【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? 103解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠ DCA=∠ CAB,又 ∠ DFC= ∠ AFE,∴ △ CDF∽ △ AEF,∴ ? =? .∵ E是邊 AB的中點(diǎn) ,AB=4,∴ AE=2.∵ BC=3,AB=4,∠ ABC =90176。,∴ AC=5. ∴ ? =? ,∴ CF=? . CFAF CDAE5 CFCF? 42 1035.(2022廣東 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC=2? ,E為 BC邊上一點(diǎn) ,BC= ABCD沿 AE所在的直線折疊 ,B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線 AC上的 B39。處 ,則 AB= . ? 3答案 ? 3解析 由折疊和矩形的性質(zhì) ,可知 BE=B39。E,∠ AB39。E=∠ ABE=90176。,∴∠ EB39。C=90176。. ∵ BC=3BE,∴ EC=2BE=2B39。E,∴∠ ACB=30176。,∴ AB=? AC. ∵ AC=2? ,∴ AB=? . 123 36.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,連接 AE,將△ ABE沿AE折疊 ,點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。處 ,過(guò)點(diǎn) B39。作 AD的垂線 ,分別交 AD,BC于點(diǎn) M, B39。為線段 MN的 三等分點(diǎn)時(shí) ,BE的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 或 ? 322 355解析 ∵ AD∥ BC,AB⊥ BC,MN⊥ AD, ∴ 四邊形 ABNM為矩形 , ∴ MN=AB=3,∵ B39。為線段 MN的三等分點(diǎn) ,∴ B39。M=1或 2, ∵∠ AB39。E=∠ ABC=90176。,∴∠ AB39。M+∠ EB39。N=90176。. ∵∠ EB39。N+∠ B39。EN=90176。,∴∠ AB39。M=∠ B39。EN. 又 ∵∠ AMB39。=∠ ENB39。=90176。,∴ △ AMB39?！?△ B39。NE,∴ ? =? , 設(shè) B39。E=BE=x. ① 當(dāng) B39。M=1時(shí) ,B39。N=2,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。 ② 當(dāng) B39。M=2時(shí) ,B39。N=1,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長(zhǎng)為 ? 或 ? . 39。ABAM 39。39。BEBN2239。39。BA BM? 2231? 23222x 3222239。39。BA BM? 2232? 535 1x 355322 3557.(2022浙江寧波 ,15,4分 )命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是 命題 .(填“真”或 “假” ) 答案 假 解析 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 ,而對(duì)角線相等的四邊形也可能是等腰梯形 ,故命題 “對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是假命題 . 8.(2022黑龍江哈爾濱 ,19,3分 )在矩形 ABCD中 ,AD=5,AB=4,點(diǎn) E,F在直線 AD上 ,且四邊形 BCFE 為菱形 ,若線段 EF的中點(diǎn)為點(diǎn) M,則線段 AM的長(zhǎng)為 . 答案 解析 如圖① ,依題意知 BE=BC=5, 則 AE=3,又 EF=5,M是 EF的中點(diǎn) ,則 EM=, ∴ AM=3+=. ? 圖① 如圖② ,同理 ,FD=3,MF=, 則 DM=DF+FM=3+=,AM=DMDA==. ? 圖② 綜上 ,線段 AM的長(zhǎng)為 . 9.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,∠ BAD的平分線交 BC于點(diǎn) E,交 DC的延長(zhǎng)線 于點(diǎn) F,取 EF的中點(diǎn) G,連接 CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論 : ? ① BE=CD。 ② ∠ DGF=135176。 ③ ∠ ABG+∠ ADG=180176。 ④ 若 ? =? ,則 3S△ BDG=13S△ DGF. 其中正確的結(jié)論是 .(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào) ) ABAD 23答案 ①③④ 解析 因?yàn)?∠ BAD=∠ ADF=90176。,AE平分 ∠ BAD,所以 ∠ BAE=∠ DAF=∠ F=45176。,所以 AD=DF= BC,AB=BE=△ DGF中 ,∠ F=45176。,所以 ∠ DGF≠ 135176。.在等腰 Rt△ EFC中 ,因?yàn)?G為 EF的中 點(diǎn) ,所以 GF=GC,∠ F=∠ ECG=45176。,又因?yàn)?DF=BC,所以△ BGC≌ △ DGF(SAS),所以 ∠ GBC= ∠ ∠ DBC+∠ BDC=90176。,所以 ∠ GBD+∠ GDB=∠ GBC+∠ CBD+∠ GDB=∠ CBD+ ∠ GDB+∠ CDG=90176。,所以 ∠ BGD=90176。,在四邊形 ABGD中 ,∠ BAD=∠ BGD=90176。,所以 ∠ ABG+ ∠ ADG=180176。.因?yàn)?? =? ,所以可設(shè) AB=2k,則 AD=3k,所以 BD=? =? S△ BDG=? BD2 =? GM⊥ CF于 M,則 GM=? CF=? S△ DGF=? DFGM=? 3S△ BDG=13S△ ①③④ 正確 . ABAD2322AB AD? 1314134 12 12 12 3410.(2022湖北黃岡 ,15,3分 )如圖 ,在一張長(zhǎng)為 8 cm,寬為 6 cm的矩形紙片上 ,現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為 5 cm的等腰三角形 (要求 :等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合 ,其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在 矩形的邊上 ).則剪下的等腰三角形的面積為 cm2. ? 252答案 ? 或 5? 或 10 6解析 不妨設(shè)重合的頂點(diǎn)為點(diǎn) A,則有以下三種情況 : ? 圖 (1) ? 圖 (2) ? 圖 (3) ① 如圖 (1),AE=AF=5 cm,所以所求面積為 ? 55=? (cm2). ② 如圖 (2),AE=EF=5 cm,可求出 BE=1 cm,在 Rt△ BEF中 ,根據(jù)勾股定理可得 BF=? =2 ? cm,所以所求面積為 ? AEBF=? 52? =5? (cm2). ③ 如圖 (3),AE=EF=5 cm,可求出 DE=3 cm,在 Rt△ DEF中 ,根據(jù)勾股定理可得 DF=? =4 cm,所以所求面積為 ? AEDF=? 54=10(cm2). 綜上所述 ,剪下的等腰三角形的面積為 ? cm2或 5? cm2或 10 cm2. 12 25222EF EB?612 126 622EF ED?12 12252611.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AD=5,AB= E為 DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,把△ ADE沿 AE折 疊 ,當(dāng)點(diǎn) D的對(duì)應(yīng)點(diǎn) D39。落在 ∠ ABC的角平分線上時(shí) ,DE的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 或 ? 53 52解析 作 BF平分 ∠ ABC交 CD于點(diǎn) F, 作 AG⊥ BF于點(diǎn) G,由題意知 AG=ABsin 45176。=? , ∵ ? 5,∴ D39。是以 A為圓心 ,AD長(zhǎng)為半徑的圓弧與 BF的交點(diǎn) ,易知有兩種情況 , 第一種情況 :如圖① , ? 圖① 在 Rt△ AGD39。中 ,D39。G=? =? , ∴ BD39。=? +? =4? , 7227222239。DA AG?22722 22 2∴ D39。F=BFD39。B=5? 4? =? . 作 D39。H⊥ CD,垂足為 H. 在 Rt△ D39。FH中 ,易求得 FH=HD39。=1, ∴ DH=DF+FH=3. 設(shè) DE=x,則 D39。E=x,EH=3x, 在 Rt△ EHD39。中 ,EH2+D39。H2=D39。E2, 即 (3x)2+12=x2,解得 x=? ,即 D39。E=? , 第二種情況 :如圖② , ? 圖② 2 2 253 53作 D39。H⊥ CD,垂足為 H,同理求得 D39。E=? . 綜上所述 , DE的長(zhǎng)為 ? 或 ? . 5253 52評(píng)析 本題是以矩形為載體 ,以折疊為背景的求線段長(zhǎng)問(wèn)題 ,主要考查矩形的性質(zhì) ,軸對(duì)稱的性 質(zhì) ,角平分線 ,勾股定理的運(yùn)用 ,依據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵 ,本題屬難題 . 12.(2022江蘇蘇州 ,17,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,? =? .以點(diǎn) B為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 ,交邊 AD于點(diǎn) E,若 AEED=? ,則矩形 ABCD的面積為 . ? ABBC 3543答案 5 解析 連接 BE,設(shè) AB=3k(k≠ 0),則 BC= Rt△ ABE中 ,根據(jù)勾股定理可求出 AE=4k,故 ED=k,由 題意可得 4kk=? ,可得 k2=? ,所以矩形 ABCD的面積為 ABBC=3k5 k=15k2=15? =5. 43 13 1313.(2022上海 ,18,4分 )如圖 ,已知在矩形 ABCD中 ,點(diǎn) E在邊 BC上 ,BE=2CE,將矩形沿著過(guò)點(diǎn) E的直 線翻折后 ,點(diǎn) C、 D分別落在邊 BC下方的點(diǎn) C39。、 D39。處 ,且點(diǎn) C39。、 D39。、 B在同一直線上 ,折痕與邊 AD交于點(diǎn) F,D39。F與 BE交于點(diǎn) AB=t,那么△ EFG的周長(zhǎng)為 (用含 t的代數(shù)式表示 ). ? 答案 2? t 3解析 連接 BD39。,∵ 點(diǎn) C39。、 D39。、 B在同一直線上 ,∴∠ D=∠ FD39。C39。=∠ GD39。B=90176。,由翻折知 ,CE=C39。E, ∴ BE=2CE=2C39。E,∴∠ EBC39。=30176。,∴∠ BGD39。=60176。, ∵∠ BGD39。=∠ FGE,∴∠ FGE=60176。. ∵ AD∥ BC,∴∠ AFG=∠ BGD39。. ∴∠ AFG=60176。,易得 ∠ GFE=60176。,∴ △ EFG為等邊三角形 . ∵ AB=t,∴ FG=? ? t,∴ C△ EFG=2? t. 233 314.(2022福建龍巖 ,20,10分 )如圖 ,E,F分別是矩形 ABCD的邊 AD,AB上的點(diǎn) ,若 EF=EC,且 EF⊥ EC. (1)求證 :AE=DC。 (2)已知 DC=? ,求 BE的長(zhǎng) . ? 2解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,∠ A=∠ D=90176。, ∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∵ EF⊥ EC, ∴∠ FEC=90176。, ∴∠ 2+∠ 3=90176。, ∴∠ 1=∠ 3.? (2分 ) 在△ AEF和△ DCE中 ,? ∴ △ AEF≌ △ DCE,? (4分 ) ∴ AE=DC.? (6分 ) (2)由 (1)得 AE=DC, ∴ AE=DC=? . 在矩形 ABCD中 ,AB=DC=? ,? (8分 ) 在 Rt△ ABE中 ,AB2+AE2=BE2, ,1 3 ,ADE F E C? ? ???? ? ??? ??22即 (? )2+(? )2=BE2, ∴ BE=2.? (10分 ) 2 215.(2022北京 ,22,5分 )在 ?ABCD中 ,過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ AB于點(diǎn) E,點(diǎn) F在邊 CD上 ,DF=BE,連接 AF,BF. (1)求證 :四邊形 BFDE是矩形 。 (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求證 :AF平分 ∠ DAB. ? 證明 (1)在 ?ABCD中 ,AB∥ CD, ∵ DF=BE,∴ 四邊形 BFDE為平行四邊形 . ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEB=90176。. ∴ 四邊形 BFDE是矩形 . (2)由 (1)可得 ,∠ BFC=90176。. 在 Rt△ BFC中 ,由勾股定理可得 BC=5. ∴ AD=BC=5.∴ AD=DF. ∴∠ DAF=∠ DFA. ∵ AB∥ CD,∴∠ DFA=∠ FAB. ∴∠ DAF=∠ FAB. ∴ AF平分 ∠ DAB. 16.(2022遼寧沈陽(yáng) ,18,8分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,點(diǎn) E,F分別在邊 AD, BC上 ,且 DE=CF,連接 OE,OF. 求證 :OE=OF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴∠ ADC=∠ BCD=90176。, AC=BD,OD=? BD,OC=? AC. ∴ OD=OC. ∴∠ ODC=∠ OCD.∴∠ ADC∠ ODC=∠ BCD∠ OCD, 即 ∠ EDO=∠ ∵ DE=CF, ∴ △ ODE≌ △ OCF,∴ OE=OF. 12 1217.(2022江蘇揚(yáng)州 ,28,12分 )已知矩形 ABCD的一條邊 AD=8,將矩形 ABCD折疊 ,使得頂點(diǎn) B落在 CD邊上的 P點(diǎn)處 . (1)如圖 1,已知折痕與邊 BC交于點(diǎn) O,連接 AP、 OP、 OA. ① 求證 :△ OCP∽ △ PDA。 ② 若△ OCP與△ PDA的面積比為 1∶ 4,求邊 AB的長(zhǎng)