【正文】 O=∠ POA的點 M的坐標 . ? ? 備用圖 解析 (1)P(3,4),拋物線的解析式為 y=x2+3x+4. (2)點 M的坐標為 (m,m2+3m+4). 令 y=0,則 x2+3x+4=0,解得 x1=1,x2=4. ∴ F(4,0),∴ 0≤ m≤ 4. 過 M作 MN⊥ x軸 ,交直線 y=3x+3于 N,則 N(m,3m+3),連接 MB,MA, ∴ MN=m2+3m+4(3m+3)=m2+6m+1. 易知 A,B到直線 MN的距離分別為 |m1|和 m. 當 0≤ m≤ 1時 ,S△ MAB=? MN(1m+m)=? MN. 當 1m≤ 4時 ,S△ MBA=? MN[ m(m1)]=? MN. 綜上所述 ,S△ MAB=? m2+3m+? =? (m3)2+5(0≤ m≤ 4). ∴ 當 m=3時 ,S△ MAB最大 ,最大值為 5. 當 m=0時 ,S△ MAB=? 。當 m=4時 ,S△ MAB=? . ∴ 當 m=0時 ,S△ MAB最小 ,最小值為 ? . 12 1212 1212 12 1212 9212綜上可知 ,m=0時 ,S取得最小值 ,m=3時 ,S取得最大值 . ? (3)連接 OP,① ∵ CP∥ x軸 ,∴ 易證得當 M與 C重合時 ,∠ MPO=∠ POA,M(0,4). ② 當 0m3時 ,由題圖易得 ∠ MPO≠ ∠ M在直線 OP下方 ,即 3m≤ 4時 ,過 OP的中點 E作 OP的垂直平分線交 x軸于 Q. 連接 PQ,則 PQ與拋物線的交點為 M. 易知 OP=? =5,∴ OE=? ,過 P作 PH⊥ x軸于 H. 則 tan∠ POA=? ,cos∠ AOP=? . ∴ ? =? ,∴ OQ=? ,∴ Q? . 設直線 PQ的解析式為 y=kx+b, 2234?5243 35OEOQ35 256 25,06??????將 ? ,(3,4)代入得 ? 解得 ? ∴ 直線 PQ的解析式為 y=? x+? , 聯(lián)立 ? 得 x2+3x+4=? x+? . 整理得 7x245x+72=0, (7x24)(x3)=0, ∴ x1=? ,x2=3(與 P重合 ,舍去 ). 把 x=? 代入 y=? x+? ,得 y=? ,∴ M? . 綜上所述 ,M的坐標為 (0,4)或 ? . 25,06?????? 25 0,63 4 ,kbkb? ????????24,7100.7kb? ?????? ???247 100722 4 1 0 0 ,773 4 ,yxy x x? ? ? ????? ? ? ??247 1007247247 247 1007 12449 2 4 1 2 4,7 4 9??????2 4 1 2 4,7 4 9??????3.(2022梧州 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx? 與 x軸交于 A(1,0),B(6,0)兩點 ,D是 y軸上一點 ,連接 DA,延長 DA交拋物線于點 E. (1)求此拋物線的解析式 。 (2)若 E點在第一象限 ,過點 E作 EF⊥ x軸于點 F,△ ADO與△ AEF的面積比為 ? =? ,求出點 E的 坐標 。 (3)若 D是 y軸上的動點 ,過 D作與 x軸平行的直線交拋物線于 M、 N兩點 .是否存在點 D,使 DA2= DMDN?若存在 ,請求出點 D的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 92ADOAEFSS 19解析 (1)把 (1,0),(6,0)代入 y=ax2+bx? 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x? . (2)∵∠ DOA=∠ AFE=90176。,∠ DAO=∠ EAF, ∴ △ AOD∽ △ AFE, ∴ ? =? =? , ∴ ? =? , ∴ AF=3. ∴ OF=4. 把 x=4代入 y=? x2+? x? 得 y=? . ∴ E? . (3)設 D(0,d), 929 0,293 6 6 0 ,2abab? ? ? ????? ? ? ???3 ,421,4ab? ?????? ???34 214 92ADOAEFSS 22OAAF 19OAAF 1334 214 92 9294,2??????把 y=d代入 y=? x2+? x? 得 ? x2+? x? =d, ∴ ? x2+? x? d=0, 設該一元二次方程的兩根為 x1,x2. ① 當 M,N都在 y軸右側(cè)時 , DMDN=x1x2=? =? , ∴ ? =d2+1, 解得 d1=3,d2=? . 經(jīng)檢驗 ,當 d=3時 ,? x2+? x? =3有兩個不相等的正實數(shù)根 , 當 d=? 時 ,? x2+? x? =? 有兩個不相等的正實數(shù)根 . ∴ d=3或 ? .即 D(0,3)或 ? . 34 214 92 34 214 9234 214 929234d???18 43 d?18 43 d?5334 214 9253 34 214 92 5353 50, 3???????② 當 M,N在 y軸異側(cè)時 ,DMDN=x1x2=? =? ,∴ ? =d2+1,此方程無解 . 綜上所述 ,D的坐標為 (0,3)或 ? . 9234d???18 43 d?? 18 43 d??50, 3???????4.(2022百色 ,26,12分 )拋物線 y=ax2+bx的頂點 M(? ,3)關于 x軸的對稱點為 B,點 A為拋物線與 x軸 的一個交點 ,點 A關于原點 O的對稱點為 A39。.已知 C為 A39。B的中點 ,P為拋物線上一動點 ,作 CD⊥ x 軸 ,PE⊥ x軸 ,垂足分別為 D,E. (1)求點 A的坐標及拋物線的解析式 。 (2)當 0x2? 時 ,是否存在點 P使以點 C,D,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形 ?若存在 ,求出點 P 的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 33解析 (1)∵ M(? ,3)是拋物線 y=ax2+bx的頂點 , ∴ ? 解得 ? ∴ y=x2+2? x. 令 y=0,得 x2+2? x=0,解得 x1=0,x2=2? ,∴ A(2? ,0). (2)由題意可知 B(? ,3),A39。(2? ,0),連接 MB,交 x軸于 N, 則 N(? ,0),NB=3,又 ∵ C為 A39。B中點 ,CD⊥ x軸 , ∴ CD為△ A39。BN的中位線 ,∴ CD=? BN=? . 又 PE⊥ x軸 ,CD⊥ x軸 ,∴ CD∥ PE, ∴ 當 PE=CD時 ,四邊形 CDPE為平行四邊形 ,令 P(m,n). 此時 n=? ,∴ m2+2? m=? ,解得 m1=? ,m2=? , 又 ? ,? ∈ (0,2? ), ∴ P? 或 ? . 33 3 3 ,3,2abba? ???? ????1,2 3 ,ab????????33 3 33 3312 32323322 3 62? 2 3 62?2 3 62? 2 3 62? 32 3 6 3,22???????2 3 6 3,22???????5.(2022賀州 ,26,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,拋物線 y=ax2+bx+c交 x軸于 A,B兩點 (A在 B的左 側(cè) ),且 OA=3,OB=1,與 y軸交于 C(0,3),拋物線的頂點為 D(1,4). (1)求 A,B兩點的坐標 。 (2)求拋物線的解析式 。 (3)過點 D作直線 DE∥ y軸 ,交 x軸于點 E,點 P是拋物線上 B、 D兩點間的一個動點 (點 P不與 B、 D 兩點重合 ),PA、 PB與直線 DE分別交于 F、 P運動時 ,EF+EG是不是定值 ?若是 ,試求出該 定值 。若不是 ,請說明理由 . ? 解析 (1)由題意得 A點坐標為 (3,0),B點坐標為 (1,0). (2)設拋物線的解析式為 y=a(x+3)(x1). 把 (0,3)代入得 3=a3(1),∴ a=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=(x+3)(x1)=x22x+3. (3)EF+EG=8,理由如下 : 過點 P作 PQ∥ y軸 ,交 x軸于點 Q,設 P(t,t22t+3)(1t1), 則 PQ=t22t+3,AQ=3+t,QB=1t, ∵ PQ∥ EF,∴ △ AEF∽ △ AQP,則 ? =? , ∴ EF=? =? =? (t+3)(t1)=2(1t), 又 ∵ PQ∥ EG, ∴ △ BEG∽ △ BQP,∴ ? =? , ∴ EG=? =? =2(t+3), ∴ EF+EG=2(1t)+2(t+3)=8. EFPQ AEAQP Q A EAQ?2( 2 3) 23ttt? ? ? ?? 23 t?EGQPBEBQP Q B EBQ? 22( 2 3)1ttt? ? ??6.(2022桂林 ,26,12分 )如圖 ,已知拋物線 y=ax2+bx+6(a≠ 0)與 x軸交于點 A(3,0)和點 B(1,0),與 y軸 交于點 C. (1)求拋物線 y的解析式及點 C的坐標 。 (2)點 M為坐標平面內(nèi)一點 ,若 MA=MB=MC,求點 M的坐標 。 (3)在拋物線上是否存在點 E,使 4tan∠ ABE=11tan∠ ACB?若存在 ,求出滿足條件的所有點 E的坐 標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 解析 (1)由題意得 C(0,6), 將 (3,0),(1,0)代入 y=ax2+bx+6, 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=2x24x+6. (2)由 (1)可得 ,拋物線的對稱軸為直線 x=1, ∵ MA=MB, ∴ 點 M在拋物線的對稱軸 x=1上 , 設點 M(1,m),由 MB=MC,得 (11)2+m2=(10)2+(m6)2, ∴ m=? ,即 M? . (3)存在 .設拋物線的對稱軸與 x軸的交點為 P. 由 (2)可知 ,點 M? 是△ ABC的外接圓的圓心 , ∴∠ ACB=∠ AMP=? ∠ AMB, 9 3 6 0,6 0,abab? ? ??? ? ? ?? 2, ???? ???114 111,4???????111,4???????12∴ tan∠ ACB=tan∠ AMP=? =? , 又 ∵ 4tan∠ ABE=11tan∠ ACB, ∴ tan∠ ABE=2, ∴ 直線 BE與 y軸的交點為 (0,2)或 (0,2). ∴ 直線 BE的解析式為 y=2x+2或 y=2x2. 又 ∵ 點 E在拋物線 y=2x24x+6上 , ∴ 2x+2=2x24x+6,可得 x1=2或 x2=1(舍去 ), 2x2=2x24x+6,可得 x3=4或 x4=1(舍去 ), 當 x=2時 ,y=2(2)+2=6, 當 x=4時 ,y=2(4)2=10. ∴ 符合條件的點 E有兩個 ,分別是 (2,6),(4,10). APPM 8117.(2022南寧 ,26,10分 )如圖 ,拋物線 y=ax25ax+c與坐標軸分別交于 A,C,E三點 ,其中 A(3,0),C(0,4), 點 B在 x軸上 ,AC=BC,過點 B作 BD⊥ x軸交拋物線于點 D,點 M,N分別是線段 CO,BC上的動點 ,且 CM=BN,連接 MN,AM,AN. (1)求拋物線的解析式及點 D的坐標 。 (2)當△ CMN是直角三角形時 ,求點 M的坐標 。 (3)試求出 AM+AN的最小值 . ? 解析 (1)把 (3,0),(0,4)代入 y=ax25ax+c得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4, ∵ AC=BC,OC=OC, ∴ Rt△ AOC≌ Rt△ BOC(HL), ∴ OA=OB, ∵ A(3,0), ∴ B(3,0), ∵ BD⊥ x軸 ,D在拋物線上 , ∴ D(3,5). (2)易知 OC=4,BC=5,設 M(0,a)(0≤ a≤ 4), ∵ CM=BN, ∴ CM=BN=4a,CN=BCBN=5(4a)=1+a, ① 當 ∠ CMN=90176。時 ,△ CMN∽ △ COB, 9 15 0,4,a a cc ? ? ??? ?? 1 ,64.ac? ???????16 56∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . ② 當 ∠ CNM=90176。時 ,△ CNM∽ △ COB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . 綜上所述 ,當△ CMN是直角三角形時 ,點 M的坐標