【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 6≤ y≤ 4n, ∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,函數(shù)值為 6. 當(dāng) x=n時(shí) ,函數(shù)值為 4n. ∴ n23n4=4n,解得 n=2或 n=4(不合題意 ,舍去 ). ∴ n的值為 2. 20,[ (2 1)] 4 ( 5) 0,m m m m???? ? ? ? ??1241243232③ 由①知 y=x23x4,故 a=1. ∵ 函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn) , ∴ k=h2, ∵ 當(dāng) x2時(shí) ,y隨 x的增大而減小 , ∴ h≥ 2,∴ k≤ 4. ? 思路分析 (1)由拋物線與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得 ? 即可求出 m的取值范圍 .(2)① 通過(guò) (1)可以確 定 m的值 .② 根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性確定端點(diǎn)處函數(shù)值 ,列方程求解 .③ 畫(huà)出圖象 ,由圖象過(guò) 原點(diǎn)得 k=h2,觀察圖象得到 h的范圍 ,從而求得 k的范圍 . 0,0,mΔ ??? ??19.(2022北京朝陽(yáng)一模 ,27)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0,3),(2,3). (1)求拋物線的表達(dá)式 。 (2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與 x軸交點(diǎn)的坐標(biāo) 。 (3)將 y=x2+bx+c(y≤ 0)的函數(shù)圖象記為圖象 A,圖象 A關(guān)于 x軸對(duì)稱的圖象記為圖象 數(shù) y=mx+n,設(shè)點(diǎn) H是 x軸上一動(dòng)點(diǎn) ,其橫坐標(biāo)為 a,過(guò)點(diǎn) H作 x軸的垂線 ,交圖象 A于點(diǎn) P,交圖象 B于 點(diǎn) Q,交一次函數(shù)圖象于點(diǎn) 1a3時(shí) ,點(diǎn) Q在點(diǎn) N上方 ,點(diǎn) N在點(diǎn) P上方 ,直接寫(xiě)出 n的 值 . ? 解析 (1)把 (0,3)代入 y=x2+bx+c, 得 c=3. 把 (2,3)代入 y=x2+bx3,得 b=2. ∴ y=x22x3. (2)由 (1)得 y=(x1)24. ∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4). 令 x22x3=0,解得 x1=3,x2=1. ∴ 拋物線與 x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,0),(3,0). (3)n=177。6. [提示 ]把 (3,0),(1,4)代入 y=mx+n,得 n=6。 把 (3,0),(1,4)代入 y=mx+n,得 n=6, ∴ n=177。6. 20.(2022北京西城一模 ,27)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 C1:y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3),且與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 B(3,0). (1)求拋物線 C1的表達(dá)式 。 (2)D是拋物線 C1與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn) ,點(diǎn) E的坐標(biāo)為 (m,0),其中 m0,△ ADE的面積為 ? . ① 求 m的值 。 ② 將拋物線 C1向上平移 n個(gè)單位 ,得到拋物線 0≤ x≤ m時(shí) ,拋物線 C2與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) , 結(jié)合函數(shù)的圖象 ,求 n的取值范圍 . 214解析 (1)∵ 拋物線 C1:y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3),且與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 B(3,0), ∴ ? 解得 ? ∴ 拋物線 C1的表達(dá)式為 y=x22x3. (2)① 過(guò) A作 AF⊥ x軸于點(diǎn) F,如圖 . ? ∵ y=x22x3=(x1)24, ∴ 拋物線 C1的對(duì)稱軸為直線 x=1. ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,0), 222 2 3,3 3 ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2, ???? ???∴ OD=1. ∵ 點(diǎn) E的坐標(biāo)為 (m,0), 且 m0,A(2,3), ∴ S△ ADE=? DEAF=? DE3=? . ∴ DE=? . ∴ m=OE=DEOD=? . ② 由題意知拋物線 C2的表達(dá)式為 y=(x1)24+ . ? 12 12 2147252當(dāng)拋物線 C2經(jīng)過(guò)點(diǎn) E? 時(shí) ,? 4+n=0,解得 n=? 。 當(dāng)拋物線 C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O時(shí) ,(1)24+n=0,解得 n=3。 當(dāng)拋物線 C2與 x軸相切時(shí) ,n=4. 結(jié)合圖象可知 ,? ≤ n3或 n=4. 5 ,02?????? 25 12??????? 74741.(2022天津 ,25,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) O(0,0),點(diǎn) A(1,0).已知拋物線 y=x2+mx2m(m是常 數(shù) ),頂點(diǎn)為 P. (1)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A時(shí) ,求頂點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (2)若點(diǎn) P在 x軸下方 ,當(dāng) ∠ AOP=45176。時(shí) ,求拋物線的解析式 。 (3)無(wú)論 m取何值 ,該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ∠ AHP=45176。時(shí) ,求拋物線的解析式 . 教師專用題組 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . 由點(diǎn) A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點(diǎn) P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。,知點(diǎn) P在第四象限 . 過(guò)點(diǎn) P作 PQ⊥ x軸于點(diǎn) Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當(dāng) m=0時(shí) ,點(diǎn) P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當(dāng) x=2時(shí) ,無(wú)論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 (2,4). 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點(diǎn) D,分別過(guò)點(diǎn) D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。. ∵∠ DAH=90176。,∠ AHP=45176。, ∴∠ ADH=45176。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。, ∴∠ DAE=∠ AHG. ∴ △ ADE≌ △ HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. 可得點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (3,1)或 (5,1). ① 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (3,1)時(shí) , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . 35 145∵ 點(diǎn) P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4,m2=? . 當(dāng) m=4時(shí) ,點(diǎn) P與點(diǎn) H重合 ,不符合題意 , ∴ m=? . ② 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (5,1)時(shí) , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . ∵ 點(diǎn) P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4(舍 ),m2=? . ∴ m=? . 2 8,24m m m?????????35 1452 84mm? 35 2m???????14514514553 2232 8,24m m m?????????53 2232 84mm? 53 2m???????223223223綜上 ,m=? 或 m=? . 故拋物線的解析式為 y=x2? x+? 或 y=x2? x+? . 145 223145 285 223 443思路分析 (1)把點(diǎn) A(1,0)代入拋物線 ,求出 m的值 ,確定拋物線的解析式 ,可求出頂點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (2)由函數(shù)解析式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ,作 PQ⊥ x軸于點(diǎn) Q,則 PQ=OQ,建立方程求出 m的值 ,得出拋物線的解析式 。(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 ,定點(diǎn) H的坐標(biāo)為 (2,4),過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點(diǎn) D,分別過(guò)點(diǎn) D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,由 ∠ AHP=45176。,得出 AH= AD,可證△ ADE≌ △ HAG,再求得點(diǎn) D的坐標(biāo) ,分類討論求出拋物線的解析式 . 2 8,24m m m?????????方法總結(jié) 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,屬壓軸題 .三個(gè)問(wèn)題分別給出不同條件 ,再用待定系數(shù)法 求二次函數(shù)關(guān)系式 .第一問(wèn)代入點(diǎn) A的坐標(biāo)即可得解 。第二問(wèn)關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 ,根據(jù)頂點(diǎn) P的位置特點(diǎn) ,建立方程求解 。第三問(wèn)難度較大 ,找到定點(diǎn) H的坐標(biāo)是關(guān)鍵 ,再依據(jù)點(diǎn) H,點(diǎn) A的坐 標(biāo)以及 ∠ AHP=45176。構(gòu)造“一線三等角”的模型確定點(diǎn) D的坐標(biāo) ,最后根據(jù)點(diǎn) P在直線 DH上 ,分 類討論求出 m的值 ,即可求出拋物線的解析式 . 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,26,12分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知拋物線 y=? x2+? x2與 x軸交于 A,B 兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ),與 y軸交于點(diǎn) C,直線 l經(jīng)過(guò) A,C兩點(diǎn) ,連接 BC. (1)求直線 l的解析式 。 (2)若直線 x=m(m0)與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點(diǎn) E,與直線 l交于點(diǎn) D,連接 OD⊥ AC 時(shí) ,求線段 DE的長(zhǎng) 。 (3)取點(diǎn) G(0,1),連接 AG,在第一象限內(nèi)的拋物線上 ,是否存在點(diǎn) P,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG?若 存在 ,求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 12 32解析 (1)當(dāng) y=0時(shí) ,? x2+? x2=0, 解得 x1=1,x2=4. ∴ A(4,0),B(1,0). 當(dāng) x=0時(shí) ,y=2,∴ C(0,2). 設(shè)直線 l的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), ∴ ? 解得 ? ∴ 直線 l的解析式為 y=? x2.? (3分 ) (2)∵ OD⊥ AC,∴∠ ADO=90176。, ∴∠ ADO=∠ AOC=90176。. ∵∠ DAO=∠ OAC,∴ △ AOD∽ △ ACO. ∴ ? =? . ∵ AO=4,OC=2, 12 324 0,2,kbb? ? ??? ??? 1 ,? ????? ???12AOAC ADAO∴ 在 Rt△ AOC中 ,AC=?=2 ? . ∵ ? =? ,∴ AD=? . 設(shè)直線 x=m(m0)與 x軸交于點(diǎn) F,則 DF∥ OC, ∴ ? =? ,∴ AF=? ,∴ OF=OAAF=? ,∴ m=? . ∵ 直線 x=m(m0)交拋物線于點(diǎn) E,交直線 l于點(diǎn) D, ∴ D? ,E? , ∴ DE=? m2? =? m22m=? .? (7分 ) (3)假設(shè)存在點(diǎn) P,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG. ∵ A(4,0),B(1,0),C(0,2), ∴ AB=5,BC=? . 在 Rt△ AOC中 ,AC=2? ,∴ AB2=AC2+BC2, ∴∠ ACB=90176。,∴∠ ACO+∠ BCO=90176。. ∵∠ ACO+∠ BAC=90176。,∴∠ BCO=∠ BAC, 22AO OC? 5AOAC ADAO 855AFAO ADAC 165 45 451,22mm????????213,222m m m????????12213 222mm????????12 322555∴∠ BAP=∠ BAC∠ BAG. ∴∠ BAP=∠ GAC. 過(guò)點(diǎn) G作 GM⊥ AC于點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn) P作 PN⊥ x軸于點(diǎn) N, 在 Rt△ PAN和 Rt△ GAM中 ,tan∠ BAP=tan∠ GAC, ∴ ? =? ,即 GMAN=AMPN. ∵ G(0,1),C(0,2),∴ OG=CG=1. ∵ OA=4,∴ 在 Rt△ AOG中 ,AG=? . 設(shè) AM=x,則 CM=2? x. ∵ GM2=AG2AM2=CG2CM2, ∴ (? )2x2=1(2? x)2,解得 x=? ,∴ AM=? , ∴ GM=? . 設(shè) P? , ∴ PN=? n2+? n2,AN=n+4. PNAN GMAM17517 5 955 955255213,222n n n????????12 32∴ ? (n+4)=?? . 解得 n1=4(舍去 ),n2=? . 當(dāng) n=? 時(shí) ,? n2+? n2=? . ∴ P? . ∴ 存在點(diǎn) P? ,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG. ? 255 955 213 222nn????????139139 12 32 98811 3 9 8,9 8 1??????1 3 9 8,9 8 1??????思路分析 (1)求出 A,C兩點(diǎn)坐標(biāo) ,用待定系數(shù)法求直線 l的解析式 。(2)由 OD⊥ AC易得△ ACO∽ △ AOD,再求得 AD的長(zhǎng) ,即可求出點(diǎn) D的橫坐標(biāo) ,用 m表示出線段 DE,代入 m=? ,