【正文】 167。 二次函數(shù) 167。 二次函數(shù)的圖象與性質 中考數(shù)學 (江蘇專用 ) 考點 1 二次函數(shù)的圖象與性質 A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022南通 ,9,3分 )如圖 ,等邊△ ABC的邊長為 3 cm,動點 P從點 A出發(fā) ,以每秒 1 cm的速度 ,沿 A→ B→ C的方向運動 ,到達點 C時停止 ,設運動時間為 x(s),y=PC2,則 y關于 x的函數(shù)圖象大致為 ? ( ) ? ? 答案 C 過 C作 CD⊥ AB,則 AD= cm,CD=? ? cm, ? ① 當 0≤ x≤ 3,即點 P在 AB上時 ,AP=x cm,PD=||cm, 此時 y=PC2=? +()2=x23x+9(0≤ x≤ 3), 對應的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分 。 ② 當 3x≤ 6時 ,即點 P在線段 BC上時 ,PC=(6x)cm(3x≤ 6), 此時 y=(6x)2=(x6)2(3x≤ 6), 對應的函數(shù)圖象是拋物線的一部分 . 故選 C. 32323 32??????易錯警示 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象 .解答該題時 ,需要對點 P的位置進行分類討論 ,以 防錯選 . 2.(2022宿遷 ,4,3分 )將拋物線 y=x2向右平移 2個單位 ,再向上平移 1個單位 ,所得拋物線相應的函 數(shù)表達式是 ? ( ) =(x+2)2+1 =(x+2)21 =(x2)2+1 =(x2)21 答案 C 將拋物線 y=x2向右平移 2個單位 ,再向上平移 1個單位 ,所得拋物線相應的函數(shù)表達 式是 y=(x2)2+1. 故選 C. 思路分析 根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律 :“左加右減 ,上加下減” ,即可寫出函數(shù)表達式 . 3.(2022宿遷 ,8,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=6 cm,BC=2 cm,點 P在邊 AC上 ,從點 A向點 C 移動 ,點 Q在邊 CB上 ,從點 C向點 B移動 .若點 P,Q均以 1 cm/s的速度同時出發(fā) ,且當一點移動到終 點時 ,另一點也隨之停止 ,連接 PQ,則線段 PQ的最小值是 ? ( ) ? cm cm ? cm ? cm 5 2答案 C 設 P、 Q運動的時間為 t s,則 AP=CQ=t cm, ∴ CP=(6t)cm, ∴ PQ=?=?=?(cm), ∵ 0≤ t≤ 2, ∴ 當 t=2時 ,PQ的值最小 , ∴ 線段 PQ的最小值是 2? cm. 故選 C. 22PC CQ? 22(6 )tt?? 22( 3) 18t??5解題關鍵 本題考查了二次函數(shù)的最值、勾股定理 ,正確地理解題意是解題的關鍵 . 4.(2022蘇州 ,8,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx1(a≠ 0)的圖象經(jīng)過點 (1,1),則代數(shù)式 1ab的值為 ? ( ) 答案 B 把點 (1,1)代入函數(shù)解析式 ,得 a+b1=1,則 1ab=1,故選 B. 5.(2022淮安 ,14,3分 )將二次函數(shù) y=x21的圖象向上平移 3個單位長度 ,得到的圖象所對應的函數(shù) 表達式是 . 答案 y=x2+2 解析 拋物線 y=x21的頂點坐標為 (0,1),把點 (0,1)向上平移 3個單位長度所得對應點的坐標為 (0,2),所以平移后的拋物線解析式為 y=x2+2. 故答案為 y=x2+2. 方法總結 本題考查了二次函數(shù)圖象的平移變換 :由于拋物線平移后的形狀不變 ,故 a不變 ,所 以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法 :一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐 標 ,利用待定系數(shù)法求出解析式 。二是只考慮平移后的頂點坐標 ,即可求出解析式 . 6.(2022鎮(zhèn)江 ,10,2分 )a、 b、 c是實數(shù) ,點 A(a+1,b)、 B(a+2,c)在二次函數(shù) y=x22ax+3的圖象上 , 則 b、 c的大小關系是 b c(用“ ”或“ ”填空 ). 答案 解析 拋物線 y=x22ax+3的對稱軸是直線 x=a. ∵ aa+1a+2, ∴ A、 B在對稱軸右側 ,且 B在 A的右側 . 根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質知 ,bc. 7.(2022泰州 ,16,3分 )二次函數(shù) y=x22x3的圖象如圖所示 ,若線段 AB在 x軸上 ,且 AB為 2? 個單位 長度 ,以 AB為邊作等邊△ ABC,使點 C落在該函數(shù) y軸右側的圖象上 ,則點 C的坐標為 . ? 3答案 (1+? ,3)或 (2,3) 7解析 ∵ △ ABC是等邊三角形 ,且 AB=2? , ∴ AB邊上的高為 3, 又 ∵ 點 C在二次函數(shù)圖象上 ,∴ 點 C的縱坐標為 177。3, 把 y=177。3分別代入 y=x22x3,得 x=1177。? 或 0或 2. ∵ 點 C落在該函數(shù) y軸右側的圖象上 , ∴ x0,∴ x=2或 1+? ,∴ 點 C的坐標為 (2,3)或 (1+? ,3). 377 7解題關鍵 本題考查二次函數(shù)圖象上點的特點 ,根據(jù)等邊三角形的邊長求高是解題關鍵 . 8.(2022南京 ,16,2分 )已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)中 ,函數(shù) y與自變量 x的部分對應值如下表 : 則當 y5時 ,x的取值范圍是 . x … 1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 答案 0x4 解析 由拋物線的對稱性及題中表格可知 ,當 x=0,x=4時 ,y=5,且拋物線開口向上 ,故當 0x4時 , y5. 9.(2022揚州 ,16,3分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸是過點 (1,0)且平行于 y軸的直線 ,若 點 P(4,0)在該拋物線上 ,則 4a2b+c的值為 . ? 答案 0 解析 點 (4,0)關于對稱軸 x=1對稱的點為 (2,0),當 x=2時 ,y=4a2b+c=0. 解題關鍵 利用數(shù)形結合思想 ,找出點 (4,0)關于對稱軸 x=1對稱的點為 (2,0)是解決本題的關鍵 . 10.(2022蘇州 ,25,8分 )如圖 ,已知拋物線 y=x24與 x軸交于點 A,B(點 A位于點 B的左側 ),C為頂點 .直 線 y=x+m經(jīng)過點 A,與 y軸交于點 D. (1)求線段 AD的長 。 (2)平移該拋物線得到一條新拋物線 ,設新拋物線的頂點為 C39。.若新拋物線經(jīng)過點 D,并且新拋物 線的頂點和原拋物線的頂點的連線 CC39。平行于直線 AD,求新拋物線對應的函數(shù)表達式 . ? 解析 (1)由 x24=0解得 x1=2,x2=2, ∵ 點 A位于點 B的左側 ,∴ A(2,0),B(2,0), ∵ 直線 y=x+m經(jīng)過點 A,∴ 2+m=0, ∴ m=2,∴ D(0,2), ∴ AD=? =2? . (2)解法一 :根據(jù)題意可設新拋物線對應的函數(shù)表達式為 y=x2+bx+2, ∵ y=x2+bx+2=? +2? ,∴ C39。? . ∵ 直線 CC39。平行于直線 AD,并且經(jīng)過點 C(0,4), ∴ 直線 CC39。對應的函數(shù)表達式為 y=x4, ∴ 2? =? 4,整理得 b22b24=0,解得 b1=4,b2=6, ∴ 新拋物線對應的函數(shù)表達式為 y=x24x+2或 y=x2+6x+2. 解法二 :∵ 直線 CC39。平行于直線 AD,并且經(jīng)過點 C(0,4), ∴ 直線 CC39。對應的函數(shù)表達式為 y=x4, ∵ 新拋物線的頂點 C39。在直線 y=x4上 , 22OA OD? 222bx???????24b2,224bb????????24b 2b∴ 設頂點 C39。的坐標為 (n,n4), ∴ 新拋物線對應的函數(shù)表達式為 y=(xn)2+n4, ∵ 新拋物線經(jīng)過點 D(0,2), ∴ n2+n4=2,解得 n1=3,n2=2, ∴ 新拋物線對應的函數(shù)表達式為 y=(x+3)27或 y=(x2)22,即 y=x2+6x+2或 y=x24x+2. 解題關鍵 本題是一道二次函數(shù)綜合題 ,主要考查二次函數(shù)圖象與 x軸的交點、二次函數(shù)圖象 的頂點坐標、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及圖象的平移 .運用一元二次方程求圖象的 交點 ,運用二次函數(shù)的頂點坐標求函數(shù)解析式是這道題的解題關鍵 . 11.(2022南通 ,27,12分 )已知 ,正方形 ABCD,A(0,4),B(1,4),C(1,5),D(0,5),拋物線 y=x2+mx2m4 (m為常數(shù) ),頂點為 M. (1)拋物線經(jīng)過的定點坐標是 ,頂點 M的坐標是 (用 m的代數(shù)式表 示 )。 (2)若拋物線 y=x2+mx2m4(m為常數(shù) )與正方形 ABCD的邊有交點 ,求 m的取值范圍 。 (3)若 ∠ ABM=45176。時 ,求 m的值 . ? 解析 (1)y=x2+mx2m4=(x24)+m(x2)=(x2)(x+2+m), 當 x=2時 ,y=0, ∴ 拋物線經(jīng)過的定點坐標是 (2,0). ∵ 拋物線的解析式為 y=x2+mx2m4, ∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? , 當 x=? 時 ,y=? +m? 2m4=? m22m4. 故頂點 M的坐標為 ? . (2)當 x=? 時 ,y=? m22m4,m=2x, 將 m=2x代 y=? m22m4. 整理得 y=x2+4x4, 即拋物線的頂點在拋物線 y=x2+4x4上運動 ,其對稱軸為直線 x=2, 當拋物線頂點在直線 x=2右側 ,即 m4時 ,拋物線 y=x2+mx2m4與正方形 ABCD無交點 . 2ba 2m2m22m???????2m???????1421, 2 424m mm? ? ? ?????2m 1414當 m4時 ,觀察拋物線的頂點所在拋物線 y=x2+4x4恰好過點 A(0,4),此時 m=0, 當拋物線 y=x2+mx2m4過點 C(1,5)時 ,5=1+m2m4,得 m=2,∴ 拋物線 y=x2+mx2m4(m為常數(shù) )與 正方形 ABCD的邊有交點時 m的范圍為 0≤ m≤ 2. (3)由 (2)知拋物線頂點 M在拋物線 y=x2+4x4上運動 , 當點 M在線段 AB上方時 ,過點 B且使 ∠ ABM=45176。的直線的解析式為 y=x3, 從而 x2+4x4=x3, 解得 x1=? (舍去 ),x2=? , 故 m=5+? , 當點 M在線段 AB下方時 , 過點 B且使 ∠ ABM=45176。的直線解析式為 y=x5, 與 y=x2+4x4聯(lián)立 ,得 x2+4x4=x5, 解得 x1=? (舍去 ),x2=? ,故 m=3+? , ∴ m的值為 5+? 或 3+? . 5 2 12? 5 2 12?213 1 32? 3 1 32? 1321 13易錯警示 本題考查含有字母參數(shù)的二次函數(shù)圖象及其性質 ,通過因式分解可求出定點坐標 , 解答過程中注意數(shù)形結合 ,要注意對 M的位置分類討論 . 12.(2022鎮(zhèn)江 ,28,10分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象經(jīng)過點 (0,3),且當 x=1時 ,y有最小 值 2. (1)求 a、 b、 c的值 。 (2)設二次函數(shù) y=k(2x+2)(ax2+bx+c)(k為實數(shù) ),它的圖象的頂點為 D. ① 當 k=1時 ,求二次函數(shù) y=k(2x+2)(ax2+bx+c)的圖象與 x軸的交點坐標 。 ② 請在二次函數(shù) y=ax2+bx+c與 y=k(2x+2)(ax2+bx+c)的圖象上各找出一個點 M、 N,不論 k取何 值 ,這兩個點始終關于 x軸對稱 .直接寫出點 M、 N的坐標 (點 M在點 N的上方 )。 ③ 過點 M的一次函數(shù) y=? x+t的圖象與二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象交于另一個點 P,當 k為何值 時 ,點 D在 ∠ NMP的平分線上 ? ④ 當 k取 2,1,0,1,2時 ,通過計算 ,得到對應的拋物線 y=k(2x+2)(ax2+bx+c)的頂點分別為 (1,6), (0,5),(1,2),(2,3),(3,10).請問 :頂點的橫、縱坐標是變量嗎 ?縱坐標是如何隨橫坐標的變化而變 化的 ? 34解析 (1)由題意知 y=a(x1)2+2,將 (0,3)代入 ,得 a=1,則 y=(x1)2+2,即 y=x22x+3, ∴ a=1,b=2,c=3.? (2分 ) (2)① 當 k=1時 ,y=x2+4x1. 令 y=0,則 x2+4x1=0,解得 x=2177。? , ∴ 所求交點坐標為 (2+? ,0),(2? ,0).? (3分 ) ② M(1,6),N(1,6).? (4分 ) ③ y=? x+t的圖象經(jīng)過 M(1,6),得 t=? , ∴ y=? x+? ,則 A(7,0)