【正文】 因此要分類討論 . 解后反思 (1)以形定數(shù) ,拋物線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根 。若不存在 , 請(qǐng)說明理由 . 解析 (1)∵ C1與 C2關(guān)于 y軸對(duì)稱 , ∴ C1與 C2的交點(diǎn)一定在 y軸上 ,且 C1與 C2的形狀、大小均相同 , ∴ a=1,n=3.? (2分 ) ∴ C1的對(duì)稱軸為直線 x=1. ∴ C2的對(duì)稱軸為直線 x=1. ∴ m=2.? (3分 ) ∴ C1:y=x22x3,C2:y=x2+2x3.? (4分 ) (2)令 C2中 y=0,則 x2+2x3=0. 解之 ,得 x1=3,x2=1. ∴ A(3,0),B(1,0).? (6分 ) (3)存在 .設(shè) P(a,b),則 Q(a+4,b)或 (a4,b).? (7分 ) ① 當(dāng) Q(a+4,b)時(shí) ,得 : a22a3=(a+4)2+2(a+4)3. 解之 ,得 a=2. ∴ b=a22a3=4+43=5. ∴ P1(2,5),Q1(2,5).? (9分 ) ? ② 當(dāng) Q(a4,b)時(shí) ,得 :a22a3=(a4)2+2(a4)3. 解之 ,得 a=2.∴ b=443=3.∴ P2(2,3),Q2(2,3). 綜上所述 ,所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 P1(2,5),Q1(2,5)。 (2)求 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 。第 (2)問要用“鉛垂法”由 PQ的長(zhǎng)得出 PD的長(zhǎng) ,設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo) ,根據(jù) PD =4,分類討論列出方程 ,解方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。,求得 AM=2? ,因?yàn)橐渣c(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn) 的四邊形是平行四邊形 ,得 PQ=AM=2? ,過點(diǎn) P作 PD⊥ x軸交 BC于 D,易得 PD=4,設(shè)出點(diǎn) P的坐 標(biāo) ,則 |yPyD|=4,分類討論 ,解方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。. ∴ PD=? PQ=4.? (5分 ) 設(shè) P(m,m2+6m5),則 D(m,m5). 分兩種情況討論如下 : 0 25 30 ,? ? ?????? 1, ???? ???222(i)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC上方時(shí) , PD=m2+6m5(m5)=m2+5m=4. ∴ m1=1(舍去 ),m2=4.? (7分 ) (ii)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC下方時(shí) , PD=m5(m2+6m5)=m25m=4. ∴ m3=? ,m4=? . 綜上 ,點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 4或 ? 或 ? .? (9分 ) ② M? 或 ? .? (11分 ) 【 提示 】 作 AC的垂直平分線 ,交 BC于點(diǎn) M1,連接 AM1,過點(diǎn) A作 AN⊥ BC于點(diǎn) N,將△ ANM1沿 AN翻 折 ,得到△ ANM2,點(diǎn) M1,M2的坐標(biāo)即為所求 . 5 4 12? 5 4 12?5 4 12? 5 4 12?1 3 1 7,66???????2 3 7,66???????思路分析 (1)求出直線 y=x5與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) B,C的坐標(biāo) ,用待定系數(shù)法求出拋物線的解 析式 。,∴∠ ABC=45176。 (2)過點(diǎn) A的直線交直線 BC于點(diǎn) M. ① 當(dāng) AM⊥ BC時(shí) ,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C重合 ),作直線 AM的平行線交直線 BC于點(diǎn) Q,若 以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo) 。 當(dāng) a= ,生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)相同 。 當(dāng) a= ,生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)相同 。 (2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn) 。2=5(個(gè) ). 答 :最多可以連續(xù)繪制 5個(gè)拋物線型圖案 .? (8分 ) 13,24??????33,24??????1 1 3 ,4 2 49 3 3 ,4 2 4abab? ?????? ????1, ???? ??思路分析 (1)根據(jù)題意求得 B? ,C? ,用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y=x2 +2x,根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到結(jié)果 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 5.(2022山東青島 ,20,8分 )如圖 ,需在一面墻上繪制幾個(gè)相同的拋物線型圖案 .按照?qǐng)D中的直角 坐標(biāo)系 ,最左邊的拋物線可以用 y=ax2+bx(a≠ 0)表示 .已知拋物線上 B,C兩點(diǎn)到地面的距離均為 ? m,到墻邊 OA的距離分別為 ? m,? m. (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式 ,并求圖案最高點(diǎn)到地面的距離 。 ② 花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤(rùn)分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。(3)當(dāng) c=b2時(shí) ,寫出解析式 y=x2+bx+b2,分三種情況討論得出 b值 . 評(píng)析 本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí) ,第 (1)問考查最值問題 ,將第 (2)問轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相 等的實(shí)數(shù)根問題即可解決 ,第 (3)問考查分類討論的思想方法 .屬中等難度題 . 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(2022湖北武漢 ,15,3分 )飛機(jī)著陸后滑行的距離 y(單位 :m)關(guān)于滑行時(shí)間 t(單位 :s)的函數(shù)解析 式是 y=60t? ,最后 4 s滑行的距離是 m. 32答案 24 解析 y=60t? t2=? (t20)2+600,即 t=20時(shí) ,y取得最大值 ,即滑行距離達(dá)到最大 ,此時(shí)滑行距離是 600 t=16時(shí) ,y=6016? 162=576,所以最后 4 s滑行的距離為 600576=24 m. 32 32322.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )某商場(chǎng)購進(jìn)一批單價(jià)為 20元的日用商品 ,如果以單價(jià) 30元銷售 ,那么 半月內(nèi)可銷售出 400件 .根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn) ,提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少 ,且銷售單價(jià)每提高 1 元 ,銷售量相應(yīng)減少 20件 .當(dāng)銷售單價(jià)是 元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn) . 答案 35 解析 設(shè)銷售單價(jià)為 x元 ,半月內(nèi)的利潤(rùn)為 y元 ,由題意知 y=(x20)[40020(x30)]=(x20)(1 00020 x)=20x2+1 400x20 000=20(x35)2+4 500. ∵ 200,∴ 拋物線開口向下 , ∴ 當(dāng) x=35時(shí) ,y取得最大值 , 即銷售單價(jià)是 35元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn) . 3.(2022浙江紹興 ,13,5分 )如圖是一座拱橋 ,當(dāng)水面寬 AB為 12 m時(shí) ,橋洞頂部離水面 4 m,已知橋 洞的拱形是拋物線 .以水平方向?yàn)?x軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,若選取點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物 線解析式是 y=? (x6)2+4,則選取點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是 . ? 19答案 y=? (x+6)2+4 19解析 若選 B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (6,4),a=? 不變 ,則所求拋物線解析式為 y=? (x+6)2 +4. 19 194.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤(rùn)是 160元 ,花卉的平均每盆利潤(rùn)是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少 2元 。(2)根據(jù)當(dāng) c=5時(shí) ,根據(jù) 在函數(shù)值 y=1的情況下 ,只有一個(gè)自變量 x的值與其對(duì)應(yīng) ,得到 x2+bx+5=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 , 求得 b=177。b+b2=3b2為最小值 . ∴ 3b2=21,解得 b1=? (舍 ),b2=? . ② 若 b≤ ? ≤ b+3,即 2≤ b≤ 0, 2b2b7 72b則當(dāng) x=? 時(shí) ,y=? +b (2)當(dāng) c=5時(shí) ,若在函數(shù)值 y=1的情況下 ,只有一個(gè)自變量 x的值與其對(duì)應(yīng) ,求此時(shí)二次函數(shù)的解析 式 。當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+b+c0,所以②正 確 。② a+b+c0。根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點(diǎn)及對(duì) 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,二次函數(shù) 與一元二次方程的關(guān)系 ,不等式的性質(zhì)等知識(shí) ,a的符號(hào)決定拋物線的開口方向 ,? 的符號(hào)決 定拋物線對(duì)稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo) . 2ba2.(2022四川成都 ,10,3分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖所示 ,下列 說法正確的是 ? ( ) ? 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 答案 B 因?yàn)閽佄锞€的開口向上 ,所以 a0,又對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,所以 ? 0,所以 b0,因?yàn)閽? 物線與 y軸交于負(fù)半軸 ,所以 c0,所以 abc0。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),其對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點(diǎn) (1,0),∴ ① 錯(cuò)誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對(duì)稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個(gè)交點(diǎn) ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0),其對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,由對(duì)稱性可以判斷①錯(cuò)誤 。ymin=4,∴ 選項(xiàng) C錯(cuò)誤 ,故選 D. 思路分析 根據(jù)拋物線解析式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) ,結(jié)合函數(shù)圖象的增減性進(jìn)行解答 . 解題關(guān)鍵 解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定 . 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,難度適中 . 5.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數(shù) y=(xh)2+1(h為常數(shù) ),在自變量 x的值滿足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當(dāng) h≥ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=3處取最小值 ,此時(shí) (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當(dāng) 1≤ h≤ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當(dāng) h≤ 1時(shí) ,二次函數(shù)在 x=1處取最小值 ,此時(shí) (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 解題關(guān)鍵 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì) ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān) 鍵 . 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,分類討論思想 ,解一元二次方程 ,屬于難題 . 6.(2022河南 ,13,3分 )已知 A(0,3),B(2,3)是拋物線 y=x2+bx+c上兩點(diǎn) ,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 . 答案 (1,4) 解析 把 A(0,3),B(2,3)分別代入 y=x2+bx+c中 , 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x+3.∴ y=(x22x+1)+4=(x1)2+4,∴ 該 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4). 3,3 4 2 ,c bc??? ? ? ? ?? 3,2,cb ??? ??考點(diǎn)二 二次函數(shù)與 a、 b、 c的關(guān)系 1.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ① 拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0)。在拋物線上 ,可將 M39。在拋物線上 , ∴ m2+2m24=m2+4, ∴ m2=4. ∵ m0,∴ m=2,∴ M(2,8),故選 C. 思路分析 先配方求出拋物線的頂點(diǎn) M的坐標(biāo) ,根據(jù)對(duì)稱性表示出點(diǎn) M的對(duì)稱點(diǎn) M39。在這條拋物線上 ,則點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ? ( ) A.(1,5) B.(3,13) C.(2,8) D.(4,20) 答案 C y=x22mx4=(xm)2m24, 則頂點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (m,m24), ∴ M39。當(dāng) x=1時(shí) ,y取得最小值 ,此時(shí) y= 3,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值 . 2.(2022陜西 ,10,3分 )已知拋物線 y=x22mx4(m0)的頂點(diǎn) M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)為 M39。該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 直線 x=1,選項(xiàng) B錯(cuò)誤 。