【文章內(nèi)容簡介】 AE=x3? , ∴ EC=? ,∴ ? =12? x,解得 x=? .∴ EC=12? ? =5. 2 2 222( 3 2)xx?? 22( 3 2)xx?? 2722 2 7228.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E、 F分別為邊 AD和 CD上的點 ,且 AE=CF,連接 AF、 CE交于點 :AG=CG. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴∠ ADF=∠ CDE=90176。,AD=CD. ∵ AE=CF,∴ DE=DF.? (2分 ) ∴ △ ADF≌ △ CDE.∴∠ DAF=∠ DCE.? (4分 ) 又 ∵∠ AGE=∠ CGF,AE=CF,∴ △ AGE≌ △ CGF,∴ AG=CG.? (7分 ) 9.(2022上海 ,23,12分 )已知 :如圖 ,四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC,AD=CD,E是對角線 BD上一點 ,且 EA=EC. (1)求證 :四邊形 ABCD是菱形 。 (2)如果 BE=BC,且 ∠ CBE∶∠ BCE=2∶ 3,求證 :四邊形 ABCD是正方形 . ? 證明 (1)在△ ADE和△ CDE中 ,? ∴ △ ADE≌ △ CDE(SSS).∴∠ ADE=∠ CDE. ∵ AD∥ BC,∴∠ ADE=∠ CBD,∴∠ CBD=∠ CDE,∴ BC=CD, ∴ AD=BC,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 AD=CD,∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)∵∠ CBE∶∠ BCE=2∶ 3,∴ 設 ∠ CBE=2x176。,∠ BCE=3x176。, ∵ BE=BC,∴∠ BEC=∠ BCE=3x176。,∵ 2x+3x+3x=180,∴ x=,∴∠ CBE=45176。. ,A D C DD E D EE A E C?????? ??∵∠ ADB=∠ CDB=∠ CBE,∴∠ ADC=90176。.∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ 四邊形 ABCD為正方形 . 思路分析 (1)先證四邊形 ABCD為平行四邊形 ,再由一組鄰邊相等 ,便可證得四邊形 ABCD為 菱形 . (2)證菱形 ABCD的一角為直角 ,便可證得菱形 ABCD為正方形 . 10.(2022浙江杭州 ,21,10分 )如圖 ,已知四邊形 ABCD和四邊形 DEFG為正方形 ,點 E在線段 DC上 , 點 A,D,G在同一條直線上 ,且 AD=3,DE= AC,CG,AE,并延長 AE交 CG于點 H. (1)求 sin∠ EAC的值 。 (2)求線段 AH的長 . ? 解析 (1)由題意知 EC=2,AE=? . 過點 E作 EM⊥ AC于點 M, 所以 ∠ EMC=90176。,易知 ∠ ACD=45176。,所以△ EMC是等腰直角三角形 , 所以 EM=? ,所以 sin∠ EAC=? =? . (2)在△ GDC與△ EDA中 ,? 所以△ GDC≌ △ EDA,所以 ∠ GCD=∠ EAD, 又因為 ∠ HEC=∠ DEA,所以 ∠ EHC=∠ EDA=90176。, 所以 AH⊥ GC. 因為 S△ AGC=? AGDC=? GCAH, 所以 ? 43=? ? AH,所以 AH=? . 102 EMAE 55,D G D EG D C E D AD C D A???? ? ??? ??12 1212 1210 6 1 05評析 本題是正方形與三角形的綜合題 .涉及等腰直角三角形和三角函數(shù) ,全等三角形的判定 與性質(zhì) ,以及利用等積法求線段的長度 . C組 教師專用題組 考點一 菱形的性質(zhì)與判定 1.(2022貴州貴陽 ,5,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,E是 AC的中點 ,EF∥ CB,交 AB于點 F,如果 EF=3,那 么菱形 ABCD的周長為 ? ( ) ? 答案 A ∵ E是 AC的中點 ,∴ AC=2AE. ∵ EF∥ CB,∴ ? =? =2,∴ BC=2EF=6, ∴ 菱形 ABCD的周長為 64= A. BCEF ACAE2.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,∠ A=60176。,AD=8,F是 AB的中點 .過點 F作 FE⊥ AD, 垂足為 △ AEF沿點 A到點 B的方向平移 ,得到△ A?E?F?.設 P、 P?分別是 EF、 E?F?的中點 ,當點 A?與點 B重合時 ,四邊形 PP?CD的面積為 ? ( ) ? ? ? ? 8 3 3 3 3答案 A 如圖 ,分別過 E、 P、 D點作 EN⊥ AB,PG⊥ AB,DH⊥ AB,垂足分別為 N,G,H,DH交 PP39。 于點 M. ? 在菱形 ABCD中 ,AD=8,∠ A=60176。,F是 AB的中點 , ∴ AF=4=AH,DH=4? , ∵ FE⊥ AD,∴∠ AEF=90176。. ∴ AE=2,EN=? , ∵ PG⊥ AB,EN⊥ AB,∴ PG∥ EN, 33又 P是 EF的中點 ,∴ PG=? EN=? . ∵ 將△ AEF平移得到△ A39。E39。F39。, ∴ PP39。?? AB,∴ PP39。?? DC, ∴ 四邊形 PP39。CD是平行四邊形 , ∴ DM=DHPG=? . ∴ S四邊形 PP?CD=8? =28? .故選 A. 12 32732732 3解題關(guān)鍵 本題有一定的難度 ,考查了平移、菱形的性質(zhì) ,以及三角形中位線的運用 ,在解題的 過程中應用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長度是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022江西 ,6,3分 )如圖 ,任意四邊形 ABCD中 ,E,F,G,H分別是 AB,BC,CD,DA上的點 ,對于四邊形 EFGH的形狀 ,某班學生在一次數(shù)學活動課中 ,通過動手實踐 ,探索出如下結(jié)論 ,其中 ? 的是 ? ( ) ? E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC=BD時 ,四邊形 EFGH為菱形 E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC⊥ BD時 ,四邊形 EFGH為矩形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH可以為平行四邊形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH不可能為菱形 ??錯 誤答案 D 連接 AC, E,F,G,H是各邊中點時 ,由三角形中位線定理可得 EF∥ AC且 EF=? AC,GH∥ AC且 GH=? AC,所以 EF∥ GH且 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 .當 AC=BD 時 ,因為 EF=? AC,EH=? BD,所以 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 A正確 。當 AC⊥ BD時 ,因 為 EF∥ AC,EH∥ BD,所以 EF⊥ EH,所以四邊形 EFGH為矩形 ,選項 B正確 。當 E,F,G,H不是各邊中 點時 ,若 ? =? ,? =? ,則 GH∥ AC,EF∥ AC,所以 GH∥ ? =? =? =? ,所以 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 ,選項 C正確 。例如 ,當 E,F,G,H不是各邊中點 ,且 ? = ? =? =? =? ,BD=2AC時 ,由上述可知四邊形 EFGH為平行四邊形 ,所以 ? =? =? ,? = ? =? ,即 ? =? ,所以 ? =? ,即 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 D錯誤 .綜上 , 選 D. 121212 12DHAD DGDCBEAB BFBC DHAD GHCA BEBA EFACDHADDGDC BEAB BFBC 23BEAB EFAC 23AEABEHBD 13EFAC 2 EHBD 2EFAC EHBD4.(2022福建龍巖 ,10,4分 )如圖 ,菱形 ABCD的周長為 16,∠ ABC=120176。,則 AC的長為 ? ( ) ? ? ? 3 3答案 A 設 AC與 BD相交于點 O,∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,且其周長為 16,∠ ABC=120176。,∴ AB=4, AC⊥ BD,AC=2AO,∠ ABO=60176。,則在 Rt△ ABO中 ,AO=ABsin 60176。=2? ,∴ AC=4? ,故選 A. ? 3 35.(2022山東煙臺 ,6,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,M,N分別在 AB,CD上 ,且 AM=CN,MN與 AC交于點 O,連接 ∠ DAC=28176。,則 ∠ OBC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵∠ AOM=∠ CON,∠ MAO=∠ NCO,AM=CN, ∴ △ AOM≌ △ CON,∴ AO=CO, ∴ 點 O是菱形 ABCD對角線的交點 ,∴ BO⊥ AC, ∴∠ OBC=90176?！?BCO=90176。∠ DAC=90176。28176。=62176。. 6.(2022陜西 ,14,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,∠ ABC=60176。,AB=2,點 P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一 點 .若以點 P、 B、 C為頂點的三角形是等腰三角形 ,則 P、 D(P、 D兩點不重合 )兩點間的最短距 離為 . ? 答案 2? 2 3解析 當?shù)妊?PBC以 ∠ PBC為頂角時 ,點 P在以 B為圓心 ,BC為半徑的圓弧 ? 上 .連接 AC、 BD相交于點 PD最短 ,則點 P在如圖所示的位置處 . ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AC⊥ BD,∠ ABO=? ∠ ABC=30176。, ∴ BO=ABcos 30176。=? ,∴ BD=2BO=2? , ∵ PB=BC=2,∴ PD=BDPB=2? 2. 當?shù)妊切?PBC以 ∠ PCB為頂角時 , 易知點 P與點 D重合 (不合題意 ,舍去 )或點 P與點 A重合 ,則 PD=2. AC︵123 33當?shù)妊切?PBC以 BC為底邊時 ,如圖 ,作 BC的垂直平分線交 BC于點 E,易知該直線過點 A,則 點 P在線段 AE上 (不含點 E).當 P與 A重合時 ,PD最短 ,此時 PD=2. ? ∵ 2? 22, ∴ PD的最小值是 2? 2. 33評析 本題考查菱形、等腰三角形的性質(zhì)、圓、中垂線 ,運用了分類討論思想 ,綜合性較強 ,屬 于難題 . 7.(2022浙江麗水 ,15,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD與四邊形 AECF都是菱形 ,點 E、 F在 BD上 .已知 ∠ BAD=120176。,∠ EAF=30176。,則 ? = . ? ABAE答案 ? 622?解析 連接 AC,過點 E作 EN⊥ AB于點 N, ∵ 四邊形 ABCD與四邊形 AECF都是菱形 ,點 E、 F在 BD上 ,∠ BAD=120176。,∠ EAF=30176。, ∴∠ ABD=30176。,∠ EAC=15176。,則 ∠ BAE=45176。, 設 AN=x,則 NE=x,AE=? x,BN=? =? x,∴ ? =? =? . 2tan 30NE?3ABAE 32xxx? 622?8.(2022新疆烏魯木齊 ,18,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ BAC=90176。,E是 BC的中點 ,AD∥ BC,AE ∥ DC,EF⊥ CD于點 F. (1)求證 :四邊形 AECD是菱形 。 (2)若 AB=6,BC=10,求 EF的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AD∥ BC,AE∥ DC, ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 . ∵∠ BAC=90176。,E是 BC的中點 ,∴ AE=CE=? BC, ∴ 四邊形 AECD是菱形 .? (5分 ) (2)過點 A作 AH⊥ BC于點 H, ∵∠ BAC=90176。,AB=6,BC=10,∴ AC=8, ∵ S△ ABC=? BCAH= ? ABAC,∴ AH=? . ∵ 點 E是 BC的中點 ,BC=10,四邊形 AECD是菱形 ,∴ CD=CE=5. 121212 245∵ S?AECD=CEAH=CDEF,∴ EF=AH=? .? (10分 ) 245思路分析 (1)先證四邊形 AECD是平行四邊形 ,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一 半即可證四邊形 AECD是菱形 。(2)過點 A作 AH⊥ BC于點 H,由三角形的面積公式求出 AH,再由 平行四邊形的面積公式求出 EF. 9.(2022山東青島 ,21,8分 )已知 :如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F分別是邊 AD,BC上的點 ,且 AE=CF,直線 EF分別交 BA的延長線、 DC的延長線于點 G,H,交 BD于點 O. (1)求證 :△ ABE≌ △ CDF。 (2)連接 DG,若 DG=BG,則四邊形 BEDF是什么特殊四邊形 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,∠ BAD=∠ DCB. 又 ∵ AE=CF,∴ △ ABE≌ △ CDF.? (4分 ) (2)菱形 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC,AD=BC, ∵ AE=CF,∴ ADAE=BCCF,即 ED=BF, ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形