【文章內容簡介】 2? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?322 ? ?522152解題思路 本題主要結合雙曲線和矩形的對稱性求出 B,C,D的坐標 ,再用兩點之間的距離公式 求出矩形的長和寬 ,即可求矩形的面積 . 7.(2022河南 ,18,9分 )如圖 ,反比例函數 y=? (x0)的圖象過格點 (網格線的交點 )P. (1)求反比例函數的解析式 。 (2)在圖中用直尺和 2B鉛筆畫出兩個矩形 (不寫畫法 ),要求每個矩形均需滿足下列兩個條件 : ①四個頂點均在格點上 ,且其中兩個頂點分別是點 O,點 P。 ②矩形的面積等于 k的值 . ? kx解析 (1)∵ 點 P(2,2)在反比例函數 y=? (x0)的圖象上 , ∴ ? =2,即 k=4. ∴ 反比例函數的解析式為 y=? . (2)(答案不唯一 ,正確畫出兩個矩形即可 ) 舉例 :如圖 ,矩形 OAPB,矩形 OPCD. ? kxk 4x8.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點 A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過點 A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當 a=2時 ,P(t,0)是 x軸上的動點 ,將點 B繞點 P順時針旋轉 90176。至點 C. ①若 t=1,直接寫出點 C的坐標 。 ②若雙曲線 y=? 經過點 C,求 t的值 。 (2)如圖 2,將圖 1中的雙曲線 y=? (x0)沿 y軸折疊得到雙曲線 y=? (x0),將線段 OA繞點 O旋轉 ,點 A剛好落在雙曲線 y=? (x0)上的點 D(d,n)處 ,求 m和 n的數量關系 . ? 8x8x 8x 8x8x解析 (1)① C(1,3). ②依題意 ,得點 C的坐標是 (t,t+2). ∵ 雙曲線 y=? 經過點 C,∴ t(t+2)=8, 解得 t=2或 4. (2)∵ 點 A,D分別在雙曲線 y=? 和 y=? 上 , ∴ m=? ,n=? ,即 a=? ,d=? . ∵ OA=OD, ∴ a2+m2=d2+n2, ∴ ? +m2=? +n2, ∴ (mn)(m+n)(mn+8)(mn8)=0, ∵ m0,n0,∴ mn0,mn80, ∴ m+n=0或 mn=8. ∴ m和 n的數量關系是 m+n=0或 mn=8. 8x 8x8x8a8d 8m8n28m??????28n?方法歸納 解答反比例函數與幾何圖形相結合問題的最常用的方法是由點的坐標求相關線 段的長度 ,用相關線段的長度表示點的坐標 . 思路分析 (1)①當 t=1時 ,求出 PB的長即可得出點 C的坐標 。②由題意可知點 C的坐標為 (t,t+2), 把點 C的坐標代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m8n28??????28n?9.(2022內蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數 y=? (k為常數 ). (1)若點 P1? 和點 P2? 是該反比例函數圖象上的兩點 ,試利用反比例函數的性質 比較 y1和 y2的大小 。 (2)設點 P(m,n)(m0)是其圖象上的一點 ,過點 P作 PM⊥ x軸于點 M,若 tan∠ POM=2,PO=? (O為 坐標原點 ),求 k的值 ,并直接寫出不等式 kx+? 0的解集 . 2 1kx??113,2 y???????21 ,2 y? 52 1x?解析 (1)∵ k210, ∴ 反比例函數 y=? 在每個象限內 y隨 x的增大而增大 , 又 ∵ ? ? 0,∴ y1y2. (2)∵ 點 P(m,n)在反比例函數 y=? 的圖象上 ,且 m0,∴ n0,∴ OM=m,PM=n, ∵ tan∠ POM=2,∴ ? =? =2,∴ n=2m, 又 ∵ PO=? ,∴ m2+n2=5, ∴ m=1,n=2, ∴ 點 P的坐標為 (1,2),∴ k21=2, 解得 k=177。1. ①當 k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。 ②當 k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x0. 2 1kx??12132? 2 1k xPMn?5 2 1k x?222 1k x?考點二 反比例函數與一次函數的結合 1.(2022四川自貢 ,12,3分 )一次函數 y1=k1x+b和反比例函數 y2=? (k1k2≠ 0)的圖象如圖所示 ,若 y1 y2,則 x的取值范圍是 ? ( ) ? x0或 x1 x1 2或 x1 2或 0x1 2kx答案 D 觀察題中的函數圖象可知 ,當 x2或 0x1時 ,直線 y1=k1x+b在雙曲線 y2=? 的上方 ,即 若 y1y2,則 x的取值范圍是 x2或 0x1. 2kx2.(2022甘肅蘭州 ,11,4分 )如圖 ,反比例函數 y=? (x0)與一次函數 y=x+4的圖象交于 A,B兩點 ,A,B 兩點的橫坐標分別為 3,1,則關于 x的不等式 ? x+4(x0)的解集為 ? ( ) ? 3 x1 x0 3或 1x0 kxk答案 B 由題意知 A,B兩點既在一次函數 y=x+4的圖象上 ,又在反比例函數 y=? (x0)的圖象 上 ,當 x3時 ,反比例函數 y=? (x0)的圖象在一次函數 y=x+4圖象的上方 。當 3x1時 ,反比例函 數 y=? (x0)的圖象在一次函數 y=x+4圖象的下方 。當 1x0時 ,反比例函數 y=? (x0)的圖象在 一次函數 y=x+4圖象的上方 ,故選 B. kxkxkx kx思路分析 分析圖象解題 ,根據“函數值大的圖象在上方”寫出 x的取值范圍 . 3.(2022安徽 ,13,5分 )如圖 ,正比例函數 y=kx與反比例函數 y=? 的圖象有一個交點 A(2,m),AB⊥ x 軸于點 y=kx,使其經過點 B,得到直線 l,則直線 l對應的函數表達式是 . ? 6x答案 y=? x3 32解析 將點 A的坐標代入 y=? ,可得 m=3,將 A(2,3)代入 y=kx,可得 k=? ,因為 AB⊥ x軸 ,所以點 B(2, 0),由平移可得直線 l對應的函數表達式為 y=? (x2)=? x3. 6x 323 32思路分析 先把點 A的坐標代入 y=? 得 m的值 ,然后求 k的值 ,由 AB⊥ x軸得點 B的坐標 ,從而由平 移及直線 l過點 B得直線 l對應的函數表達式 . 6x4.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,一次函數 y=x+b的圖象經過點 A(2,0), 與反比例函數 y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數和反比例函數的表達式 。 (2)設 M是直線 AB上一點 ,過 M作 MN∥ x軸 ,交反比例函數 y=? (x0)的圖象于點 N,若以 A,O,M,N 為頂點的四邊形為平行四邊形 ,求點 M的坐標 . ? kx kx解析 (1)∵ 一次函數 y=x+b的圖象經過點 A(2,0), ∴ 2+b=0,∴ b=2, ∴ 一次函數的表達式為 y=x+2, ∵ 一次函數的圖象與反比例函數 y=? (x0)的圖象交于 B(a,4), ∴ a+2=4,∴ a=2,∴ B(2,4), ∴ 反比例函數的表達式為 y=? . (2)設 M(m2,m),N? ,m0. 當 MN∥ AO且 MN=AO時 ,以 A、 O、 M、 N為頂點的四邊形是平行四邊形 . 故 ? =2且 m0,解得 m=2? 或 m=2? +2, ∴ 點 M的坐標為 (2? 2,2? )或 (2? ,2? +2). kx8x8 , mm??????8 ( 2 )m??232335.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,已知正比例函數 y=? x的圖象與反比 例函數 y=? 的圖象交于 A(a,2),B兩點 . (1)求反比例函數的表達式和點 B的坐標 。 (2)P是第一象限內反比例函數圖象上一點 ,過點 P作 y軸的平行線 ,交直線 AB于點 C,連接 PO,若 △ POC的面積為 3,求點 P的坐標 . ? 12kx解析 (1)∵ A(a,2)在 y=? x的圖象上 , ∴ ? a=2?a=4,∴ A(4,2), ∵ A(4,2)在 y=? 的圖象上 ,∴ k=4(2)=8, ∴ 反比例函數的表達式為 y=? , 聯(lián)立 ? ?x2=16?x=177。4,∴ B(4,2). (2)設 P? (m0),則 C? , ? 121 kx 8x1 ,28yxy x? ????? ??? 8,m m??????1, 2mm可得 PC=? ,△ POC的 PC邊上的高為 m, 則 S△ POC=? m? =3,∴ m2=28或 4,∴ m=2? 或 2, ∴ P? 或 P(2,4). 8 2mm ?128 2?7472 7 , 7??????思路分析 (1)要求反比例函數的表達式 ,需要求出 A的坐標 。B點是兩函數圖象的交點 ,所以聯(lián) 立解析式即可求出 . (2)△ POC的一邊平行于 y軸 ,所以以 PC為底求三角形的面積 ,由于不能確定 P點和 C點的位置 , 所以表示 PC長度的時候需要加上絕對值 ,然后利用△ POC的面積為 3,即可得出 P點的坐標 . 6.(2022河南 ,20,9分 )如圖 ,一次函數 y=x+b與反比例函數 y=? (x0)的圖象交于點 A(m,3)和 B(3, 1). (1)填空 :一次函數的解析式為 ,反比例函數的解析式為 。 (2)點 P是線段 AB上一點 ,過點 P作 PD⊥ x軸于點 D,連接 OP,若△ POD的面積為 S,求 S的取值范圍 . ? kx解析 (1)y=x+4。y=? .? (4分 ) (2)∵ 點 A(m,3)在 y=? 的圖象上 ,∴ ? =3,∴ m=1. ∴ A(1,3).? (5分 ) 而點 P在線段 AB上 ,設點 P(n,n+4),則 1≤ n≤ 3, S=? ODPD=? n( n+4)=? (n2)2+2.? (7分 ) ∵ ? 0,且 1≤ n≤ 3, ∴ 當 n=2時 ,S最大 =2。當 n=1或 3時 ,S最小 =? .? (8分 ) ∴ S的取值范圍是 ? ≤ S≤ 2.? (9分 ) 3x3x 312 12 1212 32327.(2022新疆 ,21,11分 )如圖 ,直線 y=2x+3與 y軸交于 A點 ,與反比例函數 y=? (k0)的圖象交于點 B, 過點 B作 BC⊥ x軸于點 C,且點 C的坐標為 (1,0). (1)求反比例函數的解析式 。 (2)點 D(a,1)是反比例函數 y=? (k0)圖象上的點 ,在 x軸上是否存在點 P,使得 PB+PD最小 ?若存 在 ,求出點 P的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? kxkx解析 (1)∵ BC⊥ x軸于點 C,且 C點的坐標為 (1,0),∴ 在 y=2x+3中 ,當 x=1時 ,y=2+3=5,∴ 點 B的坐 標為 (1,5),又 ∵ 點 B(1,5)在反比例函數 y=? 的圖象上 , ∴ k=15=5,∴ 反比例函數的解析式為 y=? . (2)存在 .將點 D(a,1)代入 y=? ,得 a=5,∴ 點 D的坐標為 (5,1),設點 D(5,1)關于 x軸的對稱點為 D39。,則 D 39。(5,1),過點 B(1,5)、點 D39。(5,1)的直線解析式為 y=kx+b,k≠ 0,則 ? 解得 ? ∴ 直線 BD39。的解析式為 y=? x+? ,根據題意知 ,直線 BD39。與 x軸的交點即為所求點 P,當 y=0,即 ? x+? =0 時 ,解得 x=? ,故點 P的坐標為 ? . kx5x5x5,5 1,kbkb???? ? ? ??3 ,213,2kb? ?????? ???32132 321323 13,03??????考點三 反比例函數的應用 1.(2022湖北宜昌 ,15,3分 )某學校要種植一塊面積為 100 m2的長方形草坪 ,要求兩鄰邊均不小于 5 m,則草坪的一邊長 y(單位 :m)隨其鄰邊長 x(單位 :m)的變化而變化的圖象可能是 ? ( ) ? 答案 C 由題意得 y=? ,因兩鄰邊長均不小于 5 m,可得 5≤ y≤ 20,符合題意的選項只有 C. 100x2.(2022海南 ,9,3分 )某村耕地總面積為 50公頃 ,且該村人均耕地面積 y(單位 :公頃 /人 )與總人口 x (單位 :人 )的函數圖象如圖所示 ,則下列說法正確的是 ? ( ) ? y與總人口 x成正比例 2公頃 ,則總人口有 100人 50人時 ,人均耕地