=2? .故選 A. 12 212 1 225.(2022遼寧沈陽 ,7,3分 )順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點 ,所形成的四邊形是 ? ( ) 答案 B 如圖 ,在△ ABD中 ,E,F分別是 AB,AD的中點 , ∴ EF是△ ABD的中位線 ,∴ EF=? BD,同理 ,GH=? BD,EH=? AC,FG=? AC,∵ AC=BD,∴ EF=FG= HG=HE,∴ 四邊形 EFGH是菱形 . ? 12 12 12 126.(2022新疆烏魯木齊 ,12,4分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,∠ DAB=60176。,AB=2,則菱形 ABCD的面積為 . ? 答案 2? 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AB=AD= ,作 DE⊥ AB交 AB于點 E,則 DE=ADsin 60176。=? , ∴ S菱形 ABCD=ABDE=2? . ? 337.(2022內蒙古包頭 ,19,3分