【文章內(nèi)容簡介】 為 ? 或 ? . (3)連接 DN,AD, ∵ BD⊥ x軸 , ∴∠ OCB=∠ DBN, ∵∠ OCB=∠ ACM, ∴∠ ACM=∠ DBN, 又 ∵ CM=BN,AC=BD, ∴ △ CAM≌ △ BDN(SAS), ∴ AM=DN, ∴ AM+AN=DN+AN, CMCO CNCB 4 4 a? 1 5 a? 169 160,9??????CMCB CNCO 4 5 a? 1 4 a? 119 110,9??????160,9??????110,9??????當 A,N,D三點共線時 ,AM+AN最小 , ∵ AB=6,BD=5, ∴ 在 Rt△ ABD中 ,由勾股定理得 AD=? =? , ∴ AM+AN的最小值為 ? . 22AB BD? 6161思路分析 (1)將 A,C兩點的坐標代入 y=ax25ax+c,解出 a,c的值 ,即可確定拋物線的解析式 .根據(jù) AC=BC,OC⊥ AB可知 B(3,0).又 BD⊥ AE,故 D的橫坐標為 3,將 x=3代入解析式確定 D點的縱坐標 . (2)易知 OC=4,BC=5,令 M(0,a),則有 CM=BN=4a,CN=BCBN=1+ :① 若 ∠ CMN=90176。,則 △ CMN∽ △ COB。② 若 ∠ CNM=90176。,則△ CNM∽ △ COB,利用相似的性質(zhì)求解 . (3)連接 DN,AD,易證得△ CAM≌ △ BDN(SAS),從而 AM= AM+AN=DN+AN,因此當 A,N,D三 點共線時 ,AM+AN最小 ,最小值為 AD的長 . 方法總結(jié) 此題是二次函數(shù)綜合題 ,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 ,相似三角形的綜合 運用 ,直角三角形的分類討論 ,全等三角形的證明等 ,此題 (1)(2)問難度適中 ,(3)問綜合性較強 ,難 度較大 . 8.(2022河池 ,26,12分 )拋物線 y=x2+2x+3與 x軸交于點 A,B(A在 B的左側(cè) ),與 y軸交于點 C. (1)求直線 BC的解析式 。 (2)拋物線的對稱軸上存在點 P,使 ∠ APB=∠ ABC,利用圖 1求點 P的坐標 。 (3)點 Q在 y軸右側(cè)的拋物線上 ,利用圖 2比較 ∠ OCQ與 ∠ OCA的大小 ,并說明理由 . 圖 1 圖 2 解析 (1)在 y=x2+2x+3中 ,令 y=0可得 0=x2+2x+3,解得 x=1或 x=3,令 x=0可得 y=3, ∴ B(3,0),C(0,3), ∴ 可設直線 BC的解析式為 y=kx+3, 把 B點坐標代入可得 3k+3=0,解得 k=1, ∴ 直線 BC的解析式為 y=x+3. (2)∵ OB=OC, ∴∠ ABC=45176。, ∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的對稱軸為 x=1, 設拋物線的對稱軸交直線 BC于點 D,交 x軸于點 E,當點 P在 x軸上方時 ,如圖 , ∵∠ APB=∠ ABC=45176。,且 PA =PB, ∴∠ PBA=? =176。,∠ DPB=? ∠ APB=176。, ∴∠ PBD=176。45176。=176。, ∴∠ DPB=∠ DBP, ∴ DP=DB, 在 Rt△ BDE中 ,BE=DE=2,由勾股定理可求得 BD=2? , ∴ PE=2+2? , ∴ P(1,2+2? )。 180 452?? ?12222當點 P在 x軸下方時 ,由對稱性可知 P點坐標為 (1,22? ). 綜上可知 ,P點坐標為 (1,2+2? )或 (1,22? ). (3)設 Q(x,x2+2x+3),當點 Q在 x軸下方時 ,過 Q作 QE⊥ y軸于點 E, 當 ∠ OCA=∠ OCQ時 ,則△ QEC∽ △ AOC, ∴ ? =? =? ,即 ? =? ,解得 x=0(舍去 )或 x=5, ∴ 當 Q點橫坐標為 5時 ,∠ OCA=∠ OCQ。 當 Q點的橫坐標大于 5時 ,∠ OCQ逐漸變小 ,故 ∠ OCA∠ OCQ。 當 Q點的橫坐標小于 5且大于 0時 ,∠ OCQ逐漸變大 ,故 ∠ OCA∠ OCQ. 22 2QECEAOCO 13 2 2xxx?13評析 本題為二次函數(shù)的綜合應用 ,涉及用待定系數(shù)法求直線的解析式、等腰三角形的判定 和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想和分類討論思想等知識 . 9.(2022柳州 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 y=? x2? x+? 與 x軸交于 A,C兩點 (點 A在點 C的左邊 ),直線 y= kx+b(k≠ 0)分別交 x軸、 y軸于 A,B兩點 ,且除了點 A之外 ,該直線與拋物線沒有其他交點 . (1)求 A,C兩點的坐標 。 (2)求 k,b的值 。 (3)設點 P是拋物線上的動點 ,過點 P作直線 y=kx+b(k≠ 0)的垂線 ,垂足為 H,交拋物線的對稱軸于 點 D,求 PH+DH的最小值 ,并求出此時點 P的坐標 . ? 14 12 34解析 (1)對于 y=? x2? x+? ,令 y=0,得 ? x2? x+? =0,即 x2+2x3=0, 解得 x1=3,x2=1, 又點 A在點 C的左邊 , ∴ 點 A的坐標為 (3,0),點 C的坐標為 (1,0). (2)∵ 直線 y=kx+b(k≠ 0)過點 A(3,0), ∴ 0=3k+b,即 b=3k, 聯(lián)立 ? 消去 y得 ? x2+? x+3k? =0, 由題意 ,得 Δ=? 4? ? =0, ∴ k22k+1=0,即 (k1)2=0, ∴ k=1,∴ b=3. 14 12 3414 12 3423,1 1 3 ,4 2 4y k x ky x x????? ? ? ? ???14 12k???????34212k???????14 33 4k???????(3)∵ OB=OA,∴∠ BAC=∠ ABO=45176。, 設拋物線的對稱軸與直線 AB的交點為 N,作點 D關于直線 AB的對稱點 E,連接 EN,過點 P作 PM⊥ EN,垂足為 M, ? 根據(jù)對稱性 ,∠ ENH=∠ DNH=∠ ABO=45176。, ∴ EN⊥ DN, 故 DH+PH=PH+EH=PE=? PM, ∴ 當點 P運動到拋物線的頂點時 ,PM最小 ,即 DH+PH最小 ,最小值為 ? ,此時 P(1,1). 2210.(2022南寧 ,26,10分 )如圖 ,已知拋物線 y=ax22? ax9a與坐標軸交于 A,B,C三點 ,其中 C(0,3),∠ BAC的平分線 AE交 y軸于點 D,交 BC于點 E,過點 D的直線 l與射線 AC,AB分別交于點 M,N. (1)直接寫出 a的值 ,點 A的坐標及拋物線的對稱軸 。 (2)點 P為拋物線的對稱軸上一動點 ,若△ PAD為等腰三角形 ,求出點 P的坐標 。 (3)證明 :當直線 l繞點 D轉(zhuǎn)動時 ,? +? 為定值 ,并求出該定值 . ? 31AM 1AN解析 (1)a=? .點 A的坐標為 (? ,0).對稱軸為直線 x=? .? 將點 C(0,3)代入解析式得 9a=3,∴ a =? ,∴ y=? x2+? x+ ? x2+? x+3=0,整理得 x22? x9=0,解得 x1=3? ,x2=? ,∴ 點 A的坐 標為 (? ,0),點 B的坐標為 (3? ,0),對稱軸為直線 x=? ? ? (3分 ) (2)由 (1)得 OA=? ,又 OC=3,∴ tan∠ CAO=? =? , ∴∠ CAO=60176。,∴∠ DAO=30176。,∴ DO=1,AD=2,∴ D(0,1).? (4分 ) 設 P(? ,m),因為△ PAD為等腰三角形 ,則 ①當 PD=AD時 ,∵ PD2=(? )2+(m1)2, ∴ (? )2+(m1)2=22,∴ m=0或 m=2(舍去 ), ∴ P(? ,0).? (5分 ) ② 當 PA =PD時 ,PA 2=PD2,∴ (? +? )2+m2=(? )2+(m1)2, 得 m=4,∴ P(? ,4). ③ 當 AD=AP時 ,∵ APmin=2? AD, ∴ 此種情況不存在 . 133 313 13 233 13 2333 3 33 3 33 COAO333333 3 333∴ 當 P為 (? ,0)或 (? ,4)時 ,△ PAD為等腰三角形 .? (6分 ) (3)設 M,N所在直線的函數(shù)解析式為 yMN=k1x+b1,A,C所在直線的函數(shù)解析式為 yAC=k2x+3. ∵ D(0,1)在直線 MN上 ,A(? ,0)在直線 AC上 , ∴ yMN=k1x+1,yAC=? x+3, ∴ N? ,AN=? =? .? (8分 ) ∵ M是直線 MN與直線 AC的交點 ,∴ (k1? )xM=2,xM=? , ∴ AM=2? =? , ∴ ? +? =? +? =? +? =? =? .? (10分 ) 3 33311 ,0k???????11 3k?? 1131kk ?312 3k ?123 3k? ? 112 ( 3 1)3kk??1AM 1AN 1132 ( 3 1)kk?? 1131kk ? 1 132 ( 3 1)kk?? 1122 ( 3 1)kk ? 113 ( 3 1)2 ( 3 1)kk ?? 3211.(2022玉林 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 L:y=ax2+bx+c與 x軸交于 A,B(3,0)兩點 (A在 B的左側(cè) ),與 y軸交 于點 C(0,3),已知對稱軸 x=1. (1)求拋物線 L的解析式 。 (2)將拋物線 L向下平移 h個單位長度 ,使平移后所得拋物線的頂點落在△ OBC內(nèi) (包括△ OBC的 邊界 ),求 h的取值范圍 。 (3)設點 P是拋物線 L上任一點 ,點 Q在直線 l:x=3上 ,△ PBQ能否成為以點 P為直角頂點的等腰直 角三角形 ?若能 ,求出符合條件的點 P的坐標 。若不能 ,請說明理由 . ? 解析 (1)解法一 :把 C(0,3)代入 y=ax2+bx+c得 c=3, 把 B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得 9a+3b+3=0, 又 ? =1,∴ 解得 a=1,b=2. ∴ 解析式是 y=x2+2x+3. 解法二 :設所求解析式為 y=m(x1)2+n, 則把 B(3,0),C(0,3)代入得 ? 解得 ? ∴ 解析式是 y=(x1)2+4,即 y=x2+2x+3. (2)解法一 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標為 (1,4), 過點 D作 y軸的平行線分別交 CB,OB于點 E,F, 則 ? =? ,∴ EF=2. ∴ 42≤ h≤ 4,即 2≤ h≤ 4. 2ba4 0 ,3,mnmn???? ??? 1, ???? ??EFOCBFBO解法二 :由 y=(x1)2+4得拋物線頂點 D的坐標為 (1,4), ∵ △ OBC是等腰三角形 ,∠ OBC=45176。, ∴ EF=BF=2. ∴ 42≤ h≤ 4,即 2≤ h≤ 4. (3)△ PBQ能成為以點 P為直角頂點的等腰三角形 .設 P(x,x2+2x+3),如圖 ,過點 P分別作 x軸與 l的 垂線 ,垂足分別是點 M,N, ∠ PMB=∠ PNQ=90176。,∠ BPM=∠ QPN,PB=PQ, ∴ △ PMB≌ △ PNQ. ∴ PM=PN. ① 當點 P在 x軸的上方時 ,有 x2+2x+3=x+3, 即 x2x=0,解得 x1=0,x2=1, ∴ P1(0,3),P2(1,4). ② 當點 P在 x軸的下方時 ,有 x2+2x+3=(x+3),即 x23x6=0,解得 x=? =? , ∴ P3? ,P4? . ∴ 滿足條件的點 P有四個 ,分別是 P1(0,3),P2(1,4), P3? ,P4? . 23 ( 3) 4 1 ( 6)2? ? ? ? ? ?3 3 32?3 33 9 33,22?????????33 9 33,22?????????3 33 9 33,22?????????33 9 33,22?????????B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 二次函數(shù)的解析式 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )拋物線 y=? ? 3的頂點坐標是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35212x???????1 ,32??????? 1 ,32????????1 ,32??????1 ,32???????答案 B ∵ 拋物線 y=a(xh)2+k的頂點坐標為 (h,k), ∴ 拋物線 y=? ? 3的頂點坐標為 ? .故選 B. 35212x??????? 1 ,32????????2.(2022新疆烏魯木齊 ,1