【正文】 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+b+c0,所以②正 確 。② a+b+c0。ymin=4,∴ 選項(xiàng) C錯(cuò)誤 ,故選 D. 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,難度適中 . 7.(2022陜西 ,10,3分 )已知拋物線 y=x22x+3與 x軸交于 A、 B兩點(diǎn) ,將這條拋物線的頂點(diǎn)記為 C,連 接 AC、 BC,則 tan∠ CAB的值為 ? ( ) A.? B.? C.? 12 55 255答案 D 不妨設(shè)點(diǎn) A在點(diǎn) B左側(cè) , 如圖 ,作 CD⊥ AB交 AB于點(diǎn) D,當(dāng) y=0時(shí) ,x22x+3=0, 解得 x1=3,x2=1,所以 A(3,0),B(1,0), 所以 AB=4,因?yàn)?y=x22x+3=(x+1)2+4, 所以頂點(diǎn) C(1,4),所以 AD=2,CD=4, 所以 tan∠ CAB=? =2,故選 D. ? CDAD評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,求某個(gè)角的三角函數(shù)值 .屬于容易題 . 8.(2022甘肅蘭州 ,14,4分 )二次函數(shù) y=x2+x+c的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A(x1,0),B(x2,0),且 x1x2,點(diǎn) P (m,n)是圖象上一點(diǎn) ,那么下列判斷正確的是 ? ( ) n0時(shí) ,m0 n0時(shí) ,mx2 n0時(shí) ,x1mx2 n0時(shí) ,mx1 答案 C 由已知得 ,函數(shù)圖象開口向上 ,對(duì)稱軸在 y軸左側(cè) ,畫出草圖 (如圖 ),當(dāng) n0時(shí) ,mx1或 m x2。由拋 物線 C1與平行于 x軸的直線交于 A(1,2)及結(jié)論① ,可得 B(5,2),易知拋物線 C2的對(duì)稱軸為 y軸 ,設(shè) A 點(diǎn)關(guān)于 y軸對(duì)稱的點(diǎn)為 E,畫圖可知 ,要使拋物線 C2與線段 AB恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,則拋物線 C2與線 段 EB(不含點(diǎn) E,含點(diǎn) B)恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,當(dāng)拋物線 C2經(jīng)過點(diǎn) E時(shí) ,a=2,當(dāng)拋物線 C2經(jīng)過點(diǎn) B時(shí) ,a= ? ,所以 ? ≤ a2,所以④正確 。拋物線與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (0,2n1), 所以②錯(cuò)誤 。④ 若拋物線 C2:y2=ax2(a≠ 0)與線段 AB恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,則 a的取值范圍是 ? ≤ a 2。② 拋物線與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1)。當(dāng) x1時(shí) ,y隨 x的增大而減小 ,選項(xiàng) C錯(cuò)誤 。 (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題 :已知定點(diǎn)拋物線 y=x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點(diǎn) 縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式 .請(qǐng)你解答 . 解析 (1)不唯一 ,如 y=x22x+2. (2)∵ 定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (b,c+b2+1),且 1+2b+c+1=1, ∴ c=12b, ∴ 頂點(diǎn)縱坐標(biāo) c+b2+1=22b+b2=(b1)2+1, ∴ 當(dāng) b=1時(shí) ,c+b2+1最小 ,拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小 ,此時(shí) c=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x. 考點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時(shí) ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因?yàn)?y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當(dāng) x=0時(shí) ,y=1,選項(xiàng) A錯(cuò)誤 。 當(dāng) OM為平行四邊形對(duì)角線時(shí) ,則 Q(1m,2m), ∵ 點(diǎn) Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=2或 0, ∴ Q5(1,4),Q6(1,0)(舍 ). 綜上所述 :點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (? ,22? )或 (? ,2+2? )或 (1,4). 55 5 5 55 5 5 5C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的概念 1.(2022甘肅蘭州 ,9,4分 )將拋物線 y=3x23向右平移 3個(gè)單位長(zhǎng)度 ,得到新拋物線的表達(dá)式為 ? ( ) =3(x3)23 =3x2 =3(x+3)23 =3x26 答案 A 直接根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減 ,上加下減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可 .故選 A. 解題關(guān)鍵 本題考查了二次函數(shù)圖象平移的變化規(guī)律 ,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象平移 與解析式的變化規(guī)律的對(duì)應(yīng)關(guān)系 . 方法規(guī)律 二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律 :將拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)向上平移 k(k0)個(gè)單位所得 的函數(shù)圖象的關(guān)系式為 y=ax2+bx+c+k,向下平移 k(k0)個(gè)單位所得的函數(shù)圖象的關(guān)系式為 y=ax2 +bx+ck。? , ∴ Q1(? ,22? ),Q2(? ,2+2? )。在直線 AG上 . 設(shè)直線 AB39。 ② 點(diǎn) P在直線 y=2x上 ,點(diǎn) Q在拋物線上 ,當(dāng)以 O,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí) ,求點(diǎn) Q的 坐標(biāo) . ? 解析 ∵ 拋物線 y=x2+2x+n過點(diǎn) M(1,0), ∴ 0=(1)2+2(1)+n,解得 n=3, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x+3. (1)∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,4). (2)① 存在 .聯(lián)立 ? 解得 ?? ∴ A(? ,2? ),B(? ,2? ), ∴ 點(diǎn) B(? ,2? )關(guān)于對(duì)稱軸 x=1的對(duì)稱點(diǎn)為 B39。 (2)設(shè)直線 y=2x與拋物線交于 A、 B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ): ① 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) G,使 ∠ AGC=∠ BGC?若存在 ,求出點(diǎn) G的坐標(biāo) 。 (3)假設(shè)存在點(diǎn) F為 PD的中點(diǎn) ,由中點(diǎn)的特征結(jié)合 P、 D兩點(diǎn)的坐標(biāo) ,用含 t的式子表示出點(diǎn) F的 坐標(biāo) ,將其代入直線 BC建立方程 t26t+9=0,求得 t=3,從而得到 F的坐標(biāo) . 312 32方法規(guī)律 若點(diǎn) P1,P2的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2),且線段 P1P2的中點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (x,y),則 ? 此公式為線段 P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 . 1212,2.2xxxyyy?? ???? ?? ???解后反思 以二次函數(shù)圖象為背景的動(dòng)點(diǎn)與幾何圖形結(jié)合的存在性問題 ,問題解決一般分為 兩個(gè)環(huán)節(jié) :(1)確定動(dòng)點(diǎn)的位置 ,在動(dòng)點(diǎn)變化的過程中尋找可確定的因素 (即可確定的量、可確 定的位置 )是突破問題的關(guān)鍵 。,又 AP=t,∴ AG=? t,PG=? t,即可得到 P的坐標(biāo) .由 OQ=92t,得到點(diǎn) D的橫坐標(biāo) ,由點(diǎn) D在拋物線上 ,得到點(diǎn) D 的縱坐標(biāo) 。 (2)① 過點(diǎn) P作 PG⊥ x軸于點(diǎn) G,由 AO=3,BO=9,OC=3? ,得到 ∠ CAO=60176。 (3)試探究在點(diǎn) P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中 ,是否存在某一時(shí)刻 ,使得點(diǎn) F為 PD的中點(diǎn) .若存在 ,請(qǐng)直接寫出 此時(shí) t的值與點(diǎn) F的坐標(biāo) 。 (2)① 直接寫出 P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo) (用含 t的代數(shù)式表示 ,結(jié)果需化簡(jiǎn) )。(2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x 軸 ,垂足分別為 M,N,根據(jù) ? =? =? ,求點(diǎn) B的坐標(biāo) ,進(jìn)而求出直線 l的解析式 ,由 S△ BCD=S△ BCG,根 據(jù)平行線間的距離相等 ,分兩種情況分別求出 G點(diǎn)坐標(biāo) 。BN=PNP,AP,BP. ∴ O39。,求 k的值 . ? 52AFFB 34解析 (1)由題可得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x25x+5. (2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ? 設(shè)對(duì)稱軸與 x軸交于 Q點(diǎn) ,則 ? =? =? . ∵ MQ=? ,∴ QN=2,∴ B? , ∴ ? 解得 ? 5 ,225,1,bacabc? ???? ??? ? ? ???1,5,5,abc??????? ??AFFB MN 3432 9 1 1,24??????1,9 1 1 ,24kmkm????? ????1 ,21 ,2km? ????? ???∴ 直線 l的解析式為 y=? x+? ,則 D? . 易知直線 BC的解析式為 y=? x+5. ∵ S△ BCD=S△ BCG, ∴ ① DG1∥ BC(G1在 BC下方 ),直線 DG1的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,即 2x29x+9=0,∴ x1=? ,x2=3, ∵ x? ,∴ x=3,∴ G1(3,1). ② G在 BC上方時(shí) ,直線 G2G3與 DG1關(guān)于 BC對(duì)稱 . ∴ 直線 G2G3的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,∴ 2x29x9=0. ∴ x1=? ,x2=? , ∵ x? ,∴ x=? ,∴ G2? . 12 12 10,2??????1212 1212 12 325212 19212 1929 3 1 74? 9 3 174?529 3 1 74? 9 3 17 67 3 17,48????????綜上所述 ,點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (3,1)或 ? . (3)由題意可知 ,k+m=1. ∴ m=1k,∴ y=kx+1k,∴ kx+1k=x25x+5, 即 x2(k+5)x+k+4=0, ∴ x1=1,x2=k+4,∴ B(k+4,k2+3k+1). 取 AB的中點(diǎn) O39。 (2)設(shè)直線 l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 F,G是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn) ,若 ? =? ,且△ BCG與△ BCD的面積相等 ,求點(diǎn) G的坐標(biāo) 。(4)如解析圖 ,由 P(m,n)及二次函數(shù)對(duì)稱軸為 x=1可知 PM=1n,PN=m,由 ∠ DPE=∠ PMD=90176。和 60176。(2)求出 C、 D點(diǎn)坐標(biāo) ,從而可求直線 CD的表 達(dá)式 ,令 y=0,即可判斷 。時(shí) ,? ≤ a≤ 1.? (8分 ) (4)n=m1(m1).(如圖 )? (10分 ) ? 評(píng)分說明 : (2)題 ,證明正確 ,但不先寫結(jié)論不扣分 。時(shí) ,在 Rt△ OCE中 ,OC=? OE. ∵ OE=3,OC=3a, 3∴ 3a=3? .? (7分 ) ∴ a=? . ∴ 當(dāng) 45176。3.? (2分 ) (2)OE的長(zhǎng)與 a值無(wú)關(guān) . 理由 :∵ y=ax2+2ax3a, ∴ C(0,3a),D(1,4a). ∴ 直線 CD的解析式為 y=ax3a.? (4分 ) 當(dāng) y=0時(shí) ,x=3. ∴ OE=3. ∴ OE的長(zhǎng)與 a值無(wú)關(guān) .? (5分 ) (3)當(dāng) β=45176。,求 a的取值范圍 。 (3)設(shè) ∠ DEO=β,45176。| x1x2|=? 12? =? . 212 122 22.(2022吉林 ,26,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=ax2+2ax3a(a0)與 x軸相交于 A,B兩 點(diǎn) ,與 y軸相交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 D,直線 DC與 x軸相交于點(diǎn) E. (1)當(dāng) a=1時(shí) ,拋物線頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ,OE= 。 (2)設(shè)直線 l與該拋物線兩交點(diǎn)為 A,B,O為原點(diǎn) ,當(dāng) k=2時(shí) ,求△ OAB的面積 . 解析 (1)證明 :令 x24x=kx+1,則 x2(4+k)x1=0, 因?yàn)?Δ=(4+k)2+40,所以直線 l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn) . (2)設(shè) A,B的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2),直線 l與 y軸的交點(diǎn)為 C,則 C點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,1), 易知 x1+x2=4+k=2,x1x2=1, 所以 (x1x2)2=8,所以 |x1x2|=2? , 所以△ OAB的面積 S=? (銷售額 =單價(jià) 銷量 ) (2)通過對(duì)上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 ,發(fā)現(xiàn)銷量 y(件 )與單價(jià) x(元 /件 )之間存在一次函數(shù)關(guān)系 , 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 。 當(dāng) 70x≤ 80時(shí) ,W隨 x的增大而減小 。 (2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為 W(元 ),求 W與 x之間的函數(shù)表達(dá)式 (利潤(rùn) =收入 成本 )。 (2)當(dāng) x取何值時(shí) ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn) W最大 ?最大總利潤(rùn)是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時(shí) ,總利潤(rùn) W最大 ,最大總利潤(rùn)是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加 2元 。1, ∴ y=x2+x或 y=x23x.? (2分 ) ∵ 當(dāng) x0時(shí) ,y隨 x的增大而減小 , ∴ y=x23x.? (3分 ) 由圖象知 :