【正文】 ). 當(dāng) PM=PC時 , ∴∠ MCP=∠ CMP, ∵∠ HMB=∠ CMP=45176。④ 直線 CM與☉ D相切 .其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ? ( ) ? 14答案 B ∵ y=? (x+2)(x8),∴ A(2,0),B(8,0). ∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=? =3,∴ ① 正確 . ∵ A(2,0),B(8,0),∴ AB=10,∴ r=5. ∴ S☉ D=πr2=π52=25π,∴ ② 錯誤 . 假設(shè)存在點 E,使四邊形 ACED為平行四邊形 ,則 AD?? CE, 當(dāng) x=0時 ,y=4,∴ C(0,4). 令 y=4,解得 x1=0(舍去 ),x2=6,∴ E(6,4),∴ CE=6. ∵ A(2,0),D(3,0),∴ AD=5,∴ AD≠ CE. ∴ 矛盾 ,假設(shè)不成立 ,即不存在點 E使四邊形 ACED為平行四邊形 ,∴ ③ 錯誤 . 令 x=3,則 y=? ,∴ M? . ∵ C(0,4),D(3,0), ∴ CD2=32+42=25,CM2=32+? =9+? =? , 14282??254 253, 4???????294??????811622516DM2=? =? , ∴ CD2+CM2=DM2,∴∠ DCM=90176。 ③ 由①知 ,x= ,垂直平分 AB,又 ∵ MC=MD, ∴ 四邊形 ACBD是菱形 ,∴ ③ 正確 。2 k (3)若 D是 y軸上的動點 ,過 D作與 x軸平行的直線交拋物線于 M、 N兩點 .是否存在點 D,使 DA2= DM.已知 C為 A39。 (3)過點 D作直線 DE∥ y軸 ,交 x軸于點 E,點 P是拋物線上 B、 D兩點間的一個動點 (點 P不與 B、 D 兩點重合 ),PA、 PB與直線 DE分別交于 F、 P運動時 ,EF+EG是不是定值 ?若是 ,試求出該 定值 。時 ,△ CNM∽ △ COB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . 綜上所述 ,當(dāng)△ CMN是直角三角形時 ,點 M的坐標(biāo)為 ? 或 ? . (3)連接 DN,AD, ∵ BD⊥ x軸 , ∴∠ OCB=∠ DBN, ∵∠ OCB=∠ ACM, ∴∠ ACM=∠ DBN, 又 ∵ CM=BN,AC=BD, ∴ △ CAM≌ △ BDN(SAS), ∴ AM=DN, ∴ AM+AN=DN+AN, CMCO CNCB 4 4 a? 1 5 a? 169 160,9??????CMCB CNCO 4 5 a? 1 4 a? 119 110,9??????160,9??????110,9??????當(dāng) A,N,D三點共線時 ,AM+AN最小 , ∵ AB=6,BD=5, ∴ 在 Rt△ ABD中 ,由勾股定理得 AD=? =? , ∴ AM+AN的最小值為 ? . 22AB BD? 6161思路分析 (1)將 A,C兩點的坐標(biāo)代入 y=ax25ax+c,解出 a,c的值 ,即可確定拋物線的解析式 .根據(jù) AC=BC,OC⊥ AB可知 B(3,0).又 BD⊥ AE,故 D的橫坐標(biāo)為 3,將 x=3代入解析式確定 D點的縱坐標(biāo) . (2)易知 OC=4,BC=5,令 M(0,a),則有 CM=BN=4a,CN=BCBN=1+ :① 若 ∠ CMN=90176。,∠ DPB=? ∠ APB=176。 (2)求 k,b的值 。 (2)將拋物線 L向下平移 h個單位長度 ,使平移后所得拋物線的頂點落在△ OBC內(nèi) (包括△ OBC的 邊界 ),求 h的取值范圍 。時 ,求拋物線的解析式 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經(jīng)過點 A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點 P的坐標(biāo)為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點 P的坐標(biāo)為 ? . 由點 A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點 P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。 (2)由函數(shù)解析式得出頂點坐標(biāo)為 ? ,作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 PQ=OQ,建立方程求出 m的值 ,得出拋物線的解析式 。當(dāng) x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項 D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會用配方法求二次函數(shù)的最值 . 2.(2022陜西 ,10,3分 )對于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時 ,y0,則這條拋物線的頂點一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時 ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時 ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。 ∵ C(0,c),OA=OC,∴ A(c,0), 把 A(c,0)代入 y=ax2+bx+c得 ac2bc+c=0, ∴ acb+1=0,∴ ③ 正確 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 2.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線 L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側(cè) ),并與 y軸 相交于點 C. (1)求 A、 B、 C三點的坐標(biāo) ,并求△ ABC的面積 。,要使△ A39。C39。1(n=1舍去 ). 12 122244 m? 24 14??2244 n?? 24 14??∴ 拋物線 L39。和△ ABC的面積相等 ,則點 C39。,∴ Rt△ COA∽ Rt△ BOC,故當(dāng) Rt△ PDC與 Rt△ COA 相似時 ,就有 Rt△ PDC與 Rt△ BOC相似 , ∵ 相似三角形的對應(yīng)角相等 ,∴∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO. (i)當(dāng) ∠ PCD=∠ CBO(Rt△ PDC∽ Rt△ COB)時 ,如圖 b, 855? 圖 b 有 CP∥ OB, ∵ C(0,4),∴ yP=4,由 ? x2+? x+4=4, 解得 x=6或 x=0(舍 ). 即 Rt△ PDC∽ Rt△ COB時 ,P(6,4)。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。, ∴ S△ ABP=? AP,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。(2)由待定系數(shù)法求出直線 BC的方程 ,① 過 點 P作 PG⊥ x軸于點 G,交 CB于點 E,在 Rt△ PDE中可得 PD與 PE的關(guān)系 ,當(dāng)線段 PE最長時 ,PD的 長度最大 ,設(shè)出 P點坐標(biāo) ,從而得出線段的長 ,由 PE=PGEG得二次函數(shù) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)得最 值及此時自變量的值 ,從而得 P點坐標(biāo) 。的 坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=? x2+bx+c經(jīng)過點 A(2,0),B (8,0). (1)求拋物線的解析式 。令 x=0,求得點 C坐標(biāo) ,然后利用三角形面積公式求出△ ABC的面積 。與 y軸的交點為 C39。C39。,且 L39。x2=? , 2 44b aca?ca∴ OA當(dāng)直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過點 A(3,0)時 ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當(dāng) 2c≤ 5時 ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點 .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時 , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ,故選 D. ? 歸納總結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系 ,就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來 ,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結(jié)合 ,可以使復(fù)雜問題簡單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 5.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知一次函數(shù) y1=4x,二次函數(shù) y2=2x2+ ,對于 x的同一 個值 ,這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值為 y1與 y2,則下列關(guān)系正確的是 ? ( ) y2 ≥ y2 y2 ≤ y2 答案 D y2y1=2x24x+2=2(x1)2,無論 x取何值 ,(x1)2≥ 0,∴ y2≥ y1,故選 D. 一題多解 根據(jù)函數(shù)圖象可以看出對于同一個 x的值 ,都有 y1≤ y2. ? 6.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數(shù) y=(xh)2+1(h為常數(shù) ),在自變量 x的值滿足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當(dāng) h≥ 3時 ,二次函數(shù)在 x=3處取最小值 ,此時 (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當(dāng) 1≤ h≤ 3時 ,二次函數(shù)在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當(dāng) h≤ 1時 ,二次函數(shù)在 x=1處取最小值 ,此時 (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 評析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,分類討論思想 ,解一元二次方程 ,屬于難題 . 7.(2022湖北孝感 ,10,3分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于 A,B兩點 ,與 y軸交于 點 C,且 OA= :① abc0。,得出 AH= AD,可證△ ADE≌ △ HAG,再求得點 D的坐標(biāo) ,分類討論求出拋物線的解析式 . 2 8,24m m m?????????方法總結(jié) 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,屬壓軸題 .三個問題分別給出不同條件 ,再用待定系數(shù)法 求二次函數(shù)關(guān)系式 .第一問代入點 A的坐標(biāo)即可得解 。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當(dāng) m=0時 ,點 P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當(dāng) x=2時 ,無論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點 H的坐標(biāo)為 (2,4). 過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。若不能 ,請說明理由 . ? 解析 (1)解法一 :把 C(0,3)代入 y=ax2+bx+c得 c=3, 把 B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得 9a+3b+3=0, 又 ? =1,∴ 解得 a=1,b=2. ∴ 解析式是 y=x2+2x+3. 解法二 :設(shè)所求解析式為 y=m(x1)2+n, 則把 B(3,0),C(0,3)代入得 ? 解得 ? ∴ 解析式是 y=(x1)2+4,即 y=x2+2x+3. (2)解法一 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 (1,4), 過點 D作 y軸的平行線分別交 CB,OB于點 E,F, 則 ? =? ,∴ EF=2. ∴ 42≤ h≤ 4,即 2≤ h≤ 4. 2ba4 0 ,3,mnmn???? ??? 1, ???? ??EFOCBFBO解法二 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 (1,4), ∵ △ OBC是等腰三角形 ,∠ OBC=45176。, 設(shè)拋物線的對稱軸與直線 AB的交點為 N,作點 D關(guān)于直線 AB的對稱點 E,連接 EN,過點 P作 PM⊥ EN,垂足為 M, ? 根據(jù)對稱性 ,∠ ENH=∠ DNH=∠ ABO=45176。45176。② 若 ∠ CNM=90176。 (2)點 M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點 ,若 MA=MB=MC,求點 M的坐標(biāo) 。 (2)當(dāng) 0x2? 時 ,是否存在點 P使以點 C,D,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形 ?若存在 ,求出點 P 的坐標(biāo) 。