【正文】 30. 提示 :y=? x2? x+8? , 令 y=0, 解得 x1=12,x2=8, ∴ OA=8. 令 x=0,則 y=8? ,∴ OB=8? . ∴ tan∠ ABO=? =? ,∴∠ ABO=30176。 (3)如圖 3,當(dāng)邊 CD經(jīng)過(guò)點(diǎn) O時(shí) (此時(shí)點(diǎn) O與點(diǎn) G重合 ),過(guò)點(diǎn) D作 DQ∥ OB,交 AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,延長(zhǎng) ED到點(diǎn) K,使 DK=DN,過(guò)點(diǎn) K作 KI∥ OB,在 KI上取一點(diǎn) P,使得 ∠ PDK=45176。 (2)如圖 2,當(dāng) DE∥ AB時(shí) ,連接 HN, ① 求證 :四邊形 AMHN是平行四邊形 。=? +? (4≤ t0), ∴ 當(dāng) t=? 時(shí) ,y39。A2=t2+t+4(4≤ t0). 記 y39。A2=P39。A2=P39。H2+AH2。AH中 ,P39。H⊥ x軸 ,H為垂足 ,則有 H(m,0), 又 A(1,0),t=m22m3, 則 P39。(m,t)在第二象限 , 3 33 3∴ m0,t0,即 m0,t0, 又拋物線 y=x22x3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,4),且開口向上 , ∴ 4≤ t0, 過(guò)點(diǎn) P39。(m,t), ∵ 點(diǎn) P39。A2取得最小值時(shí) ,求 m的值 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0), ∴ 0=1b3,解得 b=2, ∴ 拋物線的解析式為 y=x22x3. ∵ y=x22x3=(x1)24, ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4). (2)① 由點(diǎn) P(m,t)在拋物線 y=x22x3上 ,有 t=m22m3, 又點(diǎn) P39。 ② 當(dāng)點(diǎn) P39。. ① 當(dāng)點(diǎn) P39。PF 4 2 2 0 ,52,4abab? ? ???? ? ? ???14 1214 1214 121212 12=3? ? (5分 ) =? x23x+9=? (x+2)2+12,? (6分 ) 其中 4x0,? (7分 ) ∴ S最大 =12,此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (2,2).? (9分 ) (3)證明 :∵ 直線 PB過(guò)點(diǎn) P(2,2)和點(diǎn) B(2,0), ∴ PB所在直線的解析式為 y=? x+1,? (10分 ) 設(shè) Q? 是 y=? x1上的任一點(diǎn) , 則 Q點(diǎn)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ? , 將 ? 代入 y=? x+1顯然成立 ,? (11分 ) ∴ 直線 l上的任意一點(diǎn)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在 PB所在直線上 .(12分 ) 21 1 1214 2 2x x x??? ? ? ? ?????34 34121,12aa???????121,1 2aa???????1,1 2aa???????126.(2022天津 ,25,10分 )已知拋物線 y=x2+bx3(b是常數(shù) )經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0). (1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo) 。 (3)將 (2)中 S最大時(shí)的點(diǎn) P與點(diǎn) B相連 ,求證 :直線 l上的任意一點(diǎn)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在 PB所在 直線上 . ? 1251,4??????解析 (1)∵ y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn) B、 D, ∴ ? 解之得 a=? ,b=? , ∴ y=? x2? x+2.? (2分 ) ∵ A(m,0)在拋物線上 , ∴ 0=? m2? m+2, 解得 m=4(m=2舍 ), ∴ A(4,0),? (3分 ) 圖象 (略 ).? (4分 ) (2)已知直線 l的解析式為 y=? x1, ∴ S=? AB ③ 若點(diǎn) Q是線段 AB上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) Q不與點(diǎn) A、 B重合 ),點(diǎn) R是線段 AC上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) R不與點(diǎn) A、 C 重合 ),請(qǐng) 直接 寫出△ PQR周長(zhǎng)的最小值 . 23 43解析 (1)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (0,2),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,0),點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? . (2)① 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (n,0). ∵ EP⊥ x軸 ,點(diǎn) E在拋物線上 , ∴ 點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ? . 又 ∵ PE=PC,∴ ? n2? n+2=1n, ∴ n1=? ,n2=1(不符合題意 ,舍去 ), ∴ 當(dāng) n=? 時(shí) ,? n2? n+2=? ? ? ? +2=? , ∴ E? . ② ? 或 ? .(提示 :F為直線 EA與 ED夾角的平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) ,畫圖求解 ,不要漏解 ) ③ ? .(提示 :利用對(duì)稱及兩點(diǎn)間距離確定△ PQR周長(zhǎng)的最小值 ) 81,3???????224,233n n n??? ? ?????23 433232 23 43 23232???????43 32???????5235,22???????32 523 2 6 5655.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,25,12分 )如圖 ,已知直線 l的解析式為 y=? x1,拋物線 y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(m,0),B(2,0),D? 三點(diǎn) . (1)求拋物線的解析式及 A點(diǎn)的坐標(biāo) ,并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線 。 (2)點(diǎn) P是線段 BC上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) P不與點(diǎn) B、 C重合 ). ① 過(guò)點(diǎn) P作 x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) E,若 PE=PC,求點(diǎn) E的坐標(biāo) 。如果不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明 理由 . 解析 (1)∵ 拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) (0,0), ∴ m21=0,∴ m=177。 (2)設(shè)點(diǎn) A是該拋物線上位于 x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) A作 x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn) D,再 作 AB⊥ x軸于點(diǎn) B,DC⊥ x軸于點(diǎn) C. ① 當(dāng) BC=1時(shí) ,直接寫出矩形 ABCD的周長(zhǎng) 。8+? t(12t+16)=6t2+12t=6(t1)2+6, ∵ 0t? ,∴ 當(dāng) t=1時(shí) ,S最大 ,且 Smax=6. ③ 當(dāng) ? t2時(shí) ,S=? t 當(dāng) 2+? x? 時(shí) ,∠ PCO∠ ACO。 (2)設(shè) y=ax2+bx+c對(duì)稱軸右側(cè) x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為 P,在 x軸上有一點(diǎn) A? ,試比較銳角 ∠ PCO與 ∠ ACO的大小 (不必證明 ),并寫出相應(yīng)的 P點(diǎn)橫坐標(biāo) x的取值范圍 。BN=PNP,AP,BP. ∴ O39。,求 k的值 . ? 52AFFB 34解析 (1)由題可得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x25x+5. (2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ? 設(shè)對(duì)稱軸與 x軸交于 Q點(diǎn) ,則 ? =? =? . 5 ,225,1,bacabc? ???? ??? ? ? ???1,5,5,abc??????? ??AFFB MN 34∵ MQ=? ,∴ QN=2,∴ B? , ∴ ? 解得 ? ∴ 直線 l的解析式為 y=? x+? ,則 D? . 易知直線 BC的解析式為 y=? x+5. ∵ S△ BCD=S△ BCG, ∴ ① DG1∥ BC(G1在 BC下方 ),直線 DG1的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,即 2x29x+9=0,∴ x1=? ,x2=3, ∵ x? ,∴ x=3,∴ G1(3,1). ② G在 BC上方時(shí) ,直線 G2G3與 DG1關(guān)于 BC對(duì)稱 . ∴ 直線 G2G3的解析式為 y=? x+? , 32 9 1 1,24??????1,9 1 1 ,24kmkm????? ????1 ,21 ,2km? ????? ???12 12 10,2??????1212 1212 12 325212 192∴ ? x+? =x25x+5,∴ 2x29x9=0. ∴ x1=? ,x2=? , ∵ x? ,∴ x=? ,∴ G2? . 綜上所述 ,點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (3,1)或 ? . (3)由題意可知 ,k+m=1. ∴ m=1k,∴ y=kx+1k,∴ kx+1k=x25x+5, 即 x2(k+5)x+k+4=0, ∴ x1=1,x2=k+4,∴ B(k+4,k2+3k+1). 取 AB的中點(diǎn) O39。 (2)設(shè)直線 l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 F,G是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn) ,若 ? =? ,且△ BCG與△ BCD的面積相等 ,求點(diǎn) G的坐標(biāo) 。(銷售額 =單價(jià) 銷量 ) (2)通過(guò)對(duì)上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 ,發(fā)現(xiàn)銷量 y(件 )與單價(jià) x(元 /件 )之間存在一次函數(shù)關(guān)系 , 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 。AD=x ③ 當(dāng) ? =? 時(shí) ,解得 a5=0(舍去 ),a6=1,∴ N3(1,0)。. ? 當(dāng) ? =? 時(shí) ,△ ABC∽ △ MNO, 或當(dāng) ? =? 時(shí) ,△ ABC∽ △ ONM. ∵ AB=? ,BC=3? ,∴ ? =? .? (6分 ) 設(shè)點(diǎn) N的坐標(biāo)為 (a,0),則點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (a,a2+2a),分四種情況討論 : ① 當(dāng) ? =3時(shí) ,解得 a1=0(舍去 ),a2=? ,∴ N1? 。 ② 當(dāng)點(diǎn) M在第三象限時(shí) ,ON=a,MN=a22a, 當(dāng) ? =? 時(shí) ,解得 a5=0(舍去 ),a6=1,∴ N2(1,0), 當(dāng) ? =3時(shí) ,解得 a7=0(舍去 ),a8=? (舍去 )。. ∴ △ ABC是直角三角形 .? (5分 ) 證法二 :已知點(diǎn) A(1,1),B(2,0),C(1,3). 根據(jù)勾股定理得 :AB=? =? ,BC=? =3? ,AC=? =2? . 在△ ABC中 ,∵ AB2+BC2=(? )2+(3? )2=20,AC2=(2? )2=20,∴ AB2+BC2=AC2. ∴ 根據(jù)勾股定理的逆定理得 :△ ABC是直角三角形 .? (5分 ) (3)解法一 :存在 .如圖 ,∵ 過(guò)點(diǎn) N作 MN⊥ x軸于點(diǎn) N,與拋物線交于點(diǎn) M, ∴∠ ABC=∠ MNO=90176。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x1)2+1(a≠ 0).? (1分 ) 把 (0,0)代入上式 ,得 0=a(01)2+1, ∴ a=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=(x1)2+1, 即 y=x2+2x.? (2分 ) 聯(lián)立得方程組 ? 解得 ? 或 ? ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,3).? (3分 ) (2)證法一 :過(guò)點(diǎn) C作 CF垂直 x軸于點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn) A作 AE垂直 x軸于點(diǎn) E,已知點(diǎn) A(1,1),B(2,0),C(1,3), ? 2 2,2,y x xyx? ? ? ????? 11 1,3xy ???? ??? 22 2, ??? ??∴ FC=FB=3,AE=BE=1, ∴ △ CBF和△ ABE是等腰直角三角形 , ∴∠ CBF=∠ ABE=45176。 (2)求證 :△ ABC是直角三角形 。 當(dāng)△ PCD∽ △ POF時(shí) ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t=? (m+1)② . ? (i)當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí) , Δ=(1+m)28=0,∴ m=2? 1(舍負(fù) ), 方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 t1=t2=? , 此時(shí) ,方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根 t=? . PCCDFOOP1 2mt??1tPCCDPOOF1 2mt??1t 1322223∴ m=2? 1,此時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,? )和 ? . (ii)當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí) , 把②代入①得 ,? (m+1)2? (m+1)2+2=0, 解得 m=2(舍負(fù) ), 此時(shí) ,方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 t1=1,t2=2, 方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根 t=1, ∴ m=2,此時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,1)和 (0,2). 綜上 ,當(dāng) m=2? 1時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (0,? )和 ? 。? 3, ∵ k0,∴ k=3. 1,2 ( 1 )1,bc? ??????? ??1224,21y kx ky x x? ? ??? ? ? ? ??2282kk? ? ?2282kk? ? ?2 8k ?解法二 :過(guò)點(diǎn) B作 BR∥ MN,交 x軸于點(diǎn) R,連接 MR,NR. 設(shè) MN交 x軸于點(diǎn) Q,則 Q? . 直線 BR的解析式為 y=kxk+2,則 R的坐標(biāo)為 ? . ∴ S△ BMN=S△ RMN=? RQ (3)如圖 2,將拋物線 L向上平移 m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線 L1,拋物線 L1與 y軸交于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) C 作 y軸的垂線交拋物線 L1于另一點(diǎn) L1的對(duì)稱軸與 x軸的交點(diǎn) ,P為線段 OC上一點(diǎn) .若 △ PCD與△ POF相似 ,并且符合條件的點(diǎn) P恰有 2個(gè) ,求 m的值及相應(yīng)點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)y=x2+2x+1.? 詳解 :由題意知 ? 解得 b=2,c=1,∴ 拋物線 L的解析式為 y=x2+2 x+1? (2)解法一 :直線 y=kxk+4經(jīng)過(guò)定點(diǎn) G(1,4), 易知 B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,2), ∴ BG=2. ∵ S△ BMN=1,