【正文】 求出 m的值 ,得出拋物線(xiàn)的解析式 。第三問(wèn)難度較大 ,找到定點(diǎn) H的坐標(biāo)是關(guān)鍵 ,再依據(jù)點(diǎn) H,點(diǎn) A的坐 標(biāo)以及 ∠ AHP=45176。當(dāng) x=1時(shí) ,y取得最小值 ,此時(shí) y= 3,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值 . 2.(2022陜西 ,10,3分 )對(duì)于拋物線(xiàn) y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時(shí) ,y0,則這條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。③ acb+1=0。 ∵ C(0,c),OA=OC,∴ A(c,0), 把 A(c,0)代入 y=ax2+bx+c得 ac2bc+c=0, ∴ acb+1=0,∴ ③ 正確 。x2=? , ∴ ④ 正確 ,故選擇 B. ca8.(2022湖北黃岡 ,14,3分 )在 4,2,1,2四個(gè)數(shù)中 ,隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù) y=ax2+bx+1中 a,b的 值 ,則該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的概率為 . 答案 ? 16解析 列舉 a,b所有可能的取值情況如下 : 由上表可知 ,a,b所有可能的取值情況有 12種 , ∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+1的圖象恰好經(jīng)過(guò)第一、二、四象限 , 且 x=0時(shí) ,y=10, ∴ ? ∴ a0,b0,且 b24a0, 易知滿(mǎn)足條件的 a,b的值有 2種情況 ,即 a=1,b=4或 a=2,b=4, b a 4 2 1 2 4 (4,2) (4,1) (4,2) 2 (2,4) (2,1) (2,2) 1 (1,4) (1,2) (1,2) 2 (2,4) (2,2) (2,1) 20,0,24 0 ,ababa????????????∴ 二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的概率為 ? =? . 212169.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )如圖 ,若拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c上的 P(4,0),Q兩點(diǎn)關(guān)于它的對(duì)稱(chēng)軸 x=1對(duì)稱(chēng) , 則 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 x=1對(duì)稱(chēng) ,則 P,Q兩點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸 x=1的距離相等 ,設(shè)點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2,0). 42 m?考點(diǎn)三 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 1.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤(rùn)是 160元 ,花卉的平均每盆利潤(rùn)是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少 2元 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 2.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線(xiàn) L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ),并與 y軸 相交于點(diǎn) C. (1)求 A、 B、 C三點(diǎn)的坐標(biāo) ,并求△ ABC的面積 。、 B39。,要使△ A39。OC=? 56=15.? (4分 ) (2)由題意 ,得 A39。C39。(0,6)即可 . 設(shè)所求拋物線(xiàn) L39。1(n=1舍去 ). 12 122244 m? 24 14??2244 n?? 24 14??∴ 拋物線(xiàn) L39。B39。和△ ABC的面積相等 ,則點(diǎn) C39。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 。,∴ Rt△ COA∽ Rt△ BOC,故當(dāng) Rt△ PDC與 Rt△ COA 相似時(shí) ,就有 Rt△ PDC與 Rt△ BOC相似 , ∵ 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ,∴∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO. (i)當(dāng) ∠ PCD=∠ CBO(Rt△ PDC∽ Rt△ COB)時(shí) ,如圖 b, 855? 圖 b 有 CP∥ OB, ∵ C(0,4),∴ yP=4,由 ? x2+? x+4=4, 解得 x=6或 x=0(舍 ). 即 Rt△ PDC∽ Rt△ COB時(shí) ,P(6,4)。,從而 Rt△ COA ∽ Rt△ BOC,再結(jié)合條件得出 ∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO,然后以這兩種情況分別根據(jù)相 似性質(zhì)列方程求出 P點(diǎn)坐標(biāo) . 方法總結(jié) 這類(lèi)二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的問(wèn)題常用到二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法以 及三角形相似的判定與性質(zhì) ,在解題時(shí)也常從這些方面去考慮 ,尋找突破口 ,同時(shí)壓軸題常考查 分類(lèi)討論思想 ,因而在解題時(shí)注意分類(lèi)討論 . 4.(2022云南昆明 ,22,9分 )如圖 ,拋物線(xiàn) y=ax2+bx過(guò)點(diǎn) B(1,3),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=2,且拋物線(xiàn)與 x軸的 正半軸交于點(diǎn) A. (1)求拋物線(xiàn)的解析式 ,并根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng) y≤ 0時(shí) ,自變量 x的取值范圍 。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。, ∴∠ ODA=∠ PAF=45176。, ∴ S△ ABP=? AP, ∴ PF=AF=5, 在 Rt△ PFA中 ,∠ AFP=90176。,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。(2)由待定系數(shù)法求出直線(xiàn) BC的方程 ,① 過(guò) 點(diǎn) P作 PG⊥ x軸于點(diǎn) G,交 CB于點(diǎn) E,在 Rt△ PDE中可得 PD與 PE的關(guān)系 ,當(dāng)線(xiàn)段 PE最長(zhǎng)時(shí) ,PD的 長(zhǎng)度最大 ,設(shè)出 P點(diǎn)坐標(biāo) ,從而得出線(xiàn)段的長(zhǎng) ,由 PE=PGEG得二次函數(shù) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)得最 值及此時(shí)自變量的值 ,從而得 P點(diǎn)坐標(biāo) 。sin∠ PED=PE的 坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線(xiàn) y=? x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,0),B (8,0). (1)求拋物線(xiàn)的解析式 。B39。令 x=0,求得點(diǎn) C坐標(biāo) ,然后利用三角形面積公式求出△ ABC的面積 。與拋物線(xiàn) L的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同 , ∴ ? =? ,? =? , 解得 m=177。與 y軸的交點(diǎn)為 C39。=AB=5. 要使 S△ A39。C39。在點(diǎn) B39。,且 L39。 ② 花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤(rùn)分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。x2=? , 2 44b aca?ca∴ OAOB=? .其中正確結(jié)論的 個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 2 44b aca? ca答案 B ∵ 拋物線(xiàn)開(kāi)口向下 ,∴ a0, 又 ∵ 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的右側(cè) ,∴ b0, ∵ 拋物線(xiàn)與 y軸的交點(diǎn)在 x軸上方 , ∴ c0,∴ abc0,∴ ① 正確 。當(dāng)直線(xiàn) y=x+2c(即 l3)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,0)時(shí) ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當(dāng) 2c≤ 5時(shí) ,直線(xiàn) y=x+2c與拋物線(xiàn) y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) ,即一段拋物 線(xiàn) L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線(xiàn) l:y=x+2有唯一公共點(diǎn) .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時(shí) , 直線(xiàn) y=x+2c與拋物線(xiàn) y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ,故選 D. ? 歸納總結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、 數(shù)量關(guān)系與直觀(guān)的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái) ,通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過(guò) 抽象思維與形象思維的結(jié)合 ,可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 ,抽象問(wèn)題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 5.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知一次函數(shù) y1=4x,二次函數(shù) y2=2x2+ ,對(duì)于 x的同一 個(gè)值 ,這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y1與 y2,則下列關(guān)系正確的是 ? ( ) y2 ≥ y2 y2 ≤ y2 答案 D y2y1=2x24x+2=2(x1)2,無(wú)論 x取何值 ,(x1)2≥ 0,∴ y2≥ y1,故選 D. 一題多解 根據(jù)函數(shù)圖象可以看出對(duì)于同一個(gè) x的值 ,都有 y1≤ y2. ? 6.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數(shù) y=(xh)2+1(h為常數(shù) ),在自變量 x的值滿(mǎn)足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當(dāng) h≥ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=3處取最小值 ,此時(shí) (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當(dāng) 1≤ h≤ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當(dāng) h≤ 1時(shí) ,二次函數(shù)在 x=1處取最小值 ,此時(shí) (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,分類(lèi)討論思想 ,解一元二次方程 ,屬于難題 . 7.(2022湖北孝感 ,10,3分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,與 y軸交于 點(diǎn) C,且 OA= :① abc0。該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是 直線(xiàn) x=1,選項(xiàng) B錯(cuò)誤 。,得出 AH= AD,可證△ ADE≌ △ HAG,再求得點(diǎn) D的坐標(biāo) ,分類(lèi)討論求出拋物線(xiàn)的解析式 . 2 8,24m m m?????????方法總結(jié) 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,屬壓軸題 .三個(gè)問(wèn)題分別給出不同條件 ,再用待定系數(shù)法 求二次函數(shù)關(guān)系式 .第一問(wèn)代入點(diǎn) A的坐標(biāo)即可得解 。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當(dāng) m=0時(shí) ,點(diǎn) P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當(dāng) x=2時(shí) ,無(wú)論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 (2,4). 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ AH,交射線(xiàn) HP于點(diǎn) D,分別過(guò)點(diǎn) D,H作 x軸的垂線(xiàn) ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。時(shí) ,求拋物線(xiàn)的解析式 。若不能 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)解法一 :把 C(0,3)代入 y=ax2+bx+c得 c=3, 把 B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得 9a+3b+3=0, 又 ? =1,∴ 解得 a=1,b=2. ∴ 解析式是 y=x2+2x+3. 解法二 :設(shè)所求解析式為 y=m(x1)2+n, 則把 B(3,0),C(0,3)代入得 ? 解得 ? ∴ 解析式是 y=(x1)2+4,即 y=x2+2x+3. (2)解法一 :由 y=(x1)2+4得拋物線(xiàn)頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,4), 過(guò)點(diǎn) D作 y軸的平行線(xiàn)分別交 CB,OB于點(diǎn) E,F, 則 ? =? ,∴ EF=2. ∴ 42≤ h≤ 4,即 2≤ h≤ 4. 2ba4 0 ,3,mnmn???? ??? 1, ???? ??EFOCBFBO解法二 :由 y=(x1)2+4得拋物線(xiàn)頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,4), ∵ △ OBC是等腰三角形 ,∠ OBC=45176。,∴∠ DAO=30176。, 設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn) AB的交點(diǎn)為 N,作點(diǎn) D關(guān)于直線(xiàn) AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) E,連接 EN,過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ EN,垂足為 M, ? 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性 ,∠ ENH=∠ DNH=∠ ABO=45176。 當(dāng) Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 5時(shí) ,∠ O