【正文】 0176。和 ∠ BNP=90176。兩種情況求點 M的坐標(biāo) ,② 分 m? ,? ≤ m0,0≤ m≤ 3,m3四種情況求 m的值 .做題時考慮不全面 ,易失分 。 ,一定要注 意端點的位置和坐標(biāo)的符號 . 12 126.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )如圖 ,拋物線 y=x2+2x+n經(jīng)過點 M(1,0),頂點為 C. (1)求點 C的坐標(biāo) 。 (2)設(shè)直線 y=2x與拋物線交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側(cè) ): ① 在拋物線的對稱軸上是否存在點 G,使 ∠ AGC=∠ BGC?若存在 ,求出點 G的坐標(biāo) 。若不存在 ,請 說明理由 。 ② 點 P在直線 y=2x上 ,點 Q在拋物線上 ,當(dāng)以 O,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時 ,求點 Q的 坐標(biāo) . ? 解析 ∵ 拋物線 y=x2+2x+n過點 M(1,0), ∴ 0=(1)2+2(1)+n,解得 n=3, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x+3. (1)∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的頂點 C的坐標(biāo)為 (1,4). (2)① 存在 .聯(lián)立 ? 解得 ?? ∴ A(? ,2? ),B(? ,2? ), ∴ 點 B(? ,2? )關(guān)于對稱軸 x=1的對稱點為 B39。(2? ,2? ). ∵∠ AGC=∠ BGC,∴ 點 B39。在直線 AG上 . 設(shè)直線 AB39。的方程為 y=kx+b(k≠ 0),由 ? 得 ? ∴ y=2? x+62? ,令 x=1,得 y=6,∴ G(1,6). ② 設(shè) P(m,2m), 22, 2 3,yxy x x??? ? ? ? ?? 11 3,2 3 ,xy? ??? ??? 22 3,2 3 ,xy? ???? ????3 3 3 33 3 3 32 3 3 ,2 3 (2 3 ) ,kbkb?? ? ? ???? ? ???2 3 ,6 2 3 ,kb? ???????3 3當(dāng)四邊形 OMPQ為平行四邊形時 ,則 Q(m+1,2m), ∵ 點 Q在拋物線 y=x2+2x+3上 ,∴ 2m=(m+1)2+2(m+1)+3,解得 m=1177。? , ∴ Q1(? ,22? ),Q2(? ,2+2? )。 當(dāng)四邊形 OMQP為平行四邊形時 ,則 Q(m1,2m), ∵ 點 Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=0或 2, ∴ Q3(1,4),Q4(1,0)(舍 )。 當(dāng) OM為平行四邊形對角線時 ,則 Q(1m,2m), ∵ 點 Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=2或 0, ∴ Q5(1,4),Q6(1,0)(舍 ). 綜上所述 :點 Q的坐標(biāo)為 (? ,22? )或 (? ,2+2? )或 (1,4). 55 5 5 55 5 5 57.(2022福建福州 ,27,13分 )已知 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)經(jīng)過原點 ,頂點為 A(h,k)(h≠ 0). (1)當(dāng) h=1,k=2時 ,求拋物線的解析式 。 (2)若拋物線 y=tx2(t≠ 0)也經(jīng)過 A點 ,求 a與 t之間的關(guān)系式 。 (3)當(dāng)點 A在拋物線 y=x2x上 ,且 2≤ h1時 ,求 a的取值范圍 . 解析 根據(jù)題意 ,拋物線的解析式可化為 y=a(xh)2+k(a≠ 0). (1)∵ h=1,k=2, ∴ y=a(x1)2+2, ∵ 該拋物線經(jīng)過原點 , ∴ a+2=0, 解得 a=2, ∴ y=2(x1)2+2,即 y=2x2+4x. (2)∵ 拋物線 y=tx2(t≠ 0)經(jīng)過點 A(h,k), ∴ k=th2. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+th2. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+th2(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+th2=0. ∵ h≠ 0, ∴ a=t. (3)∵ 點 A(h,k)在拋物線 y=x2x上 , ∴ k=h2h. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+h2h. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+h2h(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+h2h=0. ∵ h≠ 0, ∴ a=? 1. 分兩類討論 : ① 當(dāng) 2≤ h0時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? ≤ ? , ∴ a≤ ? 。 ② 當(dāng) 0h1時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? 1, ∴ a0. 綜上所述 ,a的取值范圍是 a≤ ? 或 a0. 1h1h 12321h328.(2022四川南充 ,25,10分 )如圖 ,拋物線與 x軸交于點 A(5,0)和點 B(3,0),與 y軸交于點 C(0,5).有一 寬度為 1,長度足夠的矩形 (陰影部分 )沿 x軸方向平移 ,與 y軸平行的一組對邊交拋物線于點 P和 Q,交直線 AC于點 M和 N,交 x軸于點 E和 F. (1)求拋物線解析式 。 (2)當(dāng)點 M和 N都在線段 AC上時 ,連接 MF,如果 sin∠ AMF=? ,求點 Q的坐標(biāo) 。 (3)在矩形的平移過程中 ,當(dāng)以點 P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時 ,求點 M的坐標(biāo) . ? 1010解析 (1)根據(jù)題意知 ,點 A(5,0),B(3,0)為拋物線與 x軸的交點 , 設(shè)拋物線解析式為 y=a(x+5)(x3). ∵ 拋物線過點 C(0,5),∴ a=? . ∴ 拋物線解析式為 y=? (x+5)(x3)=? x2? x+5. (2)作 FD⊥ AC于點 D,∵ OA=5,OC=5,∴∠ CAO=45176。. ? 設(shè) AF長為 m,則 DF=? m,ME=AE=m+1. 1313 13 2322∵ sin∠ AMF=? , ∴ MF=? =? =? m. 在△ MEF中 ,FM2=ME2+EF2, ∴ (? m)2=(m+1)2+12, 解得 m1=1,m2=? (不符合題意 ,舍去 ). ∴ AF=1,∴ 點 Q的橫坐標(biāo)為 4. 又點 Q在拋物線 y=? x2? x+5上 ,將 x=4代入 ,得 y=? , ∴ Q? . (3)設(shè)直線 AC的解析式為 y=kx+n(k≠ 0), 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 AC的解析式為 y=x+5. DFMFsin DFAMF?210210m? 551213 23 7374,3???????5 0,5,knn? ? ??? ?? 1, ??? ??由已知得 ,點 Q,N,F及點 P,M,E的橫坐標(biāo)分別相同 . 設(shè) F(t,0),E(t+1,0), ∵ 點 M,N在直線 y=x+5上 , ∴ N(t,t+5),M(t+1,t+6), ∵ 點 P,Q在拋物線 y=? x2? x+5上 , ∴ Q? ,P? . 在矩形平移過程中 ,以 P,Q,N,M為頂點的平行四邊形有兩種情況 : ① 點 Q,P在直線 AC同側(cè)時 ,QN=PM. ∴ ? (t+5)=? (t+6), 解得 t=3.∴ M(2,3). ② 點 Q,P在直線 AC異側(cè)時 ,QN=MP. ∴ ? (t+5)=(t+6)? , 解得 t1=3+? ,t2=3? , 13 23212,533t t t??? ? ????? 2141, 433t t t??? ? ? ?????212 533tt??? ? ????? 214 433tt??? ? ?????212 533tt??? ? ????? 214 433tt??? ? ?????6 6∴ M(2+? ,3+? )或 (2? ,3? ). 綜上所述 ,符合條件的點 M的坐標(biāo)為 (2,3),(2+? ,3+? )或 (2? ,3? ). 6 6 6 66 6 6 69.(2022四川綿陽 ,24,12分 )已知拋物線 y=x22x+a(a≠ 0)與 y軸相交于 A點 ,頂點為 M,直線 y=? xa 分別與 x軸、 y軸相交于 B、 C兩點 ,并且與直線 MA相交于 N點 . (1)若直線 BC和拋物線有兩個不同交點 ,求 a的取值范圍 ,并用 a表示交點 M、 A的坐標(biāo) 。 (2)將△ NAC沿著 y軸翻折 ,若點 N的對稱點 P恰好落在拋物線上 ,AP與拋物線的對稱軸相交于點 D,連接 CD,求 a的值及△ PCD的面積 。 (3)在拋物線 y=x22x+a(a0)上是否存在點 P,使得以 Q、 A、 C、 N為頂點的四邊形是平行四邊 形 ?若存在 ,求出點 Q的坐標(biāo) 。若不存在 ,請說明理由 . ? 12解析 (1)由題意聯(lián)立 ? 整理得 2x2+5x4a=0, 由 Δ=25+32a0,解得 a? .∵ a≠ 0,∴ a? 且 a≠ 0. 令 x=0,得 y=a,∴ A(0,a). 由 y=(x+1)2+1+a,得 M(1,1+a). (2)設(shè)直線 MA的解析式為 y=kx+b, 代入 A(0,a)、 M(1,1+a), 得 ? 解得 ? 故直線 MA的解析式為 y=x+a. 聯(lián)立 ? 解得 ? ∴ N? . 由于 P點是 N點關(guān)于 y軸的對稱點 ,∴ P? , 2 2,1 ,2y x x ay x a? ? ? ? ??? ????2532 2532,1,aba k b??? ? ? ? ?? 1,.kba???? ??,1 ,2y x ay x a? ? ???? ????4 ,3.3axay? ????? ????4 ,33aa???????4 ,33aa????????代入 y=x22x+a,得 ? =? a2+? a+a, 解得 a=? 或 a=0(舍去 ). ∴ A? 、 C? 、 M? ,∴ |AC|=? . ∴ S△ PCD=S△ PACS△ DAC=? |AC||xP|? |AC||xD| =? ? (31)=? . (3)① 當(dāng)點 Q在 y軸左側(cè)時 ,由四邊形 AQCN為平行四邊形 ,得 AC與 QN相互平分 ,則點 Q與 N關(guān)于原 點 (0,0)中心對稱 , 而 N? ,故 Q? . 3a 169 839490,4??????90, 4???????131,4???????9212 1212 92 924 ,33aa???????4 ,33aa???????? 代入 y=x22x+a,得 ? =? a2+? a+a,解得 a=? , ∴ Q? . ② 當(dāng)點 Q在 y軸右側(cè)時 ,由四邊形 ACQN為平行四邊形 ,得 NQ∥ AC且 NQ=AC,而 N? 、 A(0, a)、 C(0,a), 故 Q? . 3a 169 83 15855,28???????4 ,33aa???????47,33aa???????代入 y=x22x+a,得 ? =? a2? a+a,解得 a=? , ∴ Q? ,∴ 當(dāng)點 Q的坐標(biāo)為 ? 或 ? 時 ,A、 C、 Q、 N能構(gòu)成平行四邊形 . 73a 169 83 3817,28??????? 55,28???????17,28???????方法總結(jié) 在坐標(biāo)系中解決平行四邊形的問題時 ,需要將頂點的坐標(biāo)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì) 表示出來 ,再代入函數(shù)表達(dá)式中 . 10.(2022江蘇南京 ,24,8分 )已知二次函數(shù) y=x22mx+m2+3(m是常數(shù) ). (1)求證 :無論 m為何值 ,該函數(shù)的圖象與 x軸沒有公共點 。 (2)把該函數(shù)的圖象沿 y軸向下平移多少個單位長度后 ,得到的函數(shù)的圖象與 x軸只有一個公共 點 ? 解析 (1)證法一 :因為 (2m)24(m2+3)=120, 所以方程 x22mx+m2+3=0沒有實數(shù)根 . 所以無論 m為何值 ,函數(shù) y=x22mx+m2+3的圖象與 x軸沒有公共點 . 證法二 :因為 a=10,所以該函數(shù)的圖象開口向上 . 又因為 y=x22mx+m2+3=(xm)2+3≥ 3, 所以該函數(shù)的圖象在 x軸的上方 . 所以無論 m為何值 ,該函數(shù)的圖象與 x軸沒有公共點 . (2)y=x22mx+m2+3=(xm)2+3. 把函數(shù) y=(xm)2+3的圖象沿 y軸向下平移 3個單位長度后 ,得到函數(shù) y=(xm)2的圖象 ,它的頂點坐 標(biāo)是 (m,0),因此 ,這個函數(shù)的圖象與 x軸只有一個公共點 . 所以把函數(shù) y=x22mx+m2+3的圖象沿 y軸向下平移 3個單位長度后 ,得到的函數(shù)的圖象與 x軸只 有一個公共點 .