【正文】 性質、圓的性質、等邊三角形的判定與 性質、解直角三角形、角平分線的判定等基礎知識 ,考查運算能力、推理能力、空間觀念與 幾何直觀、創(chuàng)新意識 ,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想 . 7.(2022福建 ,25,14分 )已知直線 y=2x+m與拋物線 y=ax2+ax+b有一個公共點 M(1,0),且 ab. (1)求拋物線頂點 Q的坐標 (用含 a的代數(shù)式表示 )。? =? ? ? . 即 27a2+(8S54)a+24=0,② 因為關于 a的方程②有實數(shù)根 , 所以 Δ=(8S54)242724≥ 0,即 (8S54)2≥ (36? )2, 又因為 a0,所以 S=? ? ? ? ,所以 8S540, 所以 8S54≥ 36? ,即 S≥ ? +? , 當 S=? +? 時 ,由方程②可得 a=? 滿足題意 . 故當 a=? ,b=? 時 ,△ QMN面積的最小值為 ? +? .e2 242, 6aa????????122 21a????????9 ( 3)4a? ? ? 274 3a 278 a2274 3a 278 a 2742274 922274 922 223223 423 2749228.(2022福州 ,27,13分 )已知 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)經(jīng)過原點 ,頂點為 A(h,k)(h≠ 0). (1)當 h=1,k=2時 ,求拋物線的解析式 。 (2)如圖 1,拋物線上存在點 B,使得△ AOB是以 AO為直角邊的直角三角形 ,請直接寫出所有符合 條件的點 B的坐標 : 。當直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過點 A(3,0)時 ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當 2c≤ 5時 ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點 .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時 , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結果合在一起也不正確 ,故選 D. 歸納總結 數(shù)形結合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系 ,就是把抽象的數(shù)學語言、 數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來 ,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結合 ,可以使復雜問題簡單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 4.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )拋物線 y=? ? 3的頂點坐標是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35212x???????1 ,32??????? 1 ,32????????1 ,32??????1 ,32???????答案 B ∵ 拋物線 y=a(xh)2+k的頂點坐標為 (h,k), ∴ 拋物線 y=? ? 3的頂點坐標為 ? .故選 B. 35212x??????? 1 ,32????????5.(2022四川南充 ,5,3分 )拋物線 y=x2+2x+3的對稱軸是 ? ( ) x=1 x=1 x=2 x=2 答案 B 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? =1,故選 B. 2ba 226.(2022廣西南寧 ,12,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)和正比例函數(shù) y=? x的圖象如圖所示 ,則方 程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)的兩根之和 ? ( ) ? 0 0 0 2323b???????答案 A 根據(jù)題圖可知 a0,b0,b24ac0. 在方程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)中 ,Δ=? 4ac=b2? b+? 4ac=b24ac? b+? 0,設此方程的兩 根分別為 x1,x2,則 x1+x2=? =? +? 0,故選 A. 23b??????? 223b??????? 43 49 43 4923b a? ba 23 a7.(2022湖南長沙 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(ba0)與 x軸最多有一個交點 .現(xiàn)有以下四個 結論 : ① 該拋物線的對稱軸在 y軸左側 。 ∵ 拋物線與 x軸最多有一個交點 , ∴ b24ac≤ 0, ∴ 關于 x的方程 ax2+bx+c+2=0的判別式 Δ=b24a(c+2)=b24ac8a0,∴ ② 正確 。③ 1≤ a≤ ? 。由 題意知拋物線頂點的縱坐標 y=? 2,∴ 4acb2④錯 ,①②③ 正確 .故選 B. 2ba23244ac ba?9.(2022貴州貴陽 ,15,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BC=6,BC邊上的高為 4,在△ ABC的內部作一個矩形 EFGH,使 EF在 BC邊上 ,另外兩個頂點分別在 AB,AC邊上 ,則對角線 EG長的最小值為 . ? 答案 ? 1 2 1 313解析 如圖 ,作 AM⊥ BC于點 M,交 HG于點 N,設 HE= ,AM=4,BC=6. ? ∵ 四邊形 EFGH是矩形 ,∴ HG∥ EF, ∴ △ AHG∽ △ ABC, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ HG=? , ∴ EG2=HG2+HE2=? +x2 =? =? ? +? (0x4), ∴ 當 x=? 時 ,EG2有最小值 ,最小值為 ? ,即 EG有最小值 ,最小值為 ? . ANAM HGBC 4 4 x? 6HG 12 32 x?21 2 32 x???????213 72 1444xx?? 134 23613x???????144133613 14413 1 2 1 313方法指導 解決本題的方法是設 HE=x,利用相似三角形的性質用 x表示 HG的長 ,利用勾股定 理 ,用 x表示出 EG2,求 EG2的最小值即可得 EG的最小值 . 10.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )如圖 ,若拋物線 y=ax2+bx+c上的 P(4,0),Q兩點關于它的對稱軸 x=1對 稱 ,則 Q點的坐標為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點關于對稱軸 x=1對稱 ,則 P,Q兩點到對稱軸 x=1的距離相等 ,設點 Q的橫坐標為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點的坐標為 (2,0). 42 m?11.(2022北京 ,26,6分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=4x+4與 x軸、 y軸分別交于點 A,B,拋物線 y=ax2+bx3a經(jīng)過點 A,將點 B向右平移 5個單位長度 ,得到點 C. (1)求點 C的坐標 。 ② 將拋物線 C1沿這兩個定點所在直線翻折 ,得到拋物線 C2,直接寫出 C2的表達式 。如果不存在 ,請說明 理由 . 解析 (1)∵ 拋物線經(jīng)過坐標原點 (0,0), ∴ m21=0,∴ m=177。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (3)試說明 (2)中總利潤 W隨售價 x的變化而變化的情況 ,并指出售價為多少元時獲得最大利潤 , 最大利潤是多少 ? 解析 (1)設 y=kx+b(k≠ 0). 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 所求函數(shù)表達式為 y=2x+200.? (4分 ) (2)W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8 000.? (7分 ) (3)W=2x2+280x8 000=2(x70)2+1 800,其中 40≤ x≤ 80. ∵ 20, ∴ 當 40≤ x70時 ,W隨 x的增大而增大 。(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍 ) (3)預計在今后的銷售中 ,銷量與單價仍然存在 (2)中的關系 ,且該產品的成本是 20元 /件 .為使工 廠獲得最大利潤 ,該產品的單價應定為多少 ? 單價 (元 /件 ) 30 34 38 40 42 銷量 (件 ) 40 32 24 20 16 解析 (1)? =? =.? (2分 ) (2)設所求一次函數(shù)關系式為 y=kx+b(k≠ 0), 將 (30,40)、 (40,20)代入 y=kx+b,得 ? 解得 ? ∴ y=2x+100.? (5分 ) (3)設利潤為 ω元 ,根據(jù)題意 ,得 ω=(x20)(2x+100)? (7分 ) =2x2+140x2 000 =2(x35)2+450,? (9分 ) 則當 x=35時 ,ω取最大值 . 即當該產品的單價為 35元 /件時 ,工廠獲得最大利潤 450元 .? (10分 ) x30 40 34 32 38 24 40 20 42 165? ? ? ? ? ? ? ? ?30 40,40 20,kbkb???? ??? 2,1 0 0 ,kb ???? ??評析 本題考查了加權平均數(shù)的計算 ,一次函數(shù)解析式的確定 ,二次函數(shù)最值的實際應用 ,需要 結合題意提取出有效信息 ,同時要理解頂點坐標與最值的關系 .屬中檔題 . 考點四 二次函數(shù)的綜合 1.(2022湖北黃岡 ,22,8分 )已知直線 l:y=kx+1與拋物線 y=x24x. (1)求證 :直線 l與該拋物線總有兩個交點 。 (2)OE的長是否與 a值有關 ,說明你的理由 。 (4)以 DE為斜邊 ,在直線 DE的左下方作等腰直角三角形 P(m,n),直接寫出 n關于 m的函數(shù) 解析式及自變量 m的取值范圍 . ? 解析 (1)(1,4)。≤ β≤ 60176。(3)分別求出 β=45176。,PM∥ AE可推出 ∠ PDM=∠ PEN,從而可推出 Rt△ DPM≌ Rt△ EPN,可得 PM=PN,問題解決 . 3.(2022四川成都 ,28,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,以直線 x=? 為對稱軸的拋物線 y=ax2+ bx+c 與直線 l:y=kx+m(k0)交于 A(1,1),B兩點 ,與 y軸交于點 C(0,5),直線 l與 y軸交于點 D. (1)求拋物線的函數(shù)表達式 。, ? ∵ P點有且只有一個 ,∴ 以 AB為直徑的圓與 x軸只有一個交點 , 即該圓與 x軸相切 ,且 P為切點 , 連接 O39。PM, ∴ 1(k2+3k+1)=?? ,即 3k2+6k5=0,Δ=960, ∵ k0,∴ k=? =1+? . AMPM PNBN54 2kk ?????????5 12k ????????6 4 66?? 263思路分析 (1)根據(jù)已知條件 ,用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)表達式 。 ② 在點 P,Q運動的過程中 ,當 PQ=PD時 ,求 t的值 。,∠ APG=30176。利用幾何圖形的性質或圖形變換的性質使動點與這些確定因素 之間建立聯(lián)系 ,從而確定動點的位置 ,值得注意的是 ,一般情況下 ,都會存在不同位置的情況 ,進 而需要分類討論 .(2)解決問題 :和點的坐標聯(lián)系可在水平或豎直方向上作輔助線構造直角三角 形或者借助幾何圖形的性質作輔助線構造直角三角形 ,然后利用直角三角形的相似、三角函 數(shù)或者勾股定理構建方程 ,從而解決問題 . 5.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )如圖 ,拋物線 y=x2+2x+n經(jīng)過點 M(1,0),頂點為 C. (1)求點 C的坐標 。(2? ,2? ). ∵∠ AGC=∠ BGC,∴ 點 B39。 當四邊形 OMQP為平行四邊形時 ,則 Q(m1,2m), ∵ 點 Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=0或 2, ∴ Q3(1,4),Q4(1,0)(舍 )。該函數(shù)圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。③ m? 。把 (1,2)代入拋物線解析式 ,可得 2n=35m,所以拋物線解析式為 y1=mx24mx+25m, 因為拋物線與 y軸的交點在 y軸負半軸 ,所以當 x=0時 ,y10,即 25m0,解得 m? ,所以③正確 。當 n0時 ,x1m C. ? 9.(2022廣西南寧 ,10,3分 )如圖 ,已知經(jīng)過原點的拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對稱軸為直線 x=1. 下列結論中 :① ab0。由對稱軸可知拋物線與 x軸的交點坐標為 (2,0),(0,0),所以 2x0時 ,圖象在 x軸下方 ,即 y0, 所以③正確 .故選 D. 2ba10.(2022山東臨沂 ,13,3分 )要將拋物線 y=x2+2x+3平移后得到拋物線 y=x2,下列平移方法正確的 是 ? ( ) 1個單位 ,再向上平移 2個單位 1個單位 ,再向下平移 2個單位 1個單位 ,再向上平移 2個單位 1個單位 ,再向下平移 2個單位 答案 D 因為 y=x2+2x+