【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一定大于 135176。,其中正確結(jié)論的序號(hào)為 . ? 2答案 ①②③ 解析 如圖所示 , ? 取 CE的中點(diǎn) O,以點(diǎn) O為圓心 ,OH 為半徑畫(huà)圓 ,連接 DH,延長(zhǎng) EH交 AD于 F,連接 FM,BH,HM,易知 EH=HA=HF.① 當(dāng) ∠ DHC=60176。時(shí) ,易得 ∠ CEB=∠ CHB=60176。,則 ∠ BCE=30176。,所以 2BE=CE=DM,故 ①正確 .② 因?yàn)?∠ CHE=90176。,所以 ∠ AHF=90176。,易知 ∠ DHF=∠ AHM,所以 ∠ DHM=90176。,易知 DH= HM,所以無(wú)論點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)到何處 ,都有 DM=? HM,故②正確 .由②可知 ∠ DHM=90176。,而 ∠ CHD45176。,所以無(wú)論點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到何處 ,∠ CHM 一定大于 135176。,故③正確 .所以①②③都正確 . 2思路分析 點(diǎn) E在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ,∠ CBA=∠ CHE=90176。,故 B、 E、 H、 C四點(diǎn)共圓 ,作出圖形 ,再進(jìn) 行判斷 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要借助中點(diǎn)發(fā)現(xiàn)輔助圓 . 14.(2022安徽 ,14,5分 )在三角形紙片 ABC中 ,∠ A=90176。,∠ C=30176。,AC=30 B的 直線折疊 ,使點(diǎn) A落在斜邊 BC上的一點(diǎn) E處 ,折痕記為 BD(如圖 1),剪去△ CDE后得到雙層△ BDE (如圖 2),再沿著過(guò)△ BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi) ,使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是 平行四邊形 .則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為 cm. ? 答案 40或 ? ? (只寫(xiě)出一個(gè)正確答案得 3分 ) 8033解析 由已知可知△ ADB≌ △ EDB,又 ∠ A=90176。,∠ C=30176。,所以 ∠ ABD=∠ EBD=∠ C=30176。,則 CD= BD,設(shè) AD=DE=x cm,則 CD=(30x)cm,在直角三角形 ABD中 ,sin 30176。=? =? =? ,解得 x=10,所 以 BD=20 cm,AB=10? :① 取 BD的中點(diǎn) F,連接 EF, AF,沿 EF剪開(kāi)所得四邊形 ADEF是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DE為 10 cm,故其周長(zhǎng)為 40 cm。 ② 作 ∠ EDB的平分線 DM,沿 DM剪開(kāi)所得四邊形是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DM=? = ? =? cm,故其周長(zhǎng)為 4? =? ? ,所求周長(zhǎng)為 40 cm或 ? ? cm. ADBD 30x x? 123cos 30DE?10322 0 33 2 0 33 80338033思路分析 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得△ ADB≌ △ EDB,由已知可求 AD,AB,BD,考慮到在三角形 BDE 中 ,∠ BED=90176。,∠ EBD=30176。,∠ BDE=60176。,故沿 BD上的中線或 ∠ EDB的平分線剪開(kāi)可得平行四 邊形 ,且都為菱形 ,求出邊長(zhǎng)即可求得周長(zhǎng) . 15.(2022黑龍江哈爾濱 ,19,3分 )四邊形 ABCD是菱形 ,∠ BAD=60176。,AB=6,對(duì)角線 AC與 BD相交于 點(diǎn) O,點(diǎn) E在 AC上 ,若 OE=? ,則 CE的長(zhǎng)為 . 3答案 2? 或 4? 3 3解析 根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 ∠ BAO=30176。,AC⊥ BD,OA= AB=6可得 OA=OC =3? ,當(dāng) E在 OA上時(shí) ,CE=OC+OE=3? +? =4? ,當(dāng) E在 OC上時(shí) ,CE=OCOE=3? ? =2? . 綜上 ,CE的長(zhǎng)為 4? 或 2? . 33 3 3 3 3 33 316.(2022河北 ,18,3分 )如圖 ,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡 ,計(jì)算 ∠ α= 176。. ? 答案 56 解析 如圖 ,∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ DAC=∠ ACB=68176。.由作法可知 AF是 ∠ DAC的平分線 , ∴∠ EAF=? ∠ DAC=34176。. 由作法可知 ,EF是線段 AC的垂直平分線 ,∴∠ AEF=90176。, ∴∠ AFE=90176。34176。=56176。,∴∠ α=56176。. ? 12思路分析 由矩形的性質(zhì)得 AD∥ BC,可得出 ∠ DAC的度數(shù) ,由作法可知 AF為 ∠ DAC的平分線 , 從而求出 ∠ EAF的度數(shù) ,又可知 EF為線段 AC的垂直平分線 ,從而得出 ∠ AEF的度數(shù) ,根據(jù)三角 形內(nèi)角和定理得出 ∠ AFE的度數(shù) ,進(jìn)而可得出 ∠ α的度數(shù) . 解題關(guān)鍵 熟悉角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵 . 17.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,15,3分 )已知平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn) A在第三象限 ,對(duì)角線 AC的中點(diǎn) 在坐標(biāo)原點(diǎn) ,一邊 AB與 x軸平行且 AB=2,若點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b),則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 . 答案 (a2,b)或 (a+2,b) 解析 因?yàn)?AB∥ x軸 ,A(a,b),且 AB=2,所以 B的坐標(biāo)為 (a+2,b)或 (a2,b),因?yàn)??ABCD是中心對(duì)稱(chēng) 圖形 ,其對(duì)稱(chēng)中心與原點(diǎn)重合 ,所以點(diǎn) B與點(diǎn) D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ,所以點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (a2,b)或 (a+2, b). 18.(2022廣東 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC=2? ,E為 BC邊上一點(diǎn) ,BC= ABCD沿 AE所在的直線折疊 ,B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線 AC上的 B39。處 ,則 AB= . ? 3答案 ? 3解析 由折疊和矩形的性質(zhì) ,可知 BE=B39。E,∠ AB39。E=∠ ABE=90176。,∴∠ EB39。C=90176。. ∵ BC=3BE, ∴ EC=2BE=2B39。E, ∴∠ ACB=30176。,∴ AB=? AC. ∵ AC=2? ,∴ AB=? . 123 319.(2022湖北黃岡 ,20,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,分別以邊 BC,CD作等腰△ BCF,△ CDE,使 BC=BF, CD=DE,∠ CBF=∠ CDE,連接 AF,AE. (1)求證 :△ ABF≌ △ EDA。 (2)延長(zhǎng) AB與 CF相交于點(diǎn) AF⊥ AE,求證 :BF⊥ BC. ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AB=CD=DE,BF=BC=AD,∠ ABC=∠ ADC, 又 ∠ CBF=∠ CDE,∴∠ ABF=∠ ADE, 在△ ABF與△ EDA中 ,AB=ED,∠ ABF=∠ EDA,BF=DA, ∴ △ ABF≌ △ EDA. (2)由 (1)知 ∠ EAD=∠ AFB, ∴∠ GBF=∠ AFB+∠ BAF=∠ EAD+∠ BAF, 易知 AD∥ BC,∴∠ DAG=∠ CBG,∵ AF⊥ AE,∴∠ EAF=90176。, ∴∠ FBC=∠ FBG+∠ CBG=∠ EAD+∠ FAB+∠ DAG=∠ EAF=90176。, ∴ BF⊥ BC. 20.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,22,8分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC,∠ ABC=90176。,AB=AD,連接 BD,點(diǎn) E 在 AB上 ,且 ∠ BDE=15176。,DE=4? ,DC=2? . (1)求 BE的長(zhǎng) 。 (2)求四邊形 DEBC的面積 . (注意 :本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào) ) ? 3 21解析 (1)在四邊形 ABCD中 , ∵ AD∥ BC,∠ ABC=90176。,∴∠ BAD=90176。. ∵ AB=AD,∴∠ ABD=∠ ADB=45176。. ∵∠ BDE=15176。,∴∠ ADE=30176。. 在 Rt△ ADE中 ,∵ DE=4? , ∴ AE=sin 30176。4? =2? ,AD=cos 30176。4? =6. ∴ AB=AD=6,∴ BE=62? .? (5分 ) (2)過(guò)點(diǎn) D作 DF⊥ BC于點(diǎn) F, ∴∠ BFD=90176。. ∵∠ BAD=∠ ABC=90176。,∴ 四邊形 ABFD是矩形 , ∴ BF=AD=6,DF=AB=6. 在 Rt△ DFC中 ,∵ DC=2? , ∴ FC=4? ,∴ BC=6+4? . ∴ S四邊形 DEBC=S△ DEB+S△ BDC=36+6? .? (8分 ) 33 3 33213 3321.(2022呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,已知 A、 F、 C、 D四點(diǎn)在同一條直線上 ,AF=CD,AB∥ DE,且 AB =DE. (1)求證 :△ ABC≌ △ DEF。 (2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90176。,請(qǐng)直接寫(xiě)出使四邊形 EFBC為菱形時(shí) AF的長(zhǎng)度 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D, ∵ AF=CD,∴ AF+FC=CD+FC,即 AC=DF, 又 ∵ AB=DE,∴ △ ABC≌ △ DEF. (2)? (過(guò)點(diǎn) E作 EO⊥ CF于 O,由 EF=3,ED=4,∠ DEF=90176。,可得 DF=5,所以 EO=,又四邊形 EFBC 為菱形 ,所以 FO=CO=,所以 AF=CD==). 7522.(2022山西 ,22,12分 )綜合與實(shí)踐 問(wèn)題情境 :在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上 ,老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題 :如圖 1,在矩形 ABCD中 ,AD=2AB,E是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,且 BE=AB,連接 DE,交 BC于點(diǎn) M,以 DE為一邊在 DE的左下方作正方形 DEFG,連 接 AM與 DE的位置關(guān)系 . 探究展示 :勤奮小組發(fā)現(xiàn) ,AM垂直平分 DE,并展示了如下的證明方法 : 圖 1 證明 :∵ BE=AB,∴ AE=2AB. ∵ AD=2AB,∴ AD=AE. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC. ∴ ? =? .(依據(jù) 1) ∵ BE=AB,∴ ? =1.∴ EM=DM. 即 AM是△ ADE的 DE邊上的中線 , 又 ∵ AD=AE,∴ AM⊥ DE.(依據(jù) 2) ∴ AM垂直平分 DE. 反思交流 : (1)① 上述證明過(guò)程中的“依據(jù) 1”“依據(jù) 2”分別是指什么 ? ② 試判斷圖 1中的點(diǎn) A是否在線段 GF的垂直平分線上 ,請(qǐng)直接回答 ,不必證明 。 (2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā) ,繼續(xù)進(jìn)行探究 ,如圖 2,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的左下方作 正方形 CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn) G在線段 BC的垂直平分線上 ,請(qǐng)你給出證明 。 探索發(fā)現(xiàn) : (3)如圖 3,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的右上方作正方形 CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn) C,點(diǎn) B都在線段 AE的 垂直平分線上 ,除此之外 ,請(qǐng)觀察矩形 ABCD和正方形 CEFG的頂點(diǎn)與邊 ,你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn) EMDM EBABEMDM在哪條邊的垂直平分線上 ,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ,并加以證明 . ? 圖 2 ? 圖 3 解析 (1)① 依據(jù) 1:兩條直線被一組平行線所截 ,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 (或平行線分線段成比 例 ).? (1分 ) 依據(jù) 2:等腰三角形頂角的平分線 ,底邊上的中線及底邊上的高互相重合 (或等腰三角形的“三 線合一” ).? (2分 ) ② 點(diǎn) A在線段 GF的垂直平分線上 .? (3分 ) (2)證明 :過(guò)點(diǎn) G作 GH⊥ BC于點(diǎn) H.? (4分 ) ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 , ∴∠ CBE=∠ ABC=∠ GHC=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∵ 四邊形 CEFG為正方形 , ∴ CG=CE,∠ GCE=90176。. ∴∠ 1+∠ 3=90176。,∴∠ 2=∠ 3. ∴ △ GHC≌ △ CBE.? (6分 ) ∴ HC=BE.∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC. ∵ AD=2AB,BE=AB,∴ BC=2BE=2HC,∴ HC=BH. ∴ GH垂直平分 BC. ∴ 點(diǎn) G在 BC的垂直平分線上 .? (7分 ) (3)點(diǎn) F在 BC邊的垂直平分線上 (或點(diǎn) F在 AD邊的垂直平分線上 ).(8分 ) 證法一 :過(guò)點(diǎn) F作 FM^BC于點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn) E作 EN^FM于點(diǎn) N.? (9分 ) ? ∴∠ BMN=∠ ENM=∠ ENF=90176。. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 , ∴∠ CBE=∠ ABC=90176。. ∴ 四邊形 BENM為矩形 .? (10分 ) ∴ BM=EN,∠ BEN=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∵ 四邊形 CEFG為正方形 , ∴ EF=EC,∠ CEF=90176。.∴∠ 2+∠ 3=90176。. ∴∠ 1=∠ 3. ∵∠ CBE=∠ ENF=90176。, ∴ △ ENF≌ △ EBC.? (11分 ) ∴ NE=BE.∴ BM=BE. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC. ∵ AD=2AB,AB=BE,∴ BC=2BM. ∴ BM=MC. ∴ FM垂直平分 BC,∴ 點(diǎn) F在 BC邊的垂直平分線上 .? (12分 ) 證法二 :過(guò) F作 FN⊥ BE交 BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,連接 FB,FC.? (9分 ) ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長(zhǎng)線上 , ∴∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90176。. ∴∠ 1+∠ 3=90176。. ∵ 四邊形 CEFG為正方形 ,∴ EC=EF,∠ CEF=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。,∴∠ 2=∠ 3. ∴ △