【正文】 3 9 33,22?????????33 9 33,22?????????B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 二次函數(shù)的解析式 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )拋物線 y=? ? 3的頂點坐標(biāo)是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35212x???????1 ,32??????? 1 ,32????????1 ,32??????1 ,32???????答案 B ∵ 拋物線 y=a(xh)2+k的頂點坐標(biāo)為 (h,k), ∴ 拋物線 y=? ? 3的頂點坐標(biāo)為 ? .故選 B. 35212x??????? 1 ,32????????2.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )把拋物線 y=2x24x+3向左平移 1個單位長度 ,得到的拋物線的解析 式為 . 答案 y=2x2+1 解析 易知 y=2x24x+3=2(x1)2+1,則把原拋物線向左平移 1個單位長度后得到的拋物線的解析 式為 y=2x2+1. 3.(2022天津 ,25,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 O(0,0),點 A(1,0).已知拋物線 y=x2+mx2m(m是常 數(shù) ),頂點為 P. (1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點 A時 ,求頂點 P的坐標(biāo) 。若不能 ,請說明理由 . ? 解析 (1)解法一 :把 C(0,3)代入 y=ax2+bx+c得 c=3, 把 B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得 9a+3b+3=0, 又 ? =1,∴ 解得 a=1,b=2. ∴ 解析式是 y=x2+2x+3. 解法二 :設(shè)所求解析式為 y=m(x1)2+n, 則把 B(3,0),C(0,3)代入得 ? 解得 ? ∴ 解析式是 y=(x1)2+4,即 y=x2+2x+3. (2)解法一 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 (1,4), 過點 D作 y軸的平行線分別交 CB,OB于點 E,F, 則 ? =? ,∴ EF=2. ∴ 42≤ h≤ 4,即 2≤ h≤ 4. 2ba4 0 ,3,mnmn???? ??? 1, ???? ??EFOCBFBO解法二 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 (1,4), ∵ △ OBC是等腰三角形 ,∠ OBC=45176。 (2)將拋物線 L向下平移 h個單位長度 ,使平移后所得拋物線的頂點落在△ OBC內(nèi) (包括△ OBC的 邊界 ),求 h的取值范圍 。,∴∠ DAO=30176。 (2)點 P為拋物線的對稱軸上一動點 ,若△ PAD為等腰三角形 ,求出點 P的坐標(biāo) 。, 設(shè)拋物線的對稱軸與直線 AB的交點為 N,作點 D關(guān)于直線 AB的對稱點 E,連接 EN,過點 P作 PM⊥ EN,垂足為 M, ? 根據(jù)對稱性 ,∠ ENH=∠ DNH=∠ ABO=45176。 (2)求 k,b的值 。 當(dāng) Q點的橫坐標(biāo)大于 5時 ,∠ OCQ逐漸變小 ,故 ∠ OCA∠ OCQ。, ∴∠ DPB=∠ DBP, ∴ DP=DB, 在 Rt△ BDE中 ,BE=DE=2,由勾股定理可求得 BD=2? , ∴ PE=2+2? , ∴ P(1,2+2? )。45176。,∠ DPB=? ∠ APB=176。, ∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的對稱軸為 x=1, 設(shè)拋物線的對稱軸交直線 BC于點 D,交 x軸于點 E,當(dāng)點 P在 x軸上方時 ,如圖 , ∵∠ APB=∠ ABC=45176。 (2)拋物線的對稱軸上存在點 P,使 ∠ APB=∠ ABC,利用圖 1求點 P的坐標(biāo) 。② 若 ∠ CNM=90176。時 ,△ CNM∽ △ COB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . 綜上所述 ,當(dāng)△ CMN是直角三角形時 ,點 M的坐標(biāo)為 ? 或 ? . (3)連接 DN,AD, ∵ BD⊥ x軸 , ∴∠ OCB=∠ DBN, ∵∠ OCB=∠ ACM, ∴∠ ACM=∠ DBN, 又 ∵ CM=BN,AC=BD, ∴ △ CAM≌ △ BDN(SAS), ∴ AM=DN, ∴ AM+AN=DN+AN, CMCO CNCB 4 4 a? 1 5 a? 169 160,9??????CMCB CNCO 4 5 a? 1 4 a? 119 110,9??????160,9??????110,9??????當(dāng) A,N,D三點共線時 ,AM+AN最小 , ∵ AB=6,BD=5, ∴ 在 Rt△ ABD中 ,由勾股定理得 AD=? =? , ∴ AM+AN的最小值為 ? . 22AB BD? 6161思路分析 (1)將 A,C兩點的坐標(biāo)代入 y=ax25ax+c,解出 a,c的值 ,即可確定拋物線的解析式 .根據(jù) AC=BC,OC⊥ AB可知 B(3,0).又 BD⊥ AE,故 D的橫坐標(biāo)為 3,將 x=3代入解析式確定 D點的縱坐標(biāo) . (2)易知 OC=4,BC=5,令 M(0,a),則有 CM=BN=4a,CN=BCBN=1+ :① 若 ∠ CMN=90176。 (3)試求出 AM+AN的最小值 . ? 解析 (1)把 (3,0),(0,4)代入 y=ax25ax+c得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4, ∵ AC=BC,OC=OC, ∴ Rt△ AOC≌ Rt△ BOC(HL), ∴ OA=OB, ∵ A(3,0), ∴ B(3,0), ∵ BD⊥ x軸 ,D在拋物線上 , ∴ D(3,5). (2)易知 OC=4,BC=5,設(shè) M(0,a)(0≤ a≤ 4), ∵ CM=BN, ∴ CM=BN=4a,CN=BCBN=5(4a)=1+a, ① 當(dāng) ∠ CMN=90176。若不存在 ,請說明理由 . ? 解析 (1)由題意得 C(0,6), 將 (3,0),(1,0)代入 y=ax2+bx+6, 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=2x24x+6. (2)由 (1)可得 ,拋物線的對稱軸為直線 x=1, ∵ MA=MB, ∴ 點 M在拋物線的對稱軸 x=1上 , 設(shè)點 M(1,m),由 MB=MC,得 (11)2+m2=(10)2+(m6)2, ∴ m=? ,即 M? . (3)存在 .設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸的交點為 P. 由 (2)可知 ,點 M? 是△ ABC的外接圓的圓心 , ∴∠ ACB=∠ AMP=? ∠ AMB, 9 3 6 0,6 0,abab? ? ??? ? ? ?? 2, ???? ???114 111,4???????111,4???????12∴ tan∠ ACB=tan∠ AMP=? =? , 又 ∵ 4tan∠ ABE=11tan∠ ACB, ∴ tan∠ ABE=2, ∴ 直線 BE與 y軸的交點為 (0,2)或 (0,2). ∴ 直線 BE的解析式為 y=2x+2或 y=2x2. 又 ∵ 點 E在拋物線 y=2x24x+6上 , ∴ 2x+2=2x24x+6,可得 x1=2或 x2=1(舍去 ), 2x2=2x24x+6,可得 x3=4或 x4=1(舍去 ), 當(dāng) x=2時 ,y=2(2)+2=6, 當(dāng) x=4時 ,y=2(4)2=10. ∴ 符合條件的點 E有兩個 ,分別是 (2,6),(4,10). APPM 8117.(2022南寧 ,26,10分 )如圖 ,拋物線 y=ax25ax+c與坐標(biāo)軸分別交于 A,C,E三點 ,其中 A(3,0),C(0,4), 點 B在 x軸上 ,AC=BC,過點 B作 BD⊥ x軸交拋物線于點 D,點 M,N分別是線段 CO,BC上的動點 ,且 CM=BN,連接 MN,AM,AN. (1)求拋物線的解析式及點 D的坐標(biāo) 。 (2)點 M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點 ,若 MA=MB=MC,求點 M的坐標(biāo) 。 (3)過點 D作直線 DE∥ y軸 ,交 x軸于點 E,點 P是拋物線上 B、 D兩點間的一個動點 (點 P不與 B、 D 兩點重合 ),PA、 PB與直線 DE分別交于 F、 P運動時 ,EF+EG是不是定值 ?若是 ,試求出該 定值 。BN的中位線 ,∴ CD=? BN=? . 又 PE⊥ x軸 ,CD⊥ x軸 ,∴ CD∥ PE, ∴ 當(dāng) PE=CD時 ,四邊形 CDPE為平行四邊形 ,令 P(m,n). 此時 n=? ,∴ m2+2? m=? ,解得 m1=? ,m2=? , 又 ? ,? ∈ (0,2? ), ∴ P? 或 ? . 33 3 3 ,3,2abba? ???? ????1,2 3 ,ab????????33 3 33 3312 32323322 3 62? 2 3 62?2 3 62? 2 3 62? 32 3 6 3,22???????2 3 6 3,22???????5.(2022賀州 ,26,12分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=ax2+bx+c交 x軸于 A,B兩點 (A在 B的左 側(cè) ),且 OA=3,OB=1,與 y軸交于 C(0,3),拋物線的頂點為 D(1,4). (1)求 A,B兩點的坐標(biāo) 。(2? ,0),連接 MB,交 x軸于 N, 則 N(? ,0),NB=3,又 ∵ C為 A39。 (2)當(dāng) 0x2? 時 ,是否存在點 P使以點 C,D,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形 ?若存在 ,求出點 P 的坐標(biāo) 。.已知 C為 A39。DN=x1DN=x1若不存在 ,請說明理由 . ? 92ADOAEFSS 19解析 (1)把 (1,0),(6,0)代入 y=ax2+bx? 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x? . (2)∵∠ DOA=∠ AFE=90176。 (3)若 D是 y軸上的動點 ,過 D作與 x軸平行的直線交拋物線于 M、 N兩點 .是否存在點 D,使 DA2= DM當(dāng) m=4時 ,S△ MAB=? . ∴ 當(dāng) m=0時 ,S△ MAB最小 ,最小值為 ? . 12 1212 1212 12 1212 9212綜上可知 ,m=0時 ,S取得最小值 ,m=3時 ,S取得最大值 . ? (3)連接 OP,① ∵ CP∥ x軸 ,∴ 易證得當(dāng) M與 C重合時 ,∠ MPO=∠ POA,M(0,4). ② 當(dāng) 0m3時 ,由題圖易得 ∠ MPO≠ ∠ M在直線 OP下方 ,即 3m≤ 4時 ,過 OP的中點 E作 OP的垂直平分線交 x軸于 Q. 連接 PQ,則 PQ與拋物線的交點為 M. 易知 OP=? =5,∴ OE=? ,過 P作 PH⊥ x軸于 H. 則 tan∠ POA=? ,cos∠ AOP=? . ∴ ? =? ,∴ OQ=? ,∴ Q? . 設(shè)直線 PQ的解析式為 y=kx+b, 2234?5243 35OEOQ35 256 25,06??????將 ? ,(3,4)代入得 ? 解得 ? ∴ 直線 PQ的解析式為 y=? x+? , 聯(lián)立 ? 得 x2+3x+4=? x+? . 整理得 7x245x+72=0, (7x24)(x3)=0, ∴ x1=? ,x2=3(與 P重合 ,舍去 ). 把 x=? 代入 y=? x+? ,得 y=? ,∴ M? . 綜上所述 ,M的坐標(biāo)為 (0,4)或 ? . 25,06?????? 25 0,63 4 ,kbkb? ????????24,7100.7kb? ?????? ???247 100722 4 1 0 0 ,773 4 ,yxy x x? ? ? ????? ? ? ??247 1007247247 247 1007 12449 2 4 1 2 4,7 4 9??????2 4 1 2 4,7 4 9??????3.(2022梧州 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx? 與 x軸交于 A(1,0),B(6,0)兩點 ,D是 y軸上一點 ,連接 DA,延長 DA交拋物線于點 E. (1)求此拋物線的解析式 。(1m+m)=? MN. 當(dāng) 1m≤ 4時 ,S△ MBA=? MN (2)當(dāng) m為何值時 ,△ MAB的面積 S取得最小值和最大值 ?請說明理由 。2 kADkFB ③ 由①知 ,x= ,垂直平分 AB,又 ∵ MC=MD, ∴ 四邊形 ACBD是菱形 ,∴ ③ 正確 。④ 9a3b+c0. 你認(rèn)為其中正確的是 ? ( ) ? A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 答案 D ①拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)與 x軸交于點 A(2,0)、 B(1,0),∴ 對稱軸為直線 x=? = =? , ∴ a=b,∴ ① 正確 。② 當(dāng) 2x1時 ,y0。 ② 當(dāng) AB=AP時 ,以點 A為圓心 ,線段 AB長為半徑作圓 ,與拋