【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?322 ? ?522152解題思路 本題主要結(jié)合雙曲線和矩形的對(duì)稱性求出 B,C,D的坐標(biāo) ,再用兩點(diǎn)之間的距離公式 求出矩形的長(zhǎng)和寬 ,即可求矩形的面積 . 7.(2022河南 ,18,9分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過(guò)格點(diǎn) (網(wǎng)格線的交點(diǎn) )P. (1)求反比例函數(shù)的解析式 。 (2)在圖中用直尺和 2B鉛筆畫出兩個(gè)矩形 (不寫畫法 ),要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件 : ①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 ,且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn) O,點(diǎn) P。 ②矩形的面積等于 k的值 . ? kx解析 (1)∵ 點(diǎn) P(2,2)在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ ? =2,即 k=4. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . (2)(答案不唯一 ,正確畫出兩個(gè)矩形即可 ) 舉例 :如圖 ,矩形 OAPB,矩形 OPCD. ? kxk 4x8.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點(diǎn) A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過(guò)點(diǎn) A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當(dāng) a=2時(shí) ,P(t,0)是 x軸上的動(dòng)點(diǎn) ,將點(diǎn) B繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。至點(diǎn) C. ①若 t=1,直接寫出點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 ②若雙曲線 y=? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,求 t的值 。 (2)如圖 2,將圖 1中的雙曲線 y=? (x0)沿 y軸折疊得到雙曲線 y=? (x0),將線段 OA繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn) ,點(diǎn) A剛好落在雙曲線 y=? (x0)上的點(diǎn) D(d,n)處 ,求 m和 n的數(shù)量關(guān)系 . ? 8x8x 8x 8x8x解析 (1)① C(1,3). ②依題意 ,得點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (t,t+2). ∵ 雙曲線 y=? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,∴ t(t+2)=8, 解得 t=2或 4. (2)∵ 點(diǎn) A,D分別在雙曲線 y=? 和 y=? 上 , ∴ m=? ,n=? ,即 a=? ,d=? . ∵ OA=OD, ∴ a2+m2=d2+n2, ∴ ? +m2=? +n2, ∴ (mn)(m+n)(mn+8)(mn8)=0, ∵ m0,n0,∴ mn0,mn80, ∴ m+n=0或 mn=8. ∴ m和 n的數(shù)量關(guān)系是 m+n=0或 mn=8. 8x 8x8x8a8d 8m8n28m??????28n?方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合問(wèn)題的最常用的方法是由點(diǎn)的坐標(biāo)求相關(guān)線 段的長(zhǎng)度 ,用相關(guān)線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)的坐標(biāo) . 思路分析 (1)①當(dāng) t=1時(shí) ,求出 PB的長(zhǎng)即可得出點(diǎn) C的坐標(biāo) 。②由題意可知點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (t,t+2), 把點(diǎn) C的坐標(biāo)代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m8n28??????28n?9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數(shù) y=? (k為常數(shù) ). (1)若點(diǎn) P1? 和點(diǎn) P2? 是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn) ,試?yán)梅幢壤瘮?shù)的性質(zhì) 比較 y1和 y2的大小 。 (2)設(shè)點(diǎn) P(m,n)(m0)是其圖象上的一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ x軸于點(diǎn) M,若 tan∠ POM=2,PO=? (O為 坐標(biāo)原點(diǎn) ),求 k的值 ,并直接寫出不等式 kx+? 0的解集 . 2 1kx??113,2 y???????21 ,2 y? 52 1x?解析 (1)∵ k210, ∴ 反比例函數(shù) y=? 在每個(gè)象限內(nèi) y隨 x的增大而增大 , 又 ∵ ? ? 0,∴ y1y2. (2)∵ 點(diǎn) P(m,n)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且 m0,∴ n0,∴ OM=m,PM=n, ∵ tan∠ POM=2,∴ ? =? =2,∴ n=2m, 又 ∵ PO=? ,∴ m2+n2=5, ∴ m=1,n=2, ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,2),∴ k21=2, 解得 k=177。1. ①當(dāng) k=1時(shí) ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。 ②當(dāng) k=1時(shí) ,不等式 kx+? 0的解集為 x0. 2 1kx??12132? 2 1k xPMn?5 2 1k x?222 1k x?考點(diǎn)二 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合 1.(2022四川自貢 ,12,3分 )一次函數(shù) y1=k1x+b和反比例函數(shù) y2=? (k1k2≠ 0)的圖象如圖所示 ,若 y1 y2,則 x的取值范圍是 ? ( ) ? x0或 x1 x1 2或 x1 2或 0x1 2kx答案 D 觀察題中的函數(shù)圖象可知 ,當(dāng) x2或 0x1時(shí) ,直線 y1=k1x+b在雙曲線 y2=? 的上方 ,即 若 y1y2,則 x的取值范圍是 x2或 0x1. 2kx2.(2022甘肅蘭州 ,11,4分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)與一次函數(shù) y=x+4的圖象交于 A,B兩點(diǎn) ,A,B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 3,1,則關(guān)于 x的不等式 ? x+4(x0)的解集為 ? ( ) ? 3 x1 x0 3或 1x0 kxk答案 B 由題意知 A,B兩點(diǎn)既在一次函數(shù) y=x+4的圖象上 ,又在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象 上 ,當(dāng) x3時(shí) ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象在一次函數(shù) y=x+4圖象的上方 。當(dāng) 3x1時(shí) ,反比例函 數(shù) y=? (x0)的圖象在一次函數(shù) y=x+4圖象的下方 。當(dāng) 1x0時(shí) ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象在 一次函數(shù) y=x+4圖象的上方 ,故選 B. kxkxkx kx思路分析 分析圖象解題 ,根據(jù)“函數(shù)值大的圖象在上方”寫出 x的取值范圍 . 3.(2022安徽 ,13,5分 )如圖 ,正比例函數(shù) y=kx與反比例函數(shù) y=? 的圖象有一個(gè)交點(diǎn) A(2,m),AB⊥ x 軸于點(diǎn) y=kx,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,得到直線 l,則直線 l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 . ? 6x答案 y=? x3 32解析 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入 y=? ,可得 m=3,將 A(2,3)代入 y=kx,可得 k=? ,因?yàn)?AB⊥ x軸 ,所以點(diǎn) B(2, 0),由平移可得直線 l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y=? (x2)=? x3. 6x 323 32思路分析 先把點(diǎn) A的坐標(biāo)代入 y=? 得 m的值 ,然后求 k的值 ,由 AB⊥ x軸得點(diǎn) B的坐標(biāo) ,從而由平 移及直線 l過(guò)點(diǎn) B得直線 l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 . 6x4.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,0), 與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)設(shè) M是直線 AB上一點(diǎn) ,過(guò) M作 MN∥ x軸 ,交反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象于點(diǎn) N,若以 A,O,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ,求點(diǎn) M的坐標(biāo) . ? kx kx解析 (1)∵ 一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,0), ∴ 2+b=0,∴ b=2, ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x+2, ∵ 一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4), ∴ a+2=4,∴ a=2,∴ B(2,4), ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? . (2)設(shè) M(m2,m),N? ,m0. 當(dāng) MN∥ AO且 MN=AO時(shí) ,以 A、 O、 M、 N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 . 故 ? =2且 m0,解得 m=2? 或 m=2? +2, ∴ 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (2? 2,2? )或 (2? ,2? +2). kx8x8 , mm??????8 ( 2 )m??232335.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,已知正比例函數(shù) y=? x的圖象與反比 例函數(shù) y=? 的圖象交于 A(a,2),B兩點(diǎn) . (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn) B的坐標(biāo) 。 (2)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) P作 y軸的平行線 ,交直線 AB于點(diǎn) C,連接 PO,若 △ POC的面積為 3,求點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 12kx解析 (1)∵ A(a,2)在 y=? x的圖象上 , ∴ ? a=2?a=4,∴ A(4,2), ∵ A(4,2)在 y=? 的圖象上 ,∴ k=4(2)=8, ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? , 聯(lián)立 ? ?x2=16?x=177。4,∴ B(4,2). (2)設(shè) P? (m0),則 C? , ? 121 kx 8x1 ,28yxy x? ????? ??? 8,m m??????1, 2mm可得 PC=? ,△ POC的 PC邊上的高為 m, 則 S△ POC=? m? =3,∴ m2=28或 4,∴ m=2? 或 2, ∴ P? 或 P(2,4). 8 2mm ?128 2?7472 7 , 7??????思路分析 (1)要求反比例函數(shù)的表達(dá)式 ,需要求出 A的坐標(biāo) 。B點(diǎn)是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn) ,所以聯(lián) 立解析式即可求出 . (2)△ POC的一邊平行于 y軸 ,所以以 PC為底求三角形的面積 ,由于不能確定 P點(diǎn)和 C點(diǎn)的位置 , 所以表示 PC長(zhǎng)度的時(shí)候需要加上絕對(duì)值 ,然后利用△ POC的面積為 3,即可得出 P點(diǎn)的坐標(biāo) . 6.(2022河南 ,20,9分 )如圖 ,一次函數(shù) y=x+b與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于點(diǎn) A(m,3)和 B(3, 1). (1)填空 :一次函數(shù)的解析式為 ,反比例函數(shù)的解析式為 。 (2)點(diǎn) P是線段 AB上一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) P作 PD⊥ x軸于點(diǎn) D,連接 OP,若△ POD的面積為 S,求 S的取值范圍 . ? kx解析 (1)y=x+4。y=? .? (4分 ) (2)∵ 點(diǎn) A(m,3)在 y=? 的圖象上 ,∴ ? =3,∴ m=1. ∴ A(1,3).? (5分 ) 而點(diǎn) P在線段 AB上 ,設(shè)點(diǎn) P(n,n+4),則 1≤ n≤ 3, S=? ODPD=? n( n+4)=? (n2)2+2.? (7分 ) ∵ ? 0,且 1≤ n≤ 3, ∴ 當(dāng) n=2時(shí) ,S最大 =2。當(dāng) n=1或 3時(shí) ,S最小 =? .? (8分 ) ∴ S的取值范圍是 ? ≤ S≤ 2.? (9分 ) 3x3x 312 12 1212 32327.(2022新疆 ,21,11分 )如圖 ,直線 y=2x+3與 y軸交于 A點(diǎn) ,與反比例函數(shù) y=? (k0)的圖象交于點(diǎn) B, 過(guò)點(diǎn) B作 BC⊥ x軸于點(diǎn) C,且點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,0). (1)求反比例函數(shù)的解析式 。 (2)點(diǎn) D(a,1)是反比例函數(shù) y=? (k0)圖象上的點(diǎn) ,在 x軸上是否存在點(diǎn) P,使得 PB+PD最小 ?若存 在 ,求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? kxkx解析 (1)∵ BC⊥ x軸于點(diǎn) C,且 C點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,0),∴ 在 y=2x+3中 ,當(dāng) x=1時(shí) ,y=2+3=5,∴ 點(diǎn) B的坐 標(biāo)為 (1,5),又 ∵ 點(diǎn) B(1,5)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ k=15=5,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . (2)存在 .將點(diǎn) D(a,1)代入 y=? ,得 a=5,∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (5,1),設(shè)點(diǎn) D(5,1)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D39。,則 D 39。(5,1),過(guò)點(diǎn) B(1,5)、點(diǎn) D39。(5,1)的直線解析式為 y=kx+b,k≠ 0,則 ? 解得 ? ∴ 直線 BD39。的解析式為 y=? x+? ,根據(jù)題意知 ,直線 BD39。與 x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) P,當(dāng) y=0,即 ? x+? =0 時(shí) ,解得 x=? ,故點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . kx5x5x5,5 1,kbkb???? ? ? ??3 ,213,2kb? ?????? ???32132 321323 13,03??????考點(diǎn)三 反比例函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022湖北宜昌 ,15,3分 )某學(xué)校要種植一塊面積為 100 m2的長(zhǎng)方形草坪 ,要求兩鄰邊均不小于 5 m,則草坪的一邊長(zhǎng) y(單位 :m)隨其鄰邊長(zhǎng) x(單位 :m)的變化而變化的圖象可能是 ? ( ) ? 答案 C 由題意得 y=? ,因兩鄰邊長(zhǎng)均不小于 5 m,可得 5≤ y≤ 20,符合題意的選項(xiàng)只有 C. 100x2.(2022海南 ,9,3分 )某村耕地總面積為 50公頃 ,且該村人均耕地面積 y(單位 :公頃 /人 )與總?cè)丝?x (單位 :人 )的函數(shù)圖象如圖所示 ,則下列說(shuō)法正確的是 ? ( ) ? y與總?cè)丝?x成正比例 2公頃 ,則總?cè)丝谟?100人 50人時(shí) ,人均耕地