【文章內(nèi)容簡介】 中 ,對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點 P(x,y),我們 把點 P39。? 稱為點 P的“倒影點” .直線 y=x+1上有兩點 A,B,它們的倒影點 A39。,B39。均在反比例 函數(shù) y=? 的圖象上 .若 AB=2? ,則 k= . 11,xy??????kx2答案 ? 43解析 因為點 A在直線 y=x+1上 ,所以設(shè) A(m,m+1),由 AB=2? 可知 B點可以為 B1(m2,m+3)或 B2 (m+2,m1),則 A39。? ,B39。1? ,B39。2? ,當(dāng) A39。,B39。1在 y=? 的圖象上時 ,? ? =? ? ,m=? ,經(jīng)檢驗 ,m=? 是分式方程的解 ,則 k=? .當(dāng) A39。,B39。2在 y=? 的圖象上時 ,同 理可得 k=? ,所以 k=? . 211, 1mm????????11,23mm????? ? ???11,21mm????? ? ???kx 1m1 1m?? 1 2m ? 1 3m??32 32 43 kx43 439.(2022江蘇南京 ,16,2分 )函數(shù) y1=x與 y2=? 的圖象如圖所示 ,下列關(guān)于函數(shù) y=y1+y2的結(jié)論 :① 函數(shù) 的圖象關(guān)于原點中心對稱 。② 當(dāng) x2時 ,y隨 x的增大而減小 。③ 當(dāng) x0時 ,函數(shù)的圖象最低點的坐 標(biāo)是 (2,4).其中所有正確結(jié)論的序號是 . ? 4x解析 ① ∵ y=y1+y2,∴ y=x+? . 若點 (a,b)在函數(shù) y=x+? 的圖象上 , 則 b=a+? . ∵ 當(dāng) x=a時 ,y=a? =? =b. ∴ 點 (a,b)在函數(shù) y=x+? 的圖象上 . ∴ 函數(shù) y=x+? 的圖象關(guān)于原點中心對稱 ,故①正確 . ② 當(dāng) 0x2時 ,隨著 x的增大 ,y1增大 ,y2減小 ,∴ y的變化不能確定 。 當(dāng) x0時 ,隨著 x的增大 ,y1增大 ,y2減小 ,∴ y的變化不能確定 。 當(dāng) x=0時 ,y無意義 .故②錯誤 . ③ 當(dāng) x0時 ,y=x+? =? +2? ? 4x4x4a4a 4a a???????4x4x4x24x x???????x 4x答案 ①③ =? +4, 當(dāng) ? =? ,即 x=2時 ,y取得最小值 ,ymin=4. ∴ 函數(shù)的圖象最低點的坐標(biāo)是 (2,4).故③正確 . 24x x???????x4x解后反思 (1)函數(shù)圖象關(guān)于某點中心對稱 ,其實質(zhì)是圖象上的點關(guān)于某點中心對稱 ,所以判定 函數(shù)圖象關(guān)于某點中心對稱時 ,只需在圖象上任取一點 ,證明該點關(guān)于對稱中心對稱的點也在 該函數(shù)的圖象上即可 。 (2)函數(shù)圖象的最低點就是函數(shù)取得最小值的點 ,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可 . 10.(2022河南 ,13,3分 )已知點 A(1,m),B(2,n)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則 m與 n的大小關(guān)系為 . 2x答案 mn 解析 解法一 :把點 A(1,m),B(2,n)分別代入 y=? ,可得 m=2,n=1,所以 mn. 解法二 :∵ k=20,∴ 雙曲線位于第二、四象限 ,在每個象限內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,∵ 012,∴ m n. 2x11.(2022陜西 ,13,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,過點 M(3,2)分別作 x軸、 y軸的垂線與反比例 函數(shù) y=? 的圖象交于 A、 B兩點 ,則四邊形 MAOB的面積為 . ? 4x解析 如圖 ,設(shè) MA與 x軸交于點 C,MB與 y軸交于點 A的坐標(biāo)為 ? ,點 B的 坐標(biāo)為 (2,2),則點 C的坐標(biāo)為 (3,0),點 D的坐標(biāo)為 (0,2). ? ∴ S四邊形 MAOB=S矩形 MCOD+S△ ACO+S△ BDO =32+? 3? +? 22=6+2+2=10. 43, 3????????12 43 12答案 10 12.(2022吉林長春 ,12,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 P在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 ,過點 P分 別作 x軸、 y軸的垂線 ,垂足分別為點 A、 OB的中點 C,連接 PC并延長交 x軸于點 D,則△ APD的面積為 . ? 6x解析 ∵ 點 P在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 ,∴ S矩形 OAPB=6. ∵ 點 C是 OB的中點 ,∴ BC=OC. ∵∠ PBC=∠ DOC,∠ BCP=∠ OCD, ∴ △ COD≌ △ CBP. ∴ S△ APD=S矩形 OAPB=6. 6x答案 6 評析 本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù) k的幾何意義 ,全等三角形的應(yīng)用以及對中點的認(rèn)識 . 本題中的點 P是不確定的 ,但是由點 C為 BO的中點 ,可以借助全等三角形的知識將要求的面積 轉(zhuǎn)化為易知的矩形面積 .本題屬中檔題 . 13.(2022湖南邵陽 ,14,3分 )已知反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象如圖所示 ,則 k的值可能是 . ? kx答案 1(填寫負數(shù)即可 ) 解析 根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知 ,圖象在二、四象限時 ,k0. 14.(2022湖南常德 ,11,3分 )下列關(guān)于反比例函數(shù) y=? 的三個結(jié)論 :① 它的圖象經(jīng)過點 (7,3)。② 它 的圖象在每一個象限內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 。③ 它的圖象在第二、四象限內(nèi) .其中正確的是 . 21x答案 ①② 解析 易知點 (7,3)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,故①正確 ?！?k=210,∴ 此反比例函數(shù)的圖象 在第一、三象限 ,且在每一個象限內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,故②正確 ,③ 錯誤 . 21x15.(2022廣西南寧 ,18,3分 )如圖 ,矩形 ABCD的頂點 A,B在 x軸上 ,且關(guān)于 y軸對稱 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過點 C,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象分別與 AD,CD交于點 E, S△ BEF=7,k1+3k2= 0,則 k1等于 . 1kx2kx答案 9 解析 設(shè)點 B的坐標(biāo)為 (a,0)(a0),則點 A的坐標(biāo)為 (a,0), ∵ k1+3k2=0,∴ k1=3k2, 根據(jù)題意得 C? ,E? ,D? ,F? , S矩形 ABCD=2a? =2k1, S△ DEF=? =? =? k2, S△ BCF=? =? =? k1, S△ ABE=? =? =k2, 1, ka a?????? 2, ka a????????1, ka a???????1,3 ka a???????1ka2DF DE?22232kaa????????232CF BC?1432kaa?232AB AE?222kaa????????把 k2=? k1代入上式 ,得到 ? k1+? ? =7, 解得 k1=9. 13 43 53 113 k???????思路分析 設(shè)點 B的坐標(biāo)為 (a,0)(a0),利用對稱性可知點 A的坐標(biāo)為 (a,0),用 a,k1,k2分別表示出 C,D,E,F的坐標(biāo) ,從而表示出△ DEF,△ ABE,△ BCF的面積 ,由 S矩形 ABCDS△ DEFS△ BCFS△ ABE=S△ BEF及 k1+ 3k2=0即可求解 . 疑難突破 解決此類問題的難點在于大膽設(shè)未知數(shù) ,根據(jù)反比例函數(shù)解析式和矩形的幾何性 質(zhì)來巧妙表示相關(guān)坐標(biāo)、線段和面積 ,再建立關(guān)于 k1的等式 ,思路不難但需要一定的計算能力 . ∵ S△ BEF=7, ∴ 2k1+? k2? k1+k2=7, 即 ? k1+? k2=7, 23 2343 5316.(2022貴州貴陽 ,12,4分 )如圖 ,過 x軸上任意一點 P作 y軸的平行線 ,分別與反比例函數(shù) y=? (x 0),y=? (x0)的圖象交于 A點和 B點 ,若 C為 y軸上任意一點 ,連接 AC,BC,則△ ABC的面積為 . ? 3x6x解析 解法一 :設(shè)點 P(m,0),可得點 A? ,B? , ∴ AB=? +? =? , ∴ S△ ABC=? m? =? . 解法二 :如圖 ,連接 OA,OB, ∵ AB∥ y軸 , ∴ S△ ABC=S△ ABO=S△ APO+S△ BPO=? +? =? . ? 解法三 :特殊點法 ,當(dāng)點 C在原點時 ,S△ ABC=S△ ABO=S△ APO+S△ BPO=? +? =? . 3,m m??????6,m m???????3m 6m 9m12 9m 9232 62 9232 62 92答案 ? 9217.(2022河南 ,18,9分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過格點 (網(wǎng)格線的交點 )P. (1)求反比例函數(shù)的解析式 。 (2)在圖中用直尺和 2B鉛筆畫出兩個矩形 (不寫畫法 ),要求每個矩形均需滿足下列兩個條件 : ① 四個頂點均在格點上 ,且其中兩個頂點分別是點 O,點 P。 ② 矩形的面積等于 k的值 . ? kx解析 (1)∵ 點 P(2,2)在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ ? =2,即 k=4. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (3分 ) (2)(答案不唯一 ,正確畫出兩個矩形即可 )? (9分 ) 舉例 :如圖 ,矩形 OAPB,矩形 OPCD. ? kx2k4x18.(2022山東濰坊 ,19,7分 )如圖 ,直線 y=3x5與反比例函數(shù) y=? 的圖象相交于 A(2,m),B(n,6)兩 點 ,連接 OA,OB. (1)求 k和 n的值 。 (2)求△ AOB的面積 . ? 1k x?解析 (1)∵ 點 B(n,6)在直線 y=3x5上 , ∴ 6=3n5,解得 n=? ,? (1分 ) ∴ B? , ∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象也經(jīng)過點 B? , ∴ k1=6? =2,解得 k=3.? (3分 ) (2)設(shè)直線 y=3x5分別與 x軸 ,y軸相交于點 C,點 D, ? 當(dāng) y=0,即 3x5=0時 ,x=? ,∴ OC=? ,? (4分 ) 131 ,63????????1k x? 1 ,63????????13???????53 53當(dāng) x=0時 ,y=305=5,∴ OD=5,? (5分 ) ∵ 點 A(2,m)在直線 y=3x5上 , ∴ m=325=1,即 A(2,1),? (6分 ) ∴ S△ AOB=S△ AOC+S△ COD+S△ BOD=? ? =? .? (7分 ) 125 5 11 5 53 3 3??? ? ? ? ?????356思路分析 (1)把 B點坐標(biāo)代入直線解析式可求出 n的值 ,再將 B點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式 可求出 k的值 .(2)△ AOB被坐標(biāo)軸分成三部分 ,分別計算三部分的面積 ,求和即可 . 19.(2022甘肅蘭州 ,25,8分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,一次函數(shù) y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù) y2 =? 的圖象交于點 A(1,2)和 B(2,m). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式 。 (2)請直接寫出 y1y2時 ,x的取值范圍 。 (3)過點 B作 BE∥ x軸 ,AD⊥ BE于點 D,點 C是直線 BE上一點 ,若 AC=2CD,求點 C的坐標(biāo) . ? kx解析 (1)把 A(1,2)代入 y2=? 得 k=2. ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 y2=? . 把 B(2,m)代入 y2=? 得 2m=2,m=1. 把 A(1,2),B(2,1)代入 y1=ax+b得 ? 解得 ? ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y1=x+1. (2)x的取值范圍為 2x0或 x1. (3)∵ A(1,2),B(2,1),BE∥ x軸 ,AD⊥ BE, ∴ D(1,1),∴ AD=3. 當(dāng)點 C在點 D的右側(cè)時 , kx2x2x2,2 1,abab????? ? ? ?? 1, ??? ??思路分析 (1)把點 A的坐標(biāo)代入 y2=? ,求出 k的值 ,進而求出點 B的坐標(biāo) ,然后利用待定系數(shù)法求 出一次函數(shù)的表達式 。(2)結(jié)合函數(shù)圖象可寫出 y1y2時 ,x的取值范圍 。(3)分兩種情形 :① 點 C在點 D的右側(cè) 。② 點 C在點 D的左側(cè) .根據(jù) 30176。角的三角函數(shù)值求出 CD的長度 ,進而得出點 C的坐標(biāo) . kx∴ 點 C的坐標(biāo)為 (1+? ,1). 當(dāng)點 C在點 D的左側(cè)時 ,點 C的坐標(biāo)為 (1? ,1). 33∵ AD⊥ BE,AC=2CD, ∴∠ DAC=30176。, ∴ CD=ADtan 30176。=3?=?. 33 3方法指導(dǎo) 對于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題 ,常涉及以下幾個方面 : ,將交點坐標(biāo)先代入反比例函數(shù)解