【正文】 x2)2+1=0的解是 x1 =0,x2=4. 5.(2022蘇州 ,8,3分 )若二次函數(shù) y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點 (2,0)且平行于 y軸的直線 ,則關 于 x的方程 x2+bx=5的解為 ? ( ) =0,x2=4 =1,x2=5 =1,x2=5 =1,x2=5 答案 D 設二次函數(shù) y=x2+bx的圖象與 x軸交點的橫坐標為 x x2,則 x1+x2=b,由題意知函數(shù)圖 象的對稱軸為直線 x=2,則 ? =2,所以 x1+x2=4,得 b= x24x5=0,解得 x1=1,x2=5,故 選 D. 122xx?6.(2022徐州 ,27,8分 )已知二次函數(shù)的圖象以 A(1,4)為頂點 ,且過點 B(2,5). (1)求該函數(shù)的關系式 。,求△ OA39。(5,5), ∴ S△ OA39。、 B39。 (3)當 2≤ m≤ 3時 ,求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標的取值范圍 . 解析 (1)D. ∵ Δ=(m1)2+4m=(m+1)2≥ 0, ∴ 該函數(shù)的圖象與 x軸公共點的個數(shù)是 1或 2. (2)證明 :y=x2+(m1)x+m=? +? , 所以該函數(shù)的圖象的頂點坐標為 ? . 把 x=? 代入 y=(x+1)2,得 y=? =? . 因此 ,無論 m為何值 ,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù) y=(x+1)2的圖象上 . (3)由 (2)知 ,該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標為 ? ,設 z=? ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 , 當 m=1時 ,z有最小值 0。(2)先求頂點坐標 , 將該點橫坐標代入 y=(x+1)2得到縱坐標 ,從而得到結論 。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結論的個數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點 (1,0),∴ ① 錯誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個交點 ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經(jīng)過點 (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,由對稱性可以判斷①錯誤 。,∠ CEF+∠ BEA=90176。只有 D正確 ,故選 D. 8.(2022甘肅蘭州 ,1,4分 )下列函數(shù)解析式中 ,一定為二次函數(shù)的是 ? ( ) =3x1 =ax2+bx+c =2t22t+1 =x2+? 1x答案 C 根據(jù)二次函數(shù)的定義 :形如 y=ax2+bx+c(a、 b、 c為常數(shù) ,且 a≠ 0)的函數(shù)叫做二次函 數(shù) ,結合各選項知 ,選 C. 9.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖 ,點 C在 y軸的正半軸上 ,且 OA=OC,則 ? ( ) ? +1=b +1=c +1=a 答案 A 由題意得點 C的坐標為 (0,c), ∵ OA=OC, ∴ 點 A的坐標為 (c,0). 將 (c,0)代入二次函數(shù)解析式 ,得 ac2bc+c=0, ∵ c≠ 0,∴ acb+1=0, 即 ac+1= A. 10.(2022甘肅蘭州 ,11,4分 )把拋物線 y=2x2先向右平移 1個單位長度 ,再向上平移 2個單位長度 后 ,所得函數(shù)的表達式為 ( ) =2(x+1)2+2 =2(x+1)22 =2(x1)2+2 =2(x1)22 答案 C 把拋物線 y=2x2先向右平移 1個單位長度 ,得到函數(shù) y=2(x1)2的圖象 ,再向上平移 2個 單位長度后 ,所得函數(shù)的表達式為 y=2(x1)2+2,故選 C. 11.(2022山東青島 ,8,3分 )函數(shù) y=? 與 y=kx2+k(k≠ 0)在同一直角坐標系中的圖象可能是 ? ( ) ? kx答案 B 當 k0時 ,反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一、三象限內(nèi) ,二次函數(shù) y=kx2+k的圖象開口 向下 ,與 y軸的交點在 x軸上方 ,選項 B符合 。④ abc (填寫序號 ). ? 答案 ①④ 解析 ①因為拋物線的對稱軸是直線 x=1,所以 ? =1,b=2a,2a+b=0,故①正確 。拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè) ,a、 b同號 ,拋物線的 對稱軸在 y軸右側(cè) ,a、 b異號 。 (2)若點 P在 x軸下方 ,當 ∠ AOP=45176。,知點 P在第四象限 . 過點 P作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。, ∴∠ ADH=45176。(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 ,定點 H的坐標為 (2,4),過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,由 ∠ AHP=45176。構造“一線三等角”的模型確定點 D的坐標 ,最后根據(jù)點 P在直線 DH上 ,分 類討論求出 m的值 ,即可求出拋物線的解析式 . 17.(2022湖北武漢 ,24,12分 )拋物線 L:y=x2+bx+c經(jīng)過點 A(0,1),與它的對稱軸直線 x=1交于點 B. (1)直接寫出拋物線 L的解析式 。3, ∵ k0,∴ k=3. 1,2 ( 1 )1,bc? ??????? ??1224,21y kx ky x x? ? ??? ? ? ? ??2282kk? ? ?2282kk? ? ?2 8k ?解法二 :過點 B作 BR∥ MN,交 x軸于點 R,連接 MR,NR. 設 MN交 x軸于點 Q,則 Q? . 直線 BR的解析式為 y=kxk+2,則 R的坐標為 ? . ∴ S△ BMN=S△ RMN=? RQ 當△ PCD∽ △ POF時 ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t=? (m+1)② . ? (i)當方程①有兩個相等的實數(shù)根時 , Δ=(1+m)28=0, ∴ m=2? 1(舍負 ), 方程①有兩個相等的實數(shù)根 t1=t2=? , PCCD FOOP1 2mt??1tPCCD POOF1 2mt??1t 1322此時 ,方程②有一個實數(shù)根 t=? . ∴ m=2? 1,此時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? . (ii)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時 , 把②代入①得 ,? (m+1)2? (m+1)2+2=0, 解得 m=2(舍負 ), 此時 ,方程①有兩個不相等的實數(shù)根 t1=1,t2=2, 方程②有一個實數(shù)根 t=1, ∴ m=2,此時 ,點 P的坐標是 (0,1)和 (0,2). 綜上 ,當 m=2? 1時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? 。 (3)設拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m,可得 C(0,1+m)、 D(2,1+m)、 F(1,0),再設 P(0,t),分△ PCD∽ △ FOP和△ PCD∽ △ POF兩種情況 ,由對應邊成比例得出關于 t與 m的方程 ,利用符合條 件的點 P恰有 2個 ,結合方程的解的情況求出結果 . 122282kk? ? ?方法指導 二次函數(shù)與相似三角形結合的解題方法 : (1)確定一組固定角 。 (5)將所表示的線段代入比例式中 ,構造方程進行求解即可 . 18.(2022甘肅蘭州 ,28,12分 )如圖 ,拋物線 y=? x2+mx+n與 x軸交于 A,B兩點 ,與 y軸交于點 C,拋物線 的對稱軸交 x軸于點 A(1,0),C(0,2). (1)求拋物線的表達式 。? (5分 ) P3? .? (6分 ) (3)當 y=0時 ,? x2+? x+2=0, 解得 x1=1,x2=4,∴ B(4,0). 設直線 BC的表達式為 y=kx+b(k≠ 0), 把 B,C兩點的坐標代入 y=kx+b中 , 解得 k=? ,b=2. ∴ 直線 BC的表達式為 y=? x+2.? (7分 ) 過點 C作 CM⊥ EF,垂足為 M. 35,22??????35,22???????12 321212? 設 x軸的垂線 EF與 x軸相交于點 N,E? , 則 F? , ∴ EF=? a2+? a+2? =? a2+2a(0≤ a≤ 4).? (8分 ) ∴ S四邊形 CDBF=S△ BCD+S△ CEF+S△ BEF =? OC (2)二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象與 x軸是否有公共點 ?若有 ,求公共點的坐標 。與 x軸相交于 A39。的左側(cè) ), 并與 y軸相交于點 C39。和△ ABC的面積相等 ,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達 式 . 解析 (1)令 y=0,得 x2+x6=0, 解得 x=3或 x=2, ∴ A(3,0),B(2,0).? (2分 ) ∴ AB=5, 令 x=0,得 y=6, ∴ C(0,6),? (3分 ) ∴ OC=6, ∴ S△ ABC=? ABB39。(0,6)或 C39。7,n=177。(2)將拋物線向左或向右平移 ,A39。C39。 (2)OE的長是否與 a值有關 ,說明你的理由 。 (4)以 DE為斜邊 ,在直線 DE的左下方作等腰直角三角形 P(m,n),直接寫出 n關于 m的函數(shù) 解析式及自變量 m的取值范圍 . ? 解析 (1)(1,4)?！?β≤ 60176。(3)分別求出 β=45176。,PM∥ AE可推出 ∠ PDM=∠ PEN,從而可推出 Rt△ DPM≌ Rt△ EPN,可得 PM=PN,問題解決 . 7.(2022浙江寧波 ,23,10分 )已知拋物線 y=(xm)2(xm),其中 m是常數(shù) . (1)求證 :不論 m為何值 ,該拋物線與 x軸一定有兩個公共點 。 (3)在同一坐標系中畫出直線 y=x+1,并寫出當 x在什么范圍內(nèi)時 ,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的 值 . ? 解析 (1)∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象過 A(2,0),B(0,1)和 C(4,5)三點 ,∴ ? ? (2 分 ) ∴ a=? ,b=? ,c=1,∴ 二次函數(shù)的解析式為 y=? x2? x1.? (4分 ) (2)當 y=0時 ,有 ? x2? x1=0,? (5分 ) ∴ x1=2,x2=1,? (6分 ) ∴ 點 D的坐標為 (1,0).? (7分 ) (3)圖象如圖 .? (8分 ) ? 4 2 0 ,1,1 6 4 5 ,a b cca b c? ? ??????? ? ? ??12 12 12 1212 12所求的 x的取值范圍為 1x4.? (10分 ) 評析 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 ,以及一次函數(shù)的圖象、拋物線與 x軸的 交點問題 ,屬中檔題 . C組 教師專用題組 考點 1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,10,3分 )若滿足 ? x≤ 1的任意實數(shù) x,都能使不等式 2x3x2mx2成立 ,則 實數(shù) m的取值范圍是 ? ( ) 1 ≥ 5 4 ≤ 4 12答案 D ∵ ? x≤ 1,∴ 不等式 2x3x2mx2可變形為 2x2xm? ,作出函數(shù) y=2x2xm,y=? 的圖 象 ,如圖所示 , ? 易知拋物線的對稱軸為直線 x=? ,∵ 當 ? x≤ 1時 ,不等式 2x3x2mx2恒成立 ,即 2x2xm? 恒成 立 ,∴ 只需拋物線與雙曲線的交點的橫坐標 x≤ ? 即可 ,將 x=? 代入 y=? ,得 y=4,將 ? 代入 y=2x 2xm,解得 m=4.∵ 拋物線越往上平移越符合題意 ,∴ m≤ 4. 12 2x 2x14 12 2x12 12 2x 1 ,42??????解題關鍵 解決本題的關鍵是要將不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的問題來解決 ,同時要注意 本題中二次函數(shù)的常數(shù)項為 m,所以最后在判斷 m的取值范圍時不要寫反 . 2.(2022連云港 ,7,3分 )已知拋物線 y=ax2(a0)過 A(2,y1)、 B(1,y2)兩點 ,則下列關系式一定正確的 是 ? ( ) 0y2 0y1 y20 y10 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2(a0), ∴ A(2,y1)關于 y軸對稱的點的坐標為 (2,y1), 當 x0時 ,y隨 x的增大而增大 . 又 ∵ a0,012, ∴ 0y2y1. 故選 C. 3.(2022鹽城 ,6,3分 )如圖 ,將函數(shù) y=? (x2)2+1的圖象沿 y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象 ,其 中點 A(1,m)、 B(4,n)平移后的對應點分別為點 A39。AA3