【正文】 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . 由點(diǎn) A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點(diǎn) P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。 (2)求 k,b的值 。時(shí) ,△ CNM∽ △ COB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . 綜上所述 ,當(dāng)△ CMN是直角三角形時(shí) ,點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ? 或 ? . (3)連接 DN,AD, ∵ BD⊥ x軸 , ∴∠ OCB=∠ DBN, ∵∠ OCB=∠ ACM, ∴∠ ACM=∠ DBN, 又 ∵ CM=BN,AC=BD, ∴ △ CAM≌ △ BDN(SAS), ∴ AM=DN, ∴ AM+AN=DN+AN, CMCO CNCB 4 4 a? 1 5 a? 169 160,9??????CMCB CNCO 4 5 a? 1 4 a? 119 110,9??????160,9??????110,9??????當(dāng) A,N,D三點(diǎn)共線時(shí) ,AM+AN最小 , ∵ AB=6,BD=5, ∴ 在 Rt△ ABD中 ,由勾股定理得 AD=? =? , ∴ AM+AN的最小值為 ? . 22AB BD? 6161思路分析 (1)將 A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax25ax+c,解出 a,c的值 ,即可確定拋物線的解析式 .根據(jù) AC=BC,OC⊥ AB可知 B(3,0).又 BD⊥ AE,故 D的橫坐標(biāo)為 3,將 x=3代入解析式確定 D點(diǎn)的縱坐標(biāo) . (2)易知 OC=4,BC=5,令 M(0,a),則有 CM=BN=4a,CN=BCBN=1+ :① 若 ∠ CMN=90176。.已知 C為 A39。2 k④ 直線 CM與☉ D相切 .其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 14答案 B ∵ y=? (x+2)(x8),∴ A(2,0),B(8,0). ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? =3,∴ ① 正確 . ∵ A(2,0),B(8,0),∴ AB=10,∴ r=5. ∴ S☉ D=πr2=π52=25π,∴ ② 錯(cuò)誤 . 假設(shè)存在點(diǎn) E,使四邊形 ACED為平行四邊形 ,則 AD?? CE, 當(dāng) x=0時(shí) ,y=4,∴ C(0,4). 令 y=4,解得 x1=0(舍去 ),x2=6,∴ E(6,4),∴ CE=6. ∵ A(2,0),D(3,0),∴ AD=5,∴ AD≠ CE. ∴ 矛盾 ,假設(shè)不成立 ,即不存在點(diǎn) E使四邊形 ACED為平行四邊形 ,∴ ③ 錯(cuò)誤 . 令 x=3,則 y=? ,∴ M? . ∵ C(0,4),D(3,0), ∴ CD2=32+42=25,CM2=32+? =9+? =? , 14282??254 253, 4???????294??????811622516DM2=? =? , ∴ CD2+CM2=DM2,∴∠ DCM=90176。 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (廣西專用 ) 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的解析式 五年中考 A組 20222022年廣西中考題組 五年中考 1.(2022百色 ,10,3分 )把拋物線 y=? x2向右平移 2個(gè)單位 ,則平移后所得拋物線的解析式為 ? ( ) =? x2+2 =? (x+2)2 =? x22 =? (x2)2 1212 1212 12答案 D 拋物線 y=? x2向右平移 2個(gè)單位后 ,所得拋物線的解析式為 y=? (x2)2,故選 D. 12 122.(2022來(lái)賓 ,13,3分 )將拋物線 C1:y=x2先向左平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再向下平移 3個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋 物線 C2,則拋物線 C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 ? ( ) =(x2)23 =(x+2)23 =(x2)2+3 =(x+2)2+3 答案 B 拋物線 y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,0). ∵ 先向左平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度 ,再向下平移 3個(gè)單位長(zhǎng)度 , ∴ 新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,3). ∴ 所得拋物線的解析式是 y=(x+2) B. 3.(2022百色 ,17,3分 )經(jīng)過(guò) A(4,0),B(2,0),C(0,3)三點(diǎn)的拋物線的解析式是 . 答案 y=? x2+? x+3 38 34解析 根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x+2)(x4), 把 C(0,3)代入得 8a=3,即 a=? , 則拋物線的解析式為 y=? (x+2)(x4)=? x2+? x+3. 3838 38 34思路分析 根據(jù) A與 B坐標(biāo)的特點(diǎn)設(shè)出拋物線的解析式為 y=a(x2)(x4),把 C的坐標(biāo)代入求出 a 的值 ,即可確定出解析式 . 4.(2022貴港 ,25,11分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與 x軸相交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,與 y 軸相交于點(diǎn) C(0,3). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 。 ③ 當(dāng) AP=BP時(shí) ,作線段 AB的垂直平分線 ,與拋物線交于 C,M兩點(diǎn) . 因此能使△ ABP為等腰三角形的點(diǎn) P有 3個(gè) . 3 3 333故選 A. 思路分析 易求 A、 B及拋物線與 x軸交點(diǎn) M、 N的坐標(biāo) ,使△ ABP為等腰三角形的情況有 3種 , 分類討論即可求解 ,注意去掉重合的點(diǎn) . 主要考點(diǎn) 一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ,等腰三角形的判定 . 5.(2022梧州 ,12,3分 )如圖所示 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)與 x軸交于點(diǎn) A(2,0)、 B(1,0).直線 x= 與此拋物線交于點(diǎn) C,與 x軸交于點(diǎn) M,在直線上取點(diǎn) D,使 MD=MC,連接 AC、 BC、 AD、 學(xué)根據(jù)圖象寫(xiě)出下列結(jié)論 : ① ab=0。 (3)求滿足 ∠ MPO=∠ POA的點(diǎn) M的坐標(biāo) . ? ? 備用圖 解析 (1)P(3,4),拋物線的解析式為 y=x2+3x+4. (2)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (m,m2+3m+4). 令 y=0,則 x2+3x+4=0,解得 x1=1,x2=4. ∴ F(4,0),∴ 0≤ m≤ 4. 過(guò) M作 MN⊥ x軸 ,交直線 y=3x+3于 N,則 N(m,3m+3),連接 MB,MA, ∴ MN=m2+3m+4(3m+3)=m2+6m+1. 易知 A,B到直線 MN的距離分別為 |m1|和 m. 當(dāng) 0≤ m≤ 1時(shí) ,S△ MAB=? MN若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 33解析 (1)∵ M(? ,3)是拋物線 y=ax2+bx的頂點(diǎn) , ∴ ? 解得 ? ∴ y=x2+2? x. 令 y=0,得 x2+2? x=0,解得 x1=0,x2=2? ,∴ A(2? ,0). (2)由題意可知 B(? ,3),A39。,則△ CNM∽ △ COB,利用相似的性質(zhì)求解 . (3)連接 DN,AD,易證得△ CAM≌ △ BDN(SAS),從而 AM= AM+AN=DN+AN,因此當(dāng) A,N,D三 點(diǎn)共線時(shí) ,AM+AN最小 ,最小值為 AD的長(zhǎng) . 方法總結(jié) 此題是二次函數(shù)綜合題 ,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 ,相似三角形的綜合 運(yùn)用 ,直角三角形的分類討論 ,全等三角形的證明等 ,此題 (1)(2)問(wèn)難度適中 ,(3)問(wèn)綜合性較強(qiáng) ,難 度較大 . 8.(2022河池 ,26,12分 )拋物線 y=x2+2x+3與 x軸交于點(diǎn) A,B(A在 B的左側(cè) ),與 y軸交于點(diǎn) C. (1)求直線 BC的解析式 。, ∴ EN⊥ DN, 故 DH+PH=PH+EH=PE=? PM, ∴ 當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí) ,PM最小 ,即 DH+PH最小 ,最小值為 ? ,此時(shí) P(1,1). 2210.(2022南寧 ,26,10分 )如圖 ,已知拋物線 y=ax22? ax9a與坐標(biāo)軸交于 A,B,C三點(diǎn) ,其中 C(0,3),∠ BAC的平分線 AE交 y軸于點(diǎn) D,交 BC于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) D的直線 l與射線 AC,AB分別交于點(diǎn) M,N. (1)直接寫(xiě)出 a的值 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸 。. ∵∠ DAH=90176。② ? 0。與 x軸相交于 A39。(0,6)或 C39。 (2)點(diǎn) C是拋物線與 y軸的交點(diǎn) ,連接 BC,設(shè)點(diǎn) P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn) ,PD⊥ BC,垂足為點(diǎn) D. ① 是否存在點(diǎn) P,使線段 PD的長(zhǎng)度最大 ?若存在 ,請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。, ∴∠ PAF=45176。, ∴∠ PAF=45176。C39。B39。 (2)當(dāng) x取何值時(shí) ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn) W最大 ?最大總利潤(rùn)是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時(shí) ,總利潤(rùn) W最大 ,最大總利潤(rùn)是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 。當(dāng) x1時(shí) ,y隨 x的增大而減小 ,選項(xiàng) C錯(cuò)誤 。 (3)無(wú)論 m取何值 ,該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ∠ AHP=45176。 當(dāng) Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于 5且大于 0時(shí) ,∠ OCQ逐漸變大 ,故 ∠ OCA∠ OCQ. 22 2QECEAOCO 13 2 2xxx?13評(píng)析 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 ,涉及用待定系數(shù)法求直線的解析式、等腰三角形的判定 和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想和分類討論思想等知識(shí) . 9.(2022柳州 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 y=? x2? x+? 與 x軸交于 A,C兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) C的左邊 ),直線 y= kx+b(k≠ 0)分別交 x軸、 y軸于 A,B兩點(diǎn) ,且除了點(diǎn) A之外 ,該直線與拋物線沒(méi)有其他交點(diǎn) . (1)求 A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo) 。時(shí) ,△ CMN∽ △ COB, 9 15 0,4,a a cc ? ? ??? ?? 1 ,64.ac? ???????16 56∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 a=? ,∴ M? . ② 當(dāng) ∠ CNM=90176。x2=? =? ,∴ ? =d2+1,此方程無(wú)解 . 綜上所述 ,D的坐標(biāo)為 (0,3)或 ? . 9234d???18 43 d?? 18 43 d??50, 3???????4.(2022百色 ,26,12分 )拋物線 y=ax2+bx的頂點(diǎn) M(? ,3)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 B,點(diǎn) A為拋物線與 x軸 的一個(gè)交點(diǎn) ,點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)為 A39。CE=? ③ 拋物線上存在 點(diǎn) E,使四邊形 ACED為平行四邊形 。 (2)若 P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn) ,PH⊥ x軸于點(diǎn) H,與 BC交于點(diǎn) M,連接 PC. ① 求線段 PM長(zhǎng)的最大值 。② 當(dāng) 2x1時(shí) ,y0。(1m+m)=? MN. 當(dāng) 1m≤ 4時(shí) ,S△ MBA=? MN(2? ,0),連接 MB,交 x軸于 N, 則 N(? ,0),NB=3,又 ∵ C為 A39。 (2)拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn) P,使 ∠ APB=∠ ABC,利用圖 1求點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (2)點(diǎn) P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn) ,若△ PAD為等腰三角形 ,求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。,∠ AHP=45176。③ acb+1=0。、 B39。(0,6)即可 . 設(shè)所求拋物線 L39。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 。, ∴∠ ODA=∠ PAF=45176。, ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。B39。=AB=5. 要使 S△ A39。 ② 花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤(rùn)分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 直線 x=1,選項(xiàng) B錯(cuò)誤 。時(shí) ,求拋物線的解析式 。 當(dāng) Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 5時(shí) ,∠ OCQ逐漸變小 ,故 ∠ OCA∠ OCQ。 (3)試求出 AM+AN的最小值 . ? 解析 (1)把 (3,0),(0,4)代入 y=ax25ax+c得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4, ∵ AC=BC,OC=OC, ∴ Rt△ AOC≌ Rt△ BOC(HL), ∴ OA=OB, ∵ A(3,0), ∴ B(3,0), ∵ BD⊥ x軸 ,D在拋物線上 , ∴ D(3,5).