【文章內容簡介】 6≤ y≤ 4n, ∴ 當 x=1時 ,函數值為 6. 當 x=n時 ,函數值為 4n. ∴ n23n4=4n,解得 n=2或 n=4(不合題意 ,舍去 ). ∴ n的值為 2. 20,[ (2 1)] 4 ( 5) 0,m m m m???? ? ? ? ??1241243232③ 由①知 y=x23x4,故 a=1. ∵ 函數圖象經過原點 , ∴ k=h2, ∵ 當 x2時 ,y隨 x的增大而減小 , ∴ h≥ 2,∴ k≤ 4. ? 思路分析 (1)由拋物線與 x軸有兩個交點得 ? 即可求出 m的取值范圍 .(2)① 通過 (1)可以確 定 m的值 .② 根據二次函數圖象的增減性確定端點處函數值 ,列方程求解 .③ 畫出圖象 ,由圖象過 原點得 k=h2,觀察圖象得到 h的范圍 ,從而求得 k的范圍 . 0,0,mΔ ??? ??19.(2022北京朝陽一模 ,27)在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=x2+bx+c經過點 (0,3),(2,3). (1)求拋物線的表達式 。 (2)求拋物線的頂點坐標及與 x軸交點的坐標 。 (3)將 y=x2+bx+c(y≤ 0)的函數圖象記為圖象 A,圖象 A關于 x軸對稱的圖象記為圖象 數 y=mx+n,設點 H是 x軸上一動點 ,其橫坐標為 a,過點 H作 x軸的垂線 ,交圖象 A于點 P,交圖象 B于 點 Q,交一次函數圖象于點 1a3時 ,點 Q在點 N上方 ,點 N在點 P上方 ,直接寫出 n的 值 . ? 解析 (1)把 (0,3)代入 y=x2+bx+c, 得 c=3. 把 (2,3)代入 y=x2+bx3,得 b=2. ∴ y=x22x3. (2)由 (1)得 y=(x1)24. ∴ 頂點坐標為 (1,4). 令 x22x3=0,解得 x1=3,x2=1. ∴ 拋物線與 x軸交點的坐標為 (1,0),(3,0). (3)n=177。6. [提示 ]把 (3,0),(1,4)代入 y=mx+n,得 n=6。 把 (3,0),(1,4)代入 y=mx+n,得 n=6, ∴ n=177。6. 20.(2022北京西城一模 ,27)在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 C1:y=x2+bx+c經過點 A(2,3),且與 x 軸的一個交點為 B(3,0). (1)求拋物線 C1的表達式 。 (2)D是拋物線 C1與 x軸的另一個交點 ,點 E的坐標為 (m,0),其中 m0,△ ADE的面積為 ? . ① 求 m的值 。 ② 將拋物線 C1向上平移 n個單位 ,得到拋物線 0≤ x≤ m時 ,拋物線 C2與 x軸只有一個公共點 , 結合函數的圖象 ,求 n的取值范圍 . 214解析 (1)∵ 拋物線 C1:y=x2+bx+c經過點 A(2,3),且與 x軸的一個交點為 B(3,0), ∴ ? 解得 ? ∴ 拋物線 C1的表達式為 y=x22x3. (2)① 過 A作 AF⊥ x軸于點 F,如圖 . ? ∵ y=x22x3=(x1)24, ∴ 拋物線 C1的對稱軸為直線 x=1. ∴ 點 D的坐標為 (1,0), 222 2 3,3 3 ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2, ???? ???∴ OD=1. ∵ 點 E的坐標為 (m,0), 且 m0,A(2,3), ∴ S△ ADE=? DEAF=? DE3=? . ∴ DE=? . ∴ m=OE=DEOD=? . ② 由題意知拋物線 C2的表達式為 y=(x1)24+ . ? 12 12 2147252當拋物線 C2經過點 E? 時 ,? 4+n=0,解得 n=? 。 當拋物線 C2經過原點 O時 ,(1)24+n=0,解得 n=3。 當拋物線 C2與 x軸相切時 ,n=4. 結合圖象可知 ,? ≤ n3或 n=4. 5 ,02?????? 25 12??????? 74741.(2022天津 ,25,10分 )在平面直角坐標系中 ,點 O(0,0),點 A(1,0).已知拋物線 y=x2+mx2m(m是常 數 ),頂點為 P. (1)當拋物線經過點 A時 ,求頂點 P的坐標 。 (2)若點 P在 x軸下方 ,當 ∠ AOP=45176。時 ,求拋物線的解析式 。 (3)無論 m取何值 ,該拋物線都經過定點 ∠ AHP=45176。時 ,求拋物線的解析式 . 教師專用題組 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經過點 A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點 P的坐標為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點 P的坐標為 ? . 由點 A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點 P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。,知點 P在第四象限 . 過點 P作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當 m=0時 ,點 P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當 x=2時 ,無論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點 H的坐標為 (2,4). 過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。. ∵∠ DAH=90176。,∠ AHP=45176。, ∴∠ ADH=45176。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。, ∴∠ DAE=∠ AHG. ∴ △ ADE≌ △ HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. 可得點 D的坐標為 (3,1)或 (5,1). ① 當點 D的坐標為 (3,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . 35 145∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4,m2=? . 當 m=4時 ,點 P與點 H重合 ,不符合題意 , ∴ m=? . ② 當點 D的坐標為 (5,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . ∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4(舍 ),m2=? . ∴ m=? . 2 8,24m m m?????????35 1452 84mm? 35 2m???????14514514553 2232 8,24m m m?????????53 2232 84mm? 53 2m???????223223223綜上 ,m=? 或 m=? . 故拋物線的解析式為 y=x2? x+? 或 y=x2? x+? . 145 223145 285 223 443思路分析 (1)把點 A(1,0)代入拋物線 ,求出 m的值 ,確定拋物線的解析式 ,可求出頂點 P的坐標 。 (2)由函數解析式得出頂點坐標為 ? ,作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 PQ=OQ,建立方程求出 m的值 ,得出拋物線的解析式 。(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 ,定點 H的坐標為 (2,4),過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,由 ∠ AHP=45176。,得出 AH= AD,可證△ ADE≌ △ HAG,再求得點 D的坐標 ,分類討論求出拋物線的解析式 . 2 8,24m m m?????????方法總結 本題為二次函數的綜合題 ,屬壓軸題 .三個問題分別給出不同條件 ,再用待定系數法 求二次函數關系式 .第一問代入點 A的坐標即可得解 。第二問關鍵是構造直角三角形 ,根據頂點 P的位置特點 ,建立方程求解 。第三問難度較大 ,找到定點 H的坐標是關鍵 ,再依據點 H,點 A的坐 標以及 ∠ AHP=45176。構造“一線三等角”的模型確定點 D的坐標 ,最后根據點 P在直線 DH上 ,分 類討論求出 m的值 ,即可求出拋物線的解析式 . 2.(2022內蒙古包頭 ,26,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,已知拋物線 y=? x2+? x2與 x軸交于 A,B 兩點 (點 A在點 B的左側 ),與 y軸交于點 C,直線 l經過 A,C兩點 ,連接 BC. (1)求直線 l的解析式 。 (2)若直線 x=m(m0)與該拋物線在第三象限內交于點 E,與直線 l交于點 D,連接 OD⊥ AC 時 ,求線段 DE的長 。 (3)取點 G(0,1),連接 AG,在第一象限內的拋物線上 ,是否存在點 P,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG?若 存在 ,求出點 P的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 12 32解析 (1)當 y=0時 ,? x2+? x2=0, 解得 x1=1,x2=4. ∴ A(4,0),B(1,0). 當 x=0時 ,y=2,∴ C(0,2). 設直線 l的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), ∴ ? 解得 ? ∴ 直線 l的解析式為 y=? x2.? (3分 ) (2)∵ OD⊥ AC,∴∠ ADO=90176。, ∴∠ ADO=∠ AOC=90176。. ∵∠ DAO=∠ OAC,∴ △ AOD∽ △ ACO. ∴ ? =? . ∵ AO=4,OC=2, 12 324 0,2,kbb? ? ??? ??? 1 ,? ????? ???12AOAC ADAO∴ 在 Rt△ AOC中 ,AC=?=2 ? . ∵ ? =? ,∴ AD=? . 設直線 x=m(m0)與 x軸交于點 F,則 DF∥ OC, ∴ ? =? ,∴ AF=? ,∴ OF=OAAF=? ,∴ m=? . ∵ 直線 x=m(m0)交拋物線于點 E,交直線 l于點 D, ∴ D? ,E? , ∴ DE=? m2? =? m22m=? .? (7分 ) (3)假設存在點 P,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG. ∵ A(4,0),B(1,0),C(0,2), ∴ AB=5,BC=? . 在 Rt△ AOC中 ,AC=2? ,∴ AB2=AC2+BC2, ∴∠ ACB=90176。,∴∠ ACO+∠ BCO=90176。. ∵∠ ACO+∠ BAC=90176。,∴∠ BCO=∠ BAC, 22AO OC? 5AOAC ADAO 855AFAO ADAC 165 45 451,22mm????????213,222m m m????????12213 222mm????????12 322555∴∠ BAP=∠ BAC∠ BAG. ∴∠ BAP=∠ GAC. 過點 G作 GM⊥ AC于點 M,過點 P作 PN⊥ x軸于點 N, 在 Rt△ PAN和 Rt△ GAM中 ,tan∠ BAP=tan∠ GAC, ∴ ? =? ,即 GMAN=AMPN. ∵ G(0,1),C(0,2),∴ OG=CG=1. ∵ OA=4,∴ 在 Rt△ AOG中 ,AG=? . 設 AM=x,則 CM=2? x. ∵ GM2=AG2AM2=CG2CM2, ∴ (? )2x2=1(2? x)2,解得 x=? ,∴ AM=? , ∴ GM=? . 設 P? , ∴ PN=? n2+? n2,AN=n+4. PNAN GMAM17517 5 955 955255213,222n n n????????12 32∴ ? (n+4)=?? . 解得 n1=4(舍去 ),n2=? . 當 n=? 時 ,? n2+? n2=? . ∴ P? . ∴ 存在點 P? ,使 ∠ BAP=∠ BCO∠ BAG. ? 255 955 213 222nn????????139139 12 32 98811 3 9 8,9 8 1??????1 3 9 8,9 8 1??????思路分析 (1)求出 A,C兩點坐標 ,用待定系數法求直線 l的解析式 。(2)由 OD⊥ AC易得△ ACO∽ △ AOD,再求得 AD的長 ,即可求出點 D的橫坐標 ,用 m表示出線段 DE,代入 m=? ,