【正文】 y0時(shí) ,0x3.? (4分 ) (2)① 當(dāng) BC=1時(shí) ,由拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 2.∴ 矩形的周長為 6.? (5分 ) ② ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b), ∴ 當(dāng)點(diǎn) A在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí) ,矩形 ABCD的邊 BC=32a,AB=3aa2, 周長 L=2a2+2a+6,其中 0a? .? (7分 ) 當(dāng)點(diǎn) A在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí) ,矩形 ABCD的邊 BC=3(62a)=2a3,AB=3aa2, 周長 L=2a2+10a6,其中 ? a3,? (9分 ) ∴ 當(dāng) 0a? 時(shí) ,L=2? +? , 323232212a???????132∴ 當(dāng) a=? 時(shí) ,L最大 =? ,A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . 當(dāng) ? a3時(shí) ,L=2? +? , ∴ 當(dāng) a=? 時(shí) ,L最大 =? ,A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? .? (12分 ) 12 132 15,24???????32252a???????13252 132 55,24???????評(píng)析 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及利用配方法求二次函數(shù)的最值 .在第 (2)問中 , 需要對(duì)點(diǎn) A的位置進(jìn)行討論 ,得到不同的矩形周長的表達(dá)式 。 ② 設(shè)動(dòng)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b),將矩形 ABCD的周長 L表示為 a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍 ,判斷 周長是否存在最大值 ,如果存在 ,求出這個(gè)最大值 ,并求出此時(shí)點(diǎn) A的坐標(biāo) 。 (3)若 (2)中拋物線 C2的頂點(diǎn)到 x軸的距離為 2,求 a的值 . ? 備用圖 解析 (1)當(dāng) a=1時(shí) ,拋物線 C1:y=x24x5.? (1分 ) 令 y=0,則 x24x5=0, 解得 x1=1,x2=5, ∴ 拋物線 C1與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0),(5,0),? (2分 ) 對(duì)稱軸為直線 x=2.? (3分 ) (2)① 由拋物線 C1:y=ax24ax5(a0), 可得其對(duì)稱軸為直線 x=? =2.? (4分 ) 令 x=0,有 y=5. ∴ 拋物線 C1過定點(diǎn) (0,5).? (5分 ) 易知點(diǎn) (0,5)關(guān)于直線 x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) (4,5), ∴ 由拋物線的對(duì)稱性可知 ,無論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn) (0,5)和 (4,5).? (6分 ) ② y=ax2+4ax5(或 y=a(x2)2+4a5).? (7分 ) (3)對(duì)于拋物線 C2:y=ax2+4ax5,當(dāng) x=2時(shí) ,y=4a5, ∴ 拋物線 C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,4a5),? (8分 ) 42 aa?∴ |4a5|=2,解得 a1=? ,a2=? .? (9分 ) 74 3413.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,25,12分 )已知 :拋物線 y=x2+(2m1)x+m21經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) ,且當(dāng) x0時(shí) ,y 隨 x的增大而減小 . (1)求拋物線的解析式 ,并寫出 y0時(shí) ,對(duì)應(yīng) x的取值范圍 。 (2)① 試說明無論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn) ,并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo) 。 (2)求拋物線的對(duì)稱軸 ?！?當(dāng) x=1時(shí) ,ab+c=0,∴ 3a+c=0,∴ c=3a,即 2≤ 3a≤ 3,亦即 1≤ a≤ ? 。④ 4acb28a. 其中正確的結(jié)論是 ? ( ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 23答案 B 由已知條件可知 a0,? =1,拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0),2≤ c≤ 3,∴ 當(dāng) x 3時(shí) ,y0。② 3a+b0。 ∵ a0,且拋物線與 x軸最多有一個(gè)交點(diǎn) , ∴ y≥ 0,∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,ab+c≥ 0,∴ ③ 正確 。④ ? 的最小值為 3. 其中 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ? ( ) abcba???答案 D ∵ ba0,∴ ? 0,∴ ① 正確 。② 關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c+2=0無實(shí)數(shù)根 。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 2.(2022陜西 ,10,3分 )對(duì)于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時(shí) ,y0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022河北 ,16,2分 )對(duì)于題目“一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共 點(diǎn) .若 c為整數(shù) ,確定所有 c的值 .”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是 c=3或 4,則 ? ( ) 、乙的結(jié)果合在一起才正確 、乙的結(jié)果合在一起也不正確 答案 D 拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)可以看作拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)沿 y軸向上平移 c 個(gè)單位形成的 ,一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線 l: y=x+2沿 y軸向下平移 c個(gè)單位形成的直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .當(dāng) 直線 y=x+2c(即 l2)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí) ,0+2c=0,c=2。 (3)如圖 2,直線 l經(jīng)過點(diǎn) C(0,1),且平行于 x軸 ,若點(diǎn) D為拋物線上任意一點(diǎn) (原點(diǎn) O除外 ),直線 DO 交 l于點(diǎn) E,過點(diǎn) E作 EF⊥ l,交拋物線于點(diǎn) F,求證 :直線 DF一定經(jīng)過點(diǎn) G(0,1). ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=ax2(a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) A(4,4), ∴ 16a=4,∴ a=? , ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2. (2)∵ △ AOB是以 AO為直角邊的直角三角形 ,∴ 直角頂點(diǎn)是點(diǎn) O或點(diǎn) A, ① 當(dāng)直角頂點(diǎn)是點(diǎn) O時(shí) ,過點(diǎn) O作 OB⊥ OA,交拋物線于點(diǎn) B, ∵ 點(diǎn) A(4,4),∴ 直線 OA的解析式為 y=x,∴ 直線 OB的解析式為 y=x, 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(4,4)。 ② 當(dāng) 0h1時(shí) ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? 1,∴ a0. 綜上所述 ,a的取值范圍是 a≤ ? 或 a0. 1h1h 12321h32評(píng)析 本題考查二次函數(shù)等知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是會(huì)用參數(shù)解決問題 ,題目比較難 ,參數(shù)比較多 , 第 (3)問要注意分類討論 ,屬于中考?jí)狠S題 . 9.(2022南平 ,24,12分 )已知拋物線 y=ax2(a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) A(4,4). (1)求拋物線的解析式 。 (2)若拋物線 y=tx2(t≠ 0)也經(jīng)過 A點(diǎn) ,求 a與 t之間的關(guān)系式 。 (ii)求△ QMN面積的最小值 . 12解析 (1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn) M(1,0),所以 a+a+b=0,即 b=2a. 所以 y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a? ? , 所以拋物線頂點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 ? . (2)因?yàn)橹本€ y=2x+m經(jīng)過點(diǎn) M(1,0), 所以 0=21+m,解得 m=2. 把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a,得 ax2+(a2)x2a+2=0,① 所以 Δ=(a2)24a(2a+2)=9a212a+4, 由 (1)知 b=2a,又 ab,所以 a0,b0. 所以 Δ0,所以方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 , 故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) . (3)把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a, 得 ax2+(a2)x2a+2=0,即 x2+? x2+? =0, 所以 ? =? ,解得 x1=1,x2=? 2, 212x???????94a19,24a????????21 a???????2a2112x a??????????????2132a??????? 2a所以點(diǎn) N? . (i)根據(jù)勾股定理得 ,MN2=? +? =? ? +45=20? , 因?yàn)?1≤ a≤ ? , 由反比例函數(shù)的性質(zhì)知 2≤ ? ≤ 1,所以 ? ? 0, 所以 MN=2? ? =3? ? , 所以 5? ≤ MN≤ 7? . (ii)作直線 x=? 交直線 y=2x2于點(diǎn) E. ? 把 x=? 代入 y=2x2得 ,y=3,即 E? . 242, 6aa????????22 21a??????????????24 6a???????220a 60a 2132a???????121a 1a 325 312 a???????5 25a5 51212 1 ,32????????又因?yàn)?M(1,0),N? ,且由 (2)知 a0, 所以△ QMN的面積 S=S△ QEN+S△ QEM=? ? (2)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) 。? +4=? =? +2, 即點(diǎn) N39。, 21x 22x2112x x?? 2222x x??12x22x 12122( )xxxx?12x21124,2xx??? ? ?????則點(diǎn) N39。sin 30176。cos 30176。,故△ ABC為等邊三角形 . 設(shè)線段 BC與 y軸的交點(diǎn)為 D,則 BD=CD,且 ∠ OCD=30176。 ② 若點(diǎn) P與點(diǎn) O關(guān)于點(diǎn) A對(duì)稱 ,且 O,M,N三點(diǎn)共線 ,求證 :PA平分 ∠ MPN. 2解析 (1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn) A(0,2),所以 c=2. 又因?yàn)辄c(diǎn) (? ,0)也在拋物線上 ,所以 a(? )2+b(? )+c=0. 即 2a? b+2=0(a≠ 0). (2)① x1x20時(shí) ,x1x20, 由 (x1x2)(y1y2)0,得 y1y20, 即當(dāng) x0時(shí) ,y隨 x的增大而增大 。(y1y2) O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為 B,C,且△ ABC有一個(gè) 內(nèi)角為 60176。 (2)若該拋物線上任意不同兩點(diǎn) M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足 :當(dāng) x1x20時(shí) ,(x1x2)(y1y2)0。 (2)求矩形菜園 ABCD面積的最大值 . ? 解析 (1)設(shè) AD的長為 x米 ,則 AB的長為 ? 米 . 依題意 ,得 ? =450. 解得 x1=10,x2=90. 因?yàn)?a=20,x≤ a,所以 x=90不合題意 ,舍去 . 故所利用舊墻 AD的長為 10米 . (2)設(shè) AD的長為 x米 ,0x≤ a,則矩形菜園 ABCD的面積 S=? =? (x2100x)=? (x50)2+1 250. ① 若 a≥ 50,則當(dāng) x=50時(shí) ,S最大 ,S最大 =1 250. ② 若 0a50,則當(dāng) 0x≤ a時(shí) ,S隨 x的增大而增大 . 故當(dāng) x=a時(shí) ,S最大 ,S最大 =50a? a2. 綜上 ,當(dāng) a≥ 50時(shí) ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 1 250平方米 。若為一次函數(shù)或反比例函數(shù) ,則在自變量 x的某個(gè)取值范圍內(nèi) ,函數(shù)值 y隨 x的增大而增大 , 所以 B、 C不符合題意 。第三章 變量與函數(shù) 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (福建專用 ) A組 20222022年福建中考題組 五年中考 1.(2022福州 ,11,3分 )已知點(diǎn) A(1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一個(gè)函數(shù)圖象上 ,這個(gè)函數(shù)圖象可以是 ? ( ) ? 答案 C ∵ 點(diǎn) A(1,m),B(1,m), ∴ 點(diǎn) A與 B關(guān)于 y軸對(duì)稱 ,故 A,B錯(cuò)誤 。 ∵ B(1,m),C(2,m+1),m+1m, ∴ C正確 ,D錯(cuò)誤 .故選 C. 2.(2022福州 ,10,3分 )已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過 (1,4),(2,2)兩點(diǎn) ,在自變量 x的某個(gè)取值范圍內(nèi) ,都 有函數(shù)值 y隨 x的增大而減小 ,則符合上述條件的函數(shù)可能是 ? ( ) 答案 D 易知經(jīng)過點(diǎn) (1,4),(2,2)的直線不經(jīng)過原點(diǎn) ,所以所求函數(shù)不是正比例函數(shù) ,A不符合 題意 。只有 D正確 ,故選 D. 3.(2022南平 ,14,4分 )寫出一個(gè) y關(guān)于 x的二次函數(shù)的解析式 ,且它的圖象的頂點(diǎn)在 y軸上 : . 答案 y=x2(答案不唯一 ) 解析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在 y軸上 ,可得解析式的一次項(xiàng)系數(shù)為 0,進(jìn)而得出答案 . 4.(2022廈門 ,15,4分 )已知點(diǎn) P(m,n)在拋物線 y=ax2xa(a≠ 0)上 ,當(dāng) m≥ 1時(shí) ,總有 n≤ 1成立 ,則 a的 取值范圍是