【文章內(nèi)容簡介】 y=(x+1)24. ∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,二次函數(shù)取得最小值 4. (2)當(dāng) c=5時(shí) ,二次函數(shù)的解析式為 y=x2+bx+5. 由題意 ,得方程 x2+bx+5=1,即 x2+bx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 . 有 Δ=b216=0,解得 b1=4,b2=4. 此時(shí)二次函數(shù)的解析式為 y=x2+4x+5或 y=x24x+5. (3)當(dāng) c=b2時(shí) ,二次函數(shù)的解析式為 y=x2+bx+b2. 它的圖象是開口向上 ,對(duì)稱軸為 x=? 的拋物線 . ① 若 ? b,即 b0, 則在自變量 x的值滿足 b≤ x≤ b+3的情況下 ,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y隨 x的增大而增大 , 故當(dāng) x=b時(shí) ,y=b2+bb+b2=3b2為最小值 . ∴ 3b2=21,解得 b1=? (舍 ),b2=? . ② 若 b≤ ? ≤ b+3,即 2≤ b≤ 0, 2b2b7 72b則當(dāng) x=? 時(shí) ,y=? +b? +b2=? b2為最小值 . ∴ ? b2=21, 解得 b1=2? (舍 ),b2=2? (舍 ). ③ 若 ? b+3,即 b2, 則在自變量 x的值滿足 b≤ x≤ b+3的情況下 ,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y隨 x的增大而減小 , 故當(dāng) x=b+3時(shí) ,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9為最小值 . ∴ 3b2+9b+9=21,即 b2+3b4=0. 解得 b1=1(舍 ),b2=4. 綜上所述 ,b=? 或 b=4. ∴ 此時(shí)二次函數(shù)的解析式為 y=x2+? x+7或 y=x24x+16. 2b22b???????2b???????34347 72b77思路分析 (1)把 b=2,c=3代入函數(shù)解析式 ,配方求得二次函數(shù)的最小值 。(2)根據(jù)當(dāng) c=5時(shí) ,根據(jù) 在函數(shù)值 y=1的情況下 ,只有一個(gè)自變量 x的值與其對(duì)應(yīng) ,得到 x2+bx+5=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 , 求得 b=177。4。(3)當(dāng) c=b2時(shí) ,寫出解析式 y=x2+bx+b2,分三種情況討論得出 b值 . 評(píng)析 本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí) ,第 (1)問考查最值問題 ,將第 (2)問轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相 等的實(shí)數(shù)根問題即可解決 ,第 (3)問考查分類討論的思想方法 .屬中等難度題 . 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(2022湖北武漢 ,15,3分 )飛機(jī)著陸后滑行的距離 y(單位 :m)關(guān)于滑行時(shí)間 t(單位 :s)的函數(shù)解析 式是 y=60t? ,最后 4 s滑行的距離是 m. 32答案 24 解析 y=60t? t2=? (t20)2+600,即 t=20時(shí) ,y取得最大值 ,即滑行距離達(dá)到最大 ,此時(shí)滑行距離是 600 t=16時(shí) ,y=6016? 162=576,所以最后 4 s滑行的距離為 600576=24 m. 32 32322.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )某商場購進(jìn)一批單價(jià)為 20元的日用商品 ,如果以單價(jià) 30元銷售 ,那么 半月內(nèi)可銷售出 400件 .根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn) ,提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少 ,且銷售單價(jià)每提高 1 元 ,銷售量相應(yīng)減少 20件 .當(dāng)銷售單價(jià)是 元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 . 答案 35 解析 設(shè)銷售單價(jià)為 x元 ,半月內(nèi)的利潤為 y元 ,由題意知 y=(x20)[40020(x30)]=(x20)(1 00020 x)=20x2+1 400x20 000=20(x35)2+4 500. ∵ 200,∴ 拋物線開口向下 , ∴ 當(dāng) x=35時(shí) ,y取得最大值 , 即銷售單價(jià)是 35元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 . 3.(2022浙江紹興 ,13,5分 )如圖是一座拱橋 ,當(dāng)水面寬 AB為 12 m時(shí) ,橋洞頂部離水面 4 m,已知橋 洞的拱形是拋物線 .以水平方向?yàn)?x軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,若選取點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物 線解析式是 y=? (x6)2+4,則選取點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是 . ? 19答案 y=? (x+6)2+4 19解析 若選 B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (6,4),a=? 不變 ,則所求拋物線解析式為 y=? (x+6)2 +4. 19 194.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (2)當(dāng) x取何值時(shí) ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時(shí) ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 5.(2022山東青島 ,20,8分 )如圖 ,需在一面墻上繪制幾個(gè)相同的拋物線型圖案 .按照圖中的直角 坐標(biāo)系 ,最左邊的拋物線可以用 y=ax2+bx(a≠ 0)表示 .已知拋物線上 B,C兩點(diǎn)到地面的距離均為 ? m,到墻邊 OA的距離分別為 ? m,? m. (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式 ,并求圖案最高點(diǎn)到地面的距離 。 (2)若該墻的長度為 10 m,則最多可以連續(xù)繪制幾個(gè)這樣的拋物線型圖案 ? ? 34 12 32解析 (1)由題意可知 ,B? ,C? , 代入 y=ax2+bx得 :? 解得 ? ∴ y=x2+2x=(x1)2+1. 答 :該拋物線的函數(shù)關(guān)系式是 y=x2+2x,圖案最高點(diǎn)到地面的距離是 1 m.? (5分 ) (2)當(dāng) y=0時(shí) ,x2+2x=0,∴ x1=0,x2=2,∴ 10247。2=5(個(gè) ). 答 :最多可以連續(xù)繪制 5個(gè)拋物線型圖案 .? (8分 ) 13,24??????33,24??????1 1 3 ,4 2 49 3 3 ,4 2 4abab? ?????? ????1, ???? ??思路分析 (1)根據(jù)題意求得 B? ,C? ,用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y=x2 +2x,根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到結(jié)果 。(2)令 y=0,即 x2+2x=0,解方程得到 x1=0,x2=2,即可得到 結(jié)論 . 13,24??????33,24??????解題關(guān)鍵 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用 ,正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵 . 6.(2022湖北武漢 ,22,10分 )某公司計(jì)劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售 ,每年產(chǎn)銷 x 件 .已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表 : 其中 a為常數(shù) ,且 3≤ a≤ 5. (1)若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為 y1萬元、 y2萬元 ,直接寫出 y1,y2與 x的函數(shù)關(guān)系式 。 (2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤 。 (3)為獲得最大年利潤 ,該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品 ?請說明理由 . 產(chǎn)品 每件售價(jià) (萬元 ) 每件成本 (萬元 ) 每年其他費(fèi)用 (萬元 ) 每年最大產(chǎn)銷量 (件 ) 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40+ 80 解析 (1)y1=(6a)x20, y2=+10x40.? (2分 ) (2)∵ 3≤ a≤ 5,∴ 6a0, ∴ y1隨 x的增大而增大 . ∵ x≤ 200, ∴ 當(dāng) x=200時(shí) ,y1取得最大值 1 180200a.? (4分 ) ∵ y2=+10x40=(x100)2+460,? (5分 ) 而 0,∴ 當(dāng) x100時(shí) ,y2隨 x的增大而增大 . ∵ x≤ 80,∴ 當(dāng) x=80時(shí) ,y2取得最大值 440. 綜上 ,若產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品 ,最大年利潤為 (1 180200a)萬元 ,若產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品 ,最大年利潤為 440萬 元 .? (7分 ) (3)解法一 :設(shè) w=1 180200a440=200a+740. ∵ 2000,∴ w隨 a的增大而減小 . 由 200a+740=0,解得 a=.? (9分 ) ∵ 3≤ a≤ 5, ∴ 當(dāng) 3≤ a ,選擇產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品 。 當(dāng) a= ,生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤相同 。 當(dāng) a≤ 5時(shí) ,選擇產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品 .? (10分 ) 解法二 :由 1 180200a440,解得 a.? (9分 ) ∵ 3≤ a≤ 5, ∴ 當(dāng) 3≤ a ,選擇產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品 。 當(dāng) a= ,生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤相同 。 當(dāng) a≤ 5時(shí) ,選擇產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品 .? (10分 ) 評(píng)析 函數(shù)的應(yīng)用題大多數(shù)以生活情境為背景命題 ,解答此類問題 ,應(yīng)在弄懂題意的前提下 ,建 立函數(shù)模型 ,然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及方程 (組 )、不等式的知識(shí)解答 . 考點(diǎn)四 二次函數(shù)與幾何知識(shí)相結(jié)合的綜合應(yīng)用 1.(2022陜西 ,10,3分 )已知拋物線 y=x22x+3與 x軸交于 A、 B兩點(diǎn) ,將這條拋物線的頂點(diǎn)記為 C,連 接 AC、 BC,則 tan∠ CAB的值為 ? ( ) A.? B.? C.? 12 55 255答案 D 不妨設(shè)點(diǎn) A在點(diǎn) B左側(cè) , 如圖 ,作 CD⊥ AB交 AB于點(diǎn) D,當(dāng) y=0時(shí) ,x22x+3=0, 解得 x1=3,x2=1, 所以 A(3,0),B(1,0), 所以 AB=4,因?yàn)?y=x22x+3=(x+1)2+4, 所以頂點(diǎn) C(1,4),所以 AD=2,CD=4, 所以 tan∠ CAB=? =2,故選 D. CDAD評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,求某個(gè)角的三角函數(shù)值 .屬于容易題 . 2.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+6x+c交 x軸于 A,B兩點(diǎn) ,交 y軸于點(diǎn) y=x5經(jīng)過點(diǎn) B, C. (1)求拋物線的解析式 。 (2)過點(diǎn) A的直線交直線 BC于點(diǎn) M. ① 當(dāng) AM⊥ BC時(shí) ,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C重合 ),作直線 AM的平行線交直線 BC于點(diǎn) Q,若 以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo) 。 ② 連接 AC,當(dāng)直線 AM與直線 BC的夾角等于 ∠ ACB的 2倍時(shí) ,請直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo) . 解析 (1)∵ 直線 y=x5交 x軸于點(diǎn) B,交 y軸于點(diǎn) C, ∴ B(5,0),C(0,5), ∵ 拋物線 y=ax2+6x+c過點(diǎn) B,C, ∴ ? ∴ ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+6x5.? (3分 ) (2)① ∵ OB=OC=5,∠ BOC=90176。,∴∠ ABC=45176。. ∵ 拋物線 y=x2+6x5交 x軸于 A,B兩點(diǎn) , ∴ A(1,0).∴ AB=4.∵ AM⊥ BC,∴ AM=2? . ∵ PQ∥ AM,∴ PQ⊥ BC. 若以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,則 PQ=AM=2? . 過點(diǎn) P作 PD⊥ x軸交直線 BC于點(diǎn) D,則 ∠ PDQ=45176。. ∴ PD=? PQ=4.? (5分 ) 設(shè) P(m,m2+6m5),則 D(m,m5). 分兩種情況討論如下 : 0 25 30 ,? ? ?????? 1, ???? ???222(i)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC上方時(shí) , PD=m2+6m5(m5)=m2+5m=4. ∴ m1=1(舍去 ),m2=4.? (7分 ) (ii)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC下方時(shí) , PD=m5(m2+6m5)=m25m=4. ∴ m3=? ,m4=? . 綜上 ,點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 4或 ? 或 ? .? (9分 ) ② M? 或 ? .? (11分 ) 【 提示 】 作 AC的垂直平分線 ,交 BC于點(diǎn) M1,連接 AM1,過點(diǎn) A作 AN⊥ BC于點(diǎn) N,將△ ANM1沿 AN翻 折 ,得到△ ANM2,點(diǎn) M1,M2的坐標(biāo)即為所求 . 5 4 12? 5 4 12?5 4 12? 5 4 12?1 3 1 7,66???????2 3 7,66???????思路分析 (1)求出直線 y=x5與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) B,C的坐標(biāo) ,用待定系數(shù)法求出拋物線的解 析式 。(2)因?yàn)椤?BOC是等腰直角三角形 ,得 ∠ ABC=4517