【正文】 , ∴ S△ ABP=? AP, ∴ PF=AF=5, 在 Rt△ PFA中 ,∠ AFP=90176。, ∴∠ ODA=∠ PAF=45176。,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。, ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。,從而 Rt△ COA ∽ Rt△ BOC,再結合條件得出 ∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO,然后以這兩種情況分別根據相 似性質列方程求出 P點坐標 . 方法總結 這類二次函數與平面幾何相結合的問題常用到二次函數的性質、待定系數法以 及三角形相似的判定與性質 ,在解題時也常從這些方面去考慮 ,尋找突破口 ,同時壓軸題?？疾? 分類討論思想 ,因而在解題時注意分類討論 . 4.(2022云南昆明 ,22,9分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸是直線 x=2,且拋物線與 x軸的 正半軸交于點 A. (1)求拋物線的解析式 ,并根據圖象直接寫出當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍 。(2)由待定系數法求出直線 BC的方程 ,① 過 點 P作 PG⊥ x軸于點 G,交 CB于點 E,在 Rt△ PDE中可得 PD與 PE的關系 ,當線段 PE最長時 ,PD的 長度最大 ,設出 P點坐標 ,從而得出線段的長 ,由 PE=PGEG得二次函數 ,由二次函數的性質得最 值及此時自變量的值 ,從而得 P點坐標 。,∴ Rt△ COA∽ Rt△ BOC,故當 Rt△ PDC與 Rt△ COA 相似時 ,就有 Rt△ PDC與 Rt△ BOC相似 , ∵ 相似三角形的對應角相等 ,∴∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO. (i)當 ∠ PCD=∠ CBO(Rt△ PDC∽ Rt△ COB)時 ,如圖 b, 855? 圖 b 有 CP∥ OB, ∵ C(0,4),∴ yP=4,由 ? x2+? x+4=4, 解得 x=6或 x=0(舍 ). 即 Rt△ PDC∽ Rt△ COB時 ,P(6,4)。sin∠ PED=PE若不存在 ,請說明理由 。的 坐標是解決本題的關鍵 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=? x2+bx+c經過點 A(2,0),B (8,0). (1)求拋物線的解析式 。和△ ABC的面積相等 ,則點 C39。B39。B39。令 x=0,求得點 C坐標 ,然后利用三角形面積公式求出△ ABC的面積 。1(n=1舍去 ). 12 122244 m? 24 14??2244 n?? 24 14??∴ 拋物線 L39。與拋物線 L的頂點縱坐標相同 , ∴ ? =? ,? =? , 解得 m=177。(0,6)即可 . 設所求拋物線 L39。與 y軸的交點為 C39。C39。=AB=5. 要使 S△ A39。OC=? 56=15.? (4分 ) (2)由題意 ,得 A39。C39。,要使△ A39。在點 B39。、 B39。,且 L39。(2)將二次函數的解析式配方 ,根據 x取整數及二次函數的性質求出 W的最大值 . 2.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線 L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側 ),并與 y軸 相交于點 C. (1)求 A、 B、 C三點的坐標 ,并求△ ABC的面積 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數式分別表示 W1,W2。x2=? , ∴ ④ 正確 ,故選擇 B. ca8.(2022湖北黃岡 ,14,3分 )在 4,2,1,2四個數中 ,隨機取兩個數分別作為函數 y=ax2+bx+1中 a,b的 值 ,則該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的概率為 . 答案 ? 16解析 列舉 a,b所有可能的取值情況如下 : 由上表可知 ,a,b所有可能的取值情況有 12種 , ∵ 二次函數 y=ax2+bx+1的圖象恰好經過第一、二、四象限 , 且 x=0時 ,y=10, ∴ ? ∴ a0,b0,且 b24a0, 易知滿足條件的 a,b的值有 2種情況 ,即 a=1,b=4或 a=2,b=4, b a 4 2 1 2 4 (4,2) (4,1) (4,2) 2 (2,4) (2,1) (2,2) 1 (1,4) (1,2) (1,2) 2 (2,4) (2,2) (2,1) 20,0,24 0 ,ababa????????????∴ 二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的概率為 ? =? . 212169.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )如圖 ,若拋物線 y=ax2+bx+c上的 P(4,0),Q兩點關于它的對稱軸 x=1對稱 , 則 Q點的坐標為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點關于對稱軸 x=1對稱 ,則 P,Q兩點到對稱軸 x=1的距離相等 ,設點 Q的橫坐標為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點的坐標為 (2,0). 42 m?考點三 二次函數的綜合應用 1.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計 ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調研發(fā)現 : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。x2=? , 2 44b aca?ca∴ OA ∵ C(0,c),OA=OC,∴ A(c,0), 把 A(c,0)代入 y=ax2+bx+c得 ac2bc+c=0, ∴ acb+1=0,∴ ③ 正確 。OB=? .其中正確結論的 個數是 ? ( ) ? 2 44b aca? ca答案 B ∵ 拋物線開口向下 ,∴ a0, 又 ∵ 拋物線的對稱軸在 y軸的右側 ,∴ b0, ∵ 拋物線與 y軸的交點在 x軸上方 , ∴ c0,∴ abc0,∴ ① 正確 。③ acb+1=0。當直線 y=x+2c(即 l3)經過點 A(3,0)時 ,3+2c=0,c=5, 根據圖象可得當 2c≤ 5時 ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點 .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時 , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結果合在一起也不正確 ,故選 D. ? 歸納總結 數形結合思想主要指的是數與形之間的一一對應關系 ,就是把抽象的數學語言、 數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來 ,通過“以形助數”或“以數解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結合 ,可以使復雜問題簡單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 5.(2022內蒙古包頭 ,11,3分 )已知一次函數 y1=4x,二次函數 y2=2x2+ ,對于 x的同一 個值 ,這兩個函數所對應的函數值為 y1與 y2,則下列關系正確的是 ? ( ) y2 ≥ y2 y2 ≤ y2 答案 D y2y1=2x24x+2=2(x1)2,無論 x取何值 ,(x1)2≥ 0,∴ y2≥ y1,故選 D. 一題多解 根據函數圖象可以看出對于同一個 x的值 ,都有 y1≤ y2. ? 6.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數 y=(xh)2+1(h為常數 ),在自變量 x的值滿足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對應的函數值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當 h≥ 3時 ,二次函數在 x=3處取最小值 ,此時 (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當 1≤ h≤ 3時 ,二次函數在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當 h≤ 1時 ,二次函數在 x=1處取最小值 ,此時 (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 評析 本題考查了二次函數的圖象和性質 ,分類討論思想 ,解一元二次方程 ,屬于難題 . 7.(2022湖北孝感 ,10,3分 )如圖 ,二次函數 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于 A,B兩點 ,與 y軸交于 點 C,且 OA= :① abc0。當 x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項 D正確 .故選 D. 思路分析 根據題中的函數解析式以及二次函數的性質 ,可以判斷各個選項中的結論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關鍵 解答本題的關鍵是理解二次函數的性質 ,會用配方法求二次函數的最值 . 2.(2022陜西 ,10,3分 )對于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當 x=1時 ,y0,則這條拋物線的頂點一定在 ? ( ) 答案 C 當 x=1時 ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據拋物線頂點坐標公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當 a≤ x≤ a+1時 ,函數 y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當 a≥ 1時 ,函數 y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內 ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。該函數圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。第三問難度較大 ,找到定點 H的坐標是關鍵 ,再依據點 H,點 A的坐 標以及 ∠ AHP=45176。,得出 AH= AD,可證△ ADE≌ △ HAG,再求得點 D的坐標 ,分類討論求出拋物線的解析式 . 2 8,24m m m?????????方法總結 本題為二次函數的綜合題 ,屬壓軸題 .三個問題分別給出不同條件 ,再用待定系數法 求二次函數關系式 .第一問代入點 A的坐標即可得解 。 (2)由函數解析式得出頂點坐標為 ? ,作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 PQ=OQ,建立方程求出 m的值 ,得出拋物線的解析式 。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。,∠ AHP=45176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當 m=0時 ,點 P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當 x=2時 ,無論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點 H的坐標為 (2,4). 過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。時 ,求拋物線的解析式 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經過點 A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點 P的坐標為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點 P的坐標為 ? . 由點 A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點 P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。時 ,求拋物線的解析式 。,∠ BPM=∠ QPN,PB=PQ, ∴ △ PMB≌ △ PNQ. ∴ PM=PN. ① 當點 P在 x軸的上方時 ,有 x2+2x+3=x+3, 即 x2x=0,解得 x1=0,x2=1, ∴ P1(0,3),P2(1,4). ② 當點 P在 x軸的下方時 ,有 x2+2x+3=(x+3),即 x23x6=0,解得 x=? =? , ∴ P3? ,P4? . ∴ 滿足條件的點 P有四個 ,分別是 P1(0,3),P2(1,4), P3? ,P4? . 23 ( 3) 4 1 ( 6)2? ? ? ? ? ?3 3 32?3 33 9 33,22?????????33 9 33,22?????????3 3