【文章內(nèi)容簡介】 解析 ∵ 點 A在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且點 A的橫坐標是 2,∴ y=? ,即點 A的坐標為 ? . 如圖 ,∵ 雙曲線 y=? 和矩形 ABCD都是軸對稱圖形和中心對稱圖形 ,∴ 點 A、 B關于直線 y=x對 稱 ,則 B? ,同理 ,C? ,D? . ∴ AB=? =? . AD=? =? . ∴ S矩形 ABCD=ABAD=? . ? 1x 12 12,2??????1x1 ,22?????? 12, 2????????1 ,22????????22112222? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?32222112222? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?522152解題思路 本題主要結合雙曲線和矩形的對稱性求出 B,C,D的坐標 ,再用兩點之間的距離公式 求出矩形的長和寬 ,即可求矩形的面積 . 6.(2022新疆烏魯木齊 ,14,4分 )如圖 ,直線 y=2x+4與雙曲線 y=? 交于 A,B兩點 ,與 x軸交于點 C,若 AB=2BC,則 k= . ? kx答案 ? 32解析 過點 A作 AE⊥ x軸 ,垂足為 E,過點 B作 BF⊥ x軸 ,垂足為 F,∴ AE∥ BF,∴ △ CBF∽ △ CAE, ∴ ? =? =? , ∵ AB=2BC,∴ ? =? =? , BCACBFAE CFCEBFAE CFCE13∴ yB=? yA,∵ xAyA=k,xByB=k,∴ xB=3xA. 由題意可知 C點坐標為 (2,0),則 CF=2xB,CE=2xA, ∵ ? =? ,∴ 2xA=3(2xB), 又 ∵ xB=3xA,∴ 2xA=3(23xA),解得 xA=? . 把 xA=? 代入 y=2x+4,得 yA=3, 13CFCE131212∴ A點坐標為 ? ,∴ k=? 3=? . 1 ,32??????12 327.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點 A(2,0), 與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式 。 (2)設 M是直線 AB上一點 ,過 M作 MN∥ x軸 ,交反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象于點 N,若以 A,O,M,N 為頂點的四邊形為平行四邊形 ,求點 M的坐標 . ? kxkx解析 (1)∵ 一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點 A(2,0), ∴ 2+b=0,∴ b=2, ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y=x+2, ∵ 一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4), ∴ a+2=4,∴ a=2,∴ B(2,4), ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 y=? . (2)設 M(m2,m),N? ,m0. 當 MN∥ AO且 MN=AO時 ,以 A、 O、 M、 N為頂點的四邊形是平行四邊形 . 故 ? =2且 m0,解得 m=2? 或 m=2? +2, ∴ M的坐標為 (2? 2,2? )或 (2? ,2? +2). kx8x8 , mm??????8 ( 2 )mm ?? 2 32 2 3 38.(2022湖北黃岡 ,19,6分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點 A(3,4),直線 AC與 x軸交于點 C(6,0),過點 C作 x軸的垂線 BC交反比例函數(shù)圖象于點 B. (1)求 k的值與 B點的坐標 。 (2)在平面內(nèi)有點 D,使得以 A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形 ,試寫出符合條件的所有 D點的坐標 . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點 A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點 B的橫坐標為 6, ∵ 點 B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點 B的縱坐標為 2. ∴ 點 B的坐標為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點為頂點的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線段 BC的中點坐標為 (6,1),該點是線段 AD3 的中點 ,所以點 D3的坐標為 (9,2).故 D點的坐標為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12x12x1269.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點 A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過點 A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當 a=2時 ,P(t,0)是 x軸上的動點 ,將點 B繞點 P順時針旋轉 90176。至點 C. ① 若 t=1,直接寫出點 C的坐標 。 ② 若雙曲線 y=? 經(jīng)過點 C,求 t的值 。 (2)如圖 2,將圖 1中的雙曲線 y=? (x0)沿 y軸折疊得到雙曲線 y=? (x0),將線段 OA繞點 O旋轉 ,點 A剛好落在雙曲線 y=? (x0)上的點 D(d,n)處 ,求 m和 n的數(shù)量關系 . ? 8x8x8x 8x8x解析 (1)① C(1,3). ② 依題意 ,得點 C的坐標是 (t,t+2). ∵ 雙曲線 y=? 經(jīng)過點 C,∴ t(t+2)=8, 解得 t=2或 4. (2)∵ 點 A,D分別在雙曲線 y=? 和 y=? 上 , ∴ m=? ,n=? ,即 a=? ,d=? . ∵ OA=OD, ∴ a2+m2=d2+n2, ∴ ? +m2=? +n2, ∴ (mn)(m+n)(mn+8)(mn8)=0, ∵ m0,n0,∴ mn0,mn80, ∴ m+n=0或 mn=8. ∴ m和 n的數(shù)量關系是 m+n=0或 mn=8. 8x8x 8x8a 8d 8m 8n28m??????28n???????思路分析 (1)① 當 t=1時 ,求出 PB的長即可得出點 C的坐標 。② 由題意可知點 C的坐標為 (t,t+2), 把點 C的坐標代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m 8n 28m?????? 28n???????方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結合問題的最常用的方法是由點的坐標求相關線 段的長度 ,用相關線段的長度表示點的坐標 . 10.(2022江西 ,17,6分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象與正比例函數(shù) y=2x的圖象相交于 A(1,a),B兩點 ,點 C在第四象限 ,CA∥ y軸 ,∠ ABC=90176。. (1)求 k的值及點 B的坐標 。 (2)求 tan C的值 . ? kx解析 (1)∵ y=2x的圖象經(jīng)過 A(1,a), ∴ a=21=2. ∵ 點 A(1,2)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ k=12=2. 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(1,2). (2)設 AC交 x軸于點 D, ? ∵ A(1,2),AC∥ y軸 , kx2,2 ,yxy x???? ???1,2xy ??? ??1, ???? ???∴ OD=1,AD=2,∠ ADO=90176。. ∵∠ ABC=90176。,∴∠ C=∠ AOD. ∴ tan C=tan∠ AOD=? =? =2. ADOD21思路分析 (1)先把 A(1,a)代入 y=2x得 a的值 ,再利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式 ,然后解 方程組 ? 得點 B的坐標 。 (2)利用同角的余角相等推出 ∠ C=∠ AOD,在 Rt△ AOD中利用正切的定義求解即可 . 2,2yxy x???? ???方法指導 在一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交求函數(shù)解析式的過程中 ,通常是把交 點坐標代入其中一個函數(shù)解析式 ,求得字母的值 ,再利用待定系數(shù)法求另一個函數(shù)的解析式 . 11.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數(shù) y=? (k為常數(shù) ). (1)若點 P1? 和點 P2? 是該反比例函數(shù)圖象上的兩點 ,試利用反比例函數(shù)的性質(zhì) 比較 y1和 y2的大小 。 (2)設點 P(m,n)(m0)是其圖象上的一點 ,過點 P作 PM⊥ x軸于點 M,若 tan∠ POM=2,PO=? (O為 坐標原點 ),求 k的值 ,并直接寫出不等式 kx+? 0的解集 . 2 1kx??113,2 y??????? 21 ,2 y???????52 1kx?解析 (1)∵ k210, ∴ 反比例函數(shù) y=? 在每個象限內(nèi) y隨 x的增大而增大 , 又 ∵ ? ? 0, ∴ y1y2. (2)∵ 點 P(m,n)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且 m0,∴ n0, ∴ OM=m,PM=n, ∵ tan∠ POM=2,∴ ? =? =2, ∴ n=2m, 又 ∵ PO=? ,∴ m2+n2=5, ∴ m=1,n=2, ∴ 點 P的坐標為 (1,2),∴ k21=2, 解得 k=177。1. ① 當 k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。 2 1kx??12 132?2 1kx??PMOM nm?52 1kx?2 2② 當 k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x0. 2 1kx?12.(2022湖北黃岡 ,23,12分 )月電科技有限公司用 160萬元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用 ,成功研制出 了一種市場急需的電子產(chǎn)品 ,已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售 .已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4元 /件 ,在銷售過程中發(fā)現(xiàn) :每年的年銷售量 y(萬件 )與銷售價格 x(元 /件 )的關系如圖所示 ,其中 AB為反比例函數(shù)圖象的一部分 ,BC為一次函數(shù)圖象的一部分 .設公司銷售這種電子產(chǎn)品的年 利潤為 z(萬元 ).(注 :若上一年盈利 ,則盈利不計入下一年的年利潤 。若上一年虧損 ,則虧損計作下 一年的成本 ) ? (1)請求出 y(萬件 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關系式 。 (2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤 z(萬元 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關系式 ,并求出第一年年 利潤的最大值 。 (3)假設公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤 z(萬元 )取得最大值時進行銷售 ,現(xiàn)根據(jù)第一 年的盈虧情況