【文章內容簡介】 =BC2,即 2x216x+32=26, 解得 x1=4+? ,x2=4? , 當 x=4+? 時 ,x2+4x+5=4? 8, 當 x=4? 時 ,x2+4x+5=4? 8, ∴ P(4+? ,4? 8)或 P(4? ,4? 8). 當 BE=EC時 ,BE2=EC2, 即 2x216x+32=2x28x+26, 解得 x=? , 當 x=? 時 ,x2+4x+5=? ,∴ P? . 當 BC=EC時 ,BC2=EC2, 即 26=2x28x+26,解得 x1=0,x2=4,當 x=0時 ,x2+4x+5=5, 13 1313 1313 1313 13 13 133434 11916 3 1 1 9,4 1 6??????∴ P(0,5)。 當 x=4時 ,x2+4x+5=5,∴ P(4,5),這時 ,點 P、 E、 B重合 ,不符合題意 ,舍去 . 綜上所述 ,P1? ,P2(4+? ,4? 8),P3(4? ,4? 8),P4(0,5). 3 1 1 9,4 1 6??????13 13 13 134.(2022重慶 A卷 ,26,12分 )如圖① ,在平面直角坐標系中 ,拋物線 y=? x2? x? 與 x軸交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側 ),與 y軸交于點 C,對稱軸與 x軸交于點 D,點 E(4,n)在拋物線上 . (1)求直線 AE的解析式 。 (2)如圖② ,點 P為直線 CE下方拋物線上的一點 ,連接 PC,△ PCE的面積最大時 ,連接 CD, CB,點 K是線段 CB的中點 ,點 M是 CP上的一點 ,點 N是 CD上的一點 ,求 KM+MN+NK的最小值 。 (3)點 G是線段 CE的中點 ,將拋物線 y=? x2? x? 沿 x軸正方向平移得到新拋物線 y39。,y39。經過點 D,y39。的頂點為點 y39。的對稱軸上 ,是否存在點 Q,使得△ FGQ為等腰三角形 ?若存在 , 直接寫出點 Q的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 33 233333 2333圖① ? 圖② 解析 (1)當 y=0時 ,? x2? x? =0, 解這個方程 ,得 x1=1,x2=3,∴ A(1,0),B(3,0), 當 x=4時 ,n=? 42? 4? =? , ∴ E? ,? (2分 ) 設直線 AE的方程為 y=ax+b(a≠ 0), 把點 A(1,0),E? 代入得 ? 解得 a=? ,b=? . ∴ 直線 AE的解析式為 y=? x+? .? (3分 ) (2)在拋物線方程中 ,令 x=0,得 y=? , ∴ 點 C(0,? ). 33 233333 2333 533534, 3??????534, 3??????0,53 4,3abab? ? ???? ????33 3333 3333∵ 點 E? , ∴ 直線 CE的解析式為 y=? x? . 過點 P作 PH∥ y軸 ,交 CE于點 H,如圖 1. ? 圖 1 設點 P的坐標為 ? ,則 H? , ∴ PH=? t? ? =? t2+? t, ∴ S△ PCE=? |xExC|PH=? 4? 534, 3??????233 323 2 3,333t t t????????23,33tt???????233 323 2 3 333tt????????33 43312 1223 4 333tt????????=? t2+? t. ∵ ? 0,拋物線的開口向下 ,0t4, ∴ 當 t=? =2時 ,S△ PCE取得最大值 . 此時 ,點 P的坐標為 (2,? ).? (5分 ) ∵ 點 C(0,? ),B(3,0), ∴ K的坐標為 ? . ∵ yC=yP=? , ∴ PC∥ x軸 , 作 K關于 CP的對稱點 K1, 則 K1? . 233 8332338332323????????3333,22???????33 3 3,22???????∵ tan∠ OCB=? =? , ∴∠ OCB=60176。. ∵ D(1,0), ∴ tan∠ OCD=? =? , ∴∠ OCD=30176。, ∴∠ OCD=∠ DCB=30176。, ∴ CD平分 ∠ OCB, ∴ 點 K關于 CD的對稱點 K2在 y軸上 . 又 ∵ CK=OC=? ,∴ 點 K2與點 O重合 . 連接 OK1,交 CD于點 N,交 CP于點 M,連接 KN,KM,如圖 2, ∴ KM=K1M,KN=ON. 33313 333? 圖 2 根據“兩點之間 ,線段最短”可得 ,此時 KM+MN+NK的值最小 , ∵ K1K2=OK1=? =3, ∴ KM+MN+NK的最小值為 3.? (8分 ) (3)存在 .點 Q的坐標為 ? ,? ,(3,2? )或 ? .? (12分 ) ? 223 3 322???? ? ?????? ??4 3 2 213, 3????????4 3 2 213, 3????????3 233, 5???????4 3 3: 3, , 2, , .33FG??? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???提 示 先 求 出 再 分 類 討 論5.(2022陜西 ,24,10分 )在同一直角坐標系中 ,拋物線 C1:y=ax22x3與拋物線 C2:y=x2+mx+n關于 y軸 對稱 ,C2與 x軸交于 A、 B兩點 ,其中點 A在點 B的左側 . (1)求拋物線 C1,C2的函數(shù)表達式 。 (2)求 A、 B兩點的坐標 。 (3)在拋物線 C1上是否存在一點 P,在拋物線 C2上是否存在一點 Q,使得以 AB為邊 ,且 以 A、 B、 P、 Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形 ?若存在 ,求出 P、 Q兩點的坐標 。若不存在 , 請說明理由 . 解析 (1)∵ C1與 C2關于 y軸對稱 , ∴ C1與 C2的交點一定在 y軸上 ,且 C1與 C2的形狀、大小均相同 , ∴ a=1,n=3.? (2分 ) ∴ C1的對稱軸為直線 x=1. ∴ C2的對稱軸為直線 x=1. ∴ m=2.? (3分 ) ∴ C1:y=x22x3,C2:y=x2+2x3.? (4分 ) (2)令 C2中 y=0,則 x2+2x3=0. 解之 ,得 x1=3,x2=1. ∴ A(3,0),B(1,0).? (6分 ) (3)存在 .設 P(a,b),則 Q(a+4,b)或 (a4,b).? (7分 ) ① 當 Q(a+4,b)時 ,得 : a22a3=(a+4)2+2(a+4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=a22a3=4+43=5. ∴ P1(2,5),Q1(2,5).? (9分 ) ? ② 當 Q(a4,b)時 ,得 : a22a3=(a4)2+2(a4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=443=3. ∴ P2(2,3),Q2(2,3). 綜上所述 ,所求點的坐標為 P1(2,5),Q1(2,5)。P2(2,3),Q2(2,3).? (10分 ) 解后反思 (1)以形定數(shù) ,拋物線與 x軸交點的橫坐標是對應的一元二次方程的兩實數(shù)根 。以數(shù) 定形 ,求出方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)的兩實數(shù)根 ,便得到拋物線 y=ax2+bx+c與 x軸交點的橫坐標 .特 別地 ,一元二次方程 ax2+bx+c=m的解即為二次函數(shù) y=ax2+bx+c當 y=m時的點的橫坐標 . (2)對于存在性問題的探究 ,一般是假設存在 ,按照存在的條件 ,結合題中的條件 ,得出結論 ,若得 到的結論與題中的條件矛盾 ,則不存在 ,存在性問題一般要分情況討論 . 思路分析 (1)由于拋物線 C C2關于 y軸對稱 ,因此兩條拋物線的交點在 y軸上 ,且 C1,C2的形 狀、大小均相同 ,可得 a,n的值 ,由 C1,C2的對稱軸關于 y軸對稱可得 m的值 。(2)求拋物線與 x軸的 交點坐標 ,令函數(shù)值 y等于 0,得到關于 x的一元二次方程 ,求解即可 .(3)以 AB為邊 ,且 以 A、 B、 P、 Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形 ,則 AB與 PQ平行且相等 ,所以 P、 Q兩點的 縱坐標相等 ,PQ=AB= P與點 Q的位置不確定 ,故要分類討論 . 考點三 拋物線與全等三角形、相似三角形 1.(2022湖北武漢 ,24,12分 )拋物線 L:y=x2+bx+c經過點 A(0,1),與它的對稱軸直線 x=1交于點 B. (1)直接寫出拋物線 L的解析式 。 (2)如圖 1,過定點的直線 y=kxk+4(k0)與拋物線 L交于點 M、 △ BMN的面積等于 1,求 k的值 。 (3)如圖 2,將拋物線 L向上平移 m(m0)個單位長度得到拋物線 L1,拋物線 L1與 y軸交于點 C,過點 C 作 y軸的垂線交拋物線 L1于另一點 L1的對稱軸與 x軸的交點 ,P為線段 OC上一點 .若 △ PCD與△ POF相似 ,并且符合條件的點 P恰有 2個 ,求 m的值及相應點 P的坐標 . ? 解析 (1)y=x2+2x+1.? 詳解 :由題意知 ? 解得 b=2,c=1,∴ 拋物線 L的解析式為 y=x2+2 x+1? (2)解法一 :直線 y=kxk+4經過定點 G(1,4), 易知 B點坐標為 (1,2), ∴ BG=2. ∵ S△ BMN=1,S△ BMN=S△ GBNS△ GBM=? BG( xNxM)=xNxM. ∴ xNxM=1. 由 ? 得 x2+(k2)xk+3=0, ∴ xN=? ,xM=? . ∴ xNxM=? =1,∴ k=177。3, ∵ k0,∴ k=3. 1,2 ( 1 )1,bc? ??????? ??1224,21y kx ky x x? ? ??? ? ? ? ??2282kk? ? ?2282kk? ? ?2 8k ?解法二 :過點 B作 BR∥ MN,交 x軸于點 R,連接 MR,NR. 設 MN交 x軸于點 Q,則 Q? . 直線 BR的解析式為 y=kxk+2,則 R的坐標為 ? . ∴ S△ BMN=S△ RMN=? RQ( yMyN)=1. ∴ ? ? k(xMxN)=1,即 xNxM=1.(以下同解法一 ) ? (3)依題意得 ,拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m. ∴ C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0). 設 P(0,t), 4 ,0k k???????2 ,0k k???????121242kk?????????當△ PCD∽ △ FOP時 ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t2(1+m)t+2=0① 。 當△ PCD∽ △ POF時 ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t=? (m+1)② . ? (i)當方程①有兩個相等的實數(shù)根時 , Δ=(1+m)28=0,∴ m=2? 1(舍負 ), 方程①有兩個相等的實數(shù)根 t1=t2=? , 此時 ,方程②有一個實數(shù)根 t=? . PCCDFOOP1 2mt??1tPCCDPOOF1 2mt??1t 1322223∴ m=2? 1,此時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? . (ii)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時 , 把②代入①得 ,? (m+1)2? (m+1)2+2=0, 解得 m=2(舍負 ), 此時 ,方程①有兩個不相等的實數(shù)根 t1=1,t2=2, 方程②有一個實數(shù)根 t=1, ∴ m=2,此時 ,點 P的坐標是 (0,1)和 (0,2). 綜上 ,當 m=2? 1時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? 。 當 m=2時 ,點 P的坐標是 (0,1)和 (0,2). 2 2 220,3??????19 132 2 220,3??????2.(2022廣西南寧 ,26,10分 )如圖 ,已知拋物線經過原點 O,頂點為 A(1,1),且與直線 y=x2交于 B,C兩 點 . (1)求拋物線的解析式及點 C的坐標 。 (2)求證 :△ ABC是直角三角形 。 (3)若點 N為 x軸上的一個動點 ,過點 N作 MN⊥ x軸 ,與拋物線交于點 M,則是否存在以 O,M,N為頂 點的三角形與△ ABC相似 ?若存在 ,請求出點 N的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 解析 (1)設拋物線的解析式為 y=a(x1)2+1(a≠ 0).? (1分 ) 把 (0,0)代入上式 ,得 0=a(01)2+1, ∴ a=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=(x1)2+1, 即 y=x2+2x.? (2分 ) 聯(lián)立得方程組 ? 解得 ? 或 ? ∴ 點 C的坐標為 (1,3).? (3分 ) (2)證法一 :過點 C作 CF垂直 x軸于點 F,過點 A作 AE垂直 x軸于點 E,已知點 A(1,1),B(2,0),C(1,3