【正文】 寬 AB為 12 m時(shí) ,橋洞頂部離水面 4 m,已知橋 洞的拱形是拋物線 .以水平方向?yàn)?x軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,若選取點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物 線解析式是 y=? (x6)2+4,則選取點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是 . ? 19答案 y=? (x+6)2+4 19解析 若選 B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (6,4),a=? 不變 ,則所求拋物線解析式為 y=? (x+6)2 +4. 19 193.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤(rùn)是 160元 ,花卉的平均每盆利潤(rùn)是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少 2元 。 (2)設(shè)點(diǎn) A是該拋物線上位于 x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) A作 x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn) D,再 作 AB⊥ x軸于點(diǎn) B,DC⊥ x軸于點(diǎn) C. ① 當(dāng) BC=1時(shí) ,直接寫(xiě)出矩形 ABCD的周長(zhǎng) 。 (3)若拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,結(jié)合函數(shù)圖象 ,求 a的取值范圍 . 解析 (1)將 x=0代入 y=4x+4得 y=4, ∴ B(0,4). ∵ 點(diǎn) B向右平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) C, ∴ C(5,4). (2)將 y=0代入 y=4x+4得 x=1, ∴ A(1,0). 將點(diǎn) A(1,0)代入拋物線解析式 y=ax2+bx3a得 0=ab3a,即 b=2a, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? =? =1. (3)拋物線始終過(guò)點(diǎn) A(1,0),且對(duì)稱軸為直線 x=1,由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線也過(guò)點(diǎn) A關(guān)于直 線 x=1的對(duì)稱點(diǎn) (3,0). ① a0時(shí) ,如圖 1. ? 圖 1 2ba 22 aa?將 x=5代入拋物線的解析式得 y=12a, ∴ 12a≥ 4, ∴ a≥ ? . ② a0,且拋物線頂點(diǎn)不在線段 BC上時(shí) ,如圖 2. ? 圖 2 將 x=0代入拋物線得 y=3a, ∵ 拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ 3a4, 13∴ a? . 若拋物線的頂點(diǎn)在線段 BC上 ,則頂點(diǎn)為 (1,4),如圖 3. ? 將點(diǎn) (1,4)代入拋物線的解析式得 4=a2a3a, ∴ a=1. 綜上所述 ,a≥ ? 或 a? 或 a=1. 431343解題關(guān)鍵 解決本題第 (3)問(wèn)的關(guān)鍵是要先確定題目中拋物線所過(guò)的定點(diǎn) ,進(jìn)而通過(guò)臨界點(diǎn)求 出 a的取值范圍 .同時(shí)不要忽略拋物線頂點(diǎn)是公共點(diǎn)的情況 . 思路分析 (1)先求 B點(diǎn)坐標(biāo) ,由 B點(diǎn)向右平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度確定 C點(diǎn)坐標(biāo) . (2)確定 A點(diǎn)坐標(biāo) ,代入拋物線的解析式 ,利用公式確定對(duì)稱軸 . (3)結(jié)合圖象和拋物線的對(duì)稱性解答 . 12.(2022江西 ,22,9分 )已知拋物線 C1:y=ax24ax5(a0). (1)當(dāng) a=1時(shí) ,求拋物線與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸 。2a+b=0, ∴ 2a+b+a0,即 3a+b0。 ∵ y≥ 0,∴ 當(dāng) x=2時(shí) ,4a2b+c≥ 0,即 a+b+c≥ 3b3a, 即 a+b+c≥ 3(ba), ∵ ba,∴ ba0, ∴ ? ≥ 3,∴ ④ 正確 .故選 D. 2baabcba???8.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于點(diǎn) A(1,0),對(duì) 稱軸為直線 x=1,與 y軸的交點(diǎn) B在 (0,2)和 (0,3)之間 (包括這兩點(diǎn) ),下列結(jié)論 : ? ① 當(dāng) x3時(shí) ,y0。③ ab+c≥ 0。 ② 當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn) A時(shí) ,過(guò)點(diǎn) A作 AB⊥ OA,由①得 ,直線 OA的解析式為 y=x,∵ A(4,4),∴ 直線 AB的 解析式為 y=x+8, 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(8,16). ∴ 滿足條件的點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (4,4)或 (8,16). 141421 ,4yx? ???????0,0xy ??? ??4,4,xy ???? ??21 ,48yxyx? ????? ? ??4,4xy ??? ??8,1 6 ,xy ???? ??(3)證明 :設(shè)點(diǎn) D? ,∴ 直線 DO的解析式為 y=? x, ∵ l∥ x軸 ,C(0,1),令 y=1,則 x=? , ∴ 直線 DO與 l的交點(diǎn) E? , ∵ EF⊥ l,l∥ x軸 ,∴ 點(diǎn) F的橫坐標(biāo)為 ? , ∵ 點(diǎn) F在拋物線上 ,∴ F? . 設(shè)直線 DF的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), ∴ ? ∴ ? ∴ 直線 DF的解析式為 y=? x+1, ∵ 點(diǎn) G(0,1)滿足直線 DF的解析式 , ∴ 直線 DF一定經(jīng)過(guò)點(diǎn) G. 21, 4mm??????4m4m4 ,1m????????4m244,mm???????2244,4kbmmmm k b? ? ? ????? ????2 4 ,41,mkmb? ???????2 44m m?評(píng)析 此題是二次函數(shù)綜合題 ,主要考查了待定系數(shù)法 ,函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo) ,直角三角形的性質(zhì) ,判斷點(diǎn)是否在直線上 ,解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn) B的坐標(biāo) ,確定出直線 DF的解析式是解本題的難點(diǎn) . B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的概念 1.(2022山西 ,9,3分 )用配方法將二次函數(shù) y=x28x9化為 y=a(xh)2+k的形式為 ( ) =(x4)2+7 =(x4)225 =(x+4)2+7 =(x+4)225 答案 B y=x28x9=x28x+16169=(x4)225,故選 B. 2.(2022浙江紹興 ,9,4分 )如果一種變換是將拋物線向右平移 2個(gè)單位或向上平移 1個(gè)單位 ,我們 把這種變換稱為拋物線的簡(jiǎn)單變換 .已知拋物線經(jīng)過(guò)兩次簡(jiǎn)單變換后的一條拋物線是 y=x2+1, 則原拋物線的解析式不可能是 ? ( ) =x21 =x2+6x+5 =x2+4x+4 =x2+8x+17 答案 B 因?yàn)閽佄锞€ y=x21可以向上平移兩次得到 y=x2+1,所以 A可能 .因?yàn)閽佄锞€ y=x2+4x+4 =(x+2)2可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1,所以 C可能 .因?yàn)閽佄锞€ y=x2+8x+17= (x+4)2+1可以向右平移兩次得到 y=x2+1,所以 D可能 .因?yàn)閽佄锞€ y=x2+6x+5=(x+3)24,所以經(jīng)過(guò)任 意兩次簡(jiǎn)單變換都不能得到 y=x2+1,故選 B. 3.(2022浙江杭州 ,15,4分 )設(shè)拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)過(guò) A(0,2),B(4,3),C三點(diǎn) ,其中點(diǎn) C在直線 x=2 上 ,且點(diǎn) C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于 1,則拋物線的函數(shù)解析式為 . 答案 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2 18 14 18 34解析 把 A(0,2),B(4,3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx+c(a≠ 0),解得 c=2,16a+4b=1,由點(diǎn) C到拋物線對(duì) 稱軸的距離等于 1,可知拋物線的對(duì)稱軸是直線 x=1或 x=3, 即 ? =1或 ? =3, 由 ? 得 ? 由 ? 得 ? 故所求解析式為 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2. 2ba 2ba1 6 4 1 ,12abba????? ????1 ,81 ,4ab? ????? ????1 6 4 1 ,32abba????? ????1 ,83 ,4ab? ?????? ???18 14 18 34考點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。 (3)當(dāng)點(diǎn) A在拋物線 y=x2x上 ,且 2≤ h1時(shí) ,求 a的取值范圍 . 解析 根據(jù)題意 ,拋物線的解析式可化為 y=a(xh)2+k(a≠ 0). (1)∵ h=1,k=2, ∴ y=a(x1)2+2, ∵ 該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) , ∴ a+2=0, 解得 a=2, ∴ y=2(x1)2+2,即 y=2x2+4x. (2)∵ 拋物線 y=tx2(t≠ 0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(h,k),∴ k=th2. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+th2. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+th2(a≠ 0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) , ∴ ah2+th2=0.∵ h≠ 0,∴ a=t. (3)∵ 點(diǎn) A(h,k)在拋物線 y=x2x上 , ∴ k=h2h. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+h2h. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+h2h(a≠ 0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) , ∴ ah2+h2h=0. ∵ h≠ 0,∴ a=? 1. 分兩類討論 : ① 當(dāng) 2≤ h0時(shí) ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? ≤ ? , ∴ a≤ ? 。 (3)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為 N. (i)若 1≤ a≤ ? ,求線段 MN長(zhǎng)度的取值范圍 。的坐標(biāo)為 ? . 因?yàn)辄c(diǎn) P與點(diǎn) O關(guān)于點(diǎn) A對(duì)稱 , 所以 OP=2OA=4,即點(diǎn) P坐標(biāo)為 (0,4). 設(shè)直線 PM的解析式為 y=k2x+4, 因?yàn)辄c(diǎn) M的坐標(biāo)為 (x1,? +2), 所以 ? +2=k2x1+4,則 k2=? , 即直線 PM的解析式為 y=? x+4. 因?yàn)?? =? ,OD=OC 同理可得 ,當(dāng) x0時(shí) ,y隨 x的增大而減小 . 所以拋物線的對(duì)稱軸為 y軸且開(kāi)口向下 ,則 b=0. 因?yàn)橐?O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點(diǎn) B,C,所以△ ABC是等腰三角形 ,又因?yàn)椤? ABC有一個(gè)內(nèi)角為 60176。當(dāng) 0x1x2時(shí) , (x1x2)只有 D正確 ,故選 D. 3.(2022南平 ,14,4分 )寫(xiě)出一個(gè) y關(guān)于 x的二次函數(shù)的解析式 ,且它的圖象的頂點(diǎn)在 y軸上 : . 答案 y=x2(答案不唯一 ) 解析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在 y軸上 ,可得解析式的一次項(xiàng)系數(shù)為 0,進(jìn)而得出答案 . 4.(2022廈門(mén) ,15,4分 )已知點(diǎn) P(m,n)在拋物線 y=ax2xa(a≠ 0)上 ,當(dāng) m≥ 1時(shí) ,總有 n≤ 1成立 ,則 a的 取值范圍是 . 答案 ? ≤ a0 12解析 根據(jù)已知條件 ,畫(huà)出函數(shù)大致圖象 ,如圖所示 . 由已知得 ? 解得 ? ≤ a0. 0,11,21 1 ,aaaa??? ??? ? ???? ? ???125.(2022福建 ,23,10分 )如圖 ,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為 a米的舊墻 MN,某人利用舊墻和木欄 圍成一個(gè)矩形菜園 ABCD,其中 AD≤ ,另三邊一共用了 100米木 欄 . (1)若 a=20,所圍成的矩形菜園的面積為 450平方米 ,求所利用舊墻 AD的長(zhǎng) 。第三章 變量與函數(shù) 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (福建專用 ) A組 20222022年福建中考題組 五年中考 1.(2022福州 ,11,3分 )已知點(diǎn) A(1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一個(gè)函數(shù)圖象上 ,這個(gè)函數(shù)圖象可以是 ? ( ) ? 答案 C ∵ 點(diǎn) A(1,m),B(1,m), ∴ 點(diǎn) A與 B關(guān)于 y軸對(duì)稱 ,故 A,B錯(cuò)誤 。 (2)求矩形菜園 ABCD面積的最大值 . ? 解析 (1)設(shè) AD的長(zhǎng)為 x米 ,則 AB的長(zhǎng)為 ? 米 . 依題意 ,得 ? =450. 解得 x1=10,x2=90. 因?yàn)?a=20,x≤ a,所以 x=90不合題意 ,舍去 . 故所利用舊墻 AD的長(zhǎng)為 10米 . (2)設(shè) AD的長(zhǎng)為 x米 ,0x≤ a,則矩形菜園 ABCD的面積 S=? =? (x2100x)=? (x50)2+1 250. ① 若 a≥ 50,則當(dāng) x=50時(shí) ,S最大 ,S最大 =1 250. ② 若 0a50,則當(dāng) 0x≤ a時(shí) ,S隨 x的增大而增大 . 故當(dāng) x=a時(shí) ,S最大 ,S最大 =50a? a2. 綜上 ,當(dāng) a