【正文】 全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等 可證△ ABO是等邊三角形 ,所以 AB=OA=OB=5。(2)當(dāng) PM⊥ AB時(shí) ,PM有最大值 ,根據(jù)垂徑定理可 得 AM=? AB=12,再根據(jù)勾股定理求得 OM=5,進(jìn)而由 PM≤ OM+OP=OM+OP39。=MP39。=18得解 。(3) 分別以 AB、 AC所在的直線為對(duì)稱軸 ,作出 P39。關(guān)于 AB的對(duì)稱點(diǎn)為 P39。1,關(guān)于 AC的對(duì)稱點(diǎn)為 P39。2,易得 △ P39。E39。F39。的周長(zhǎng)為 P39。1P39。2的長(zhǎng) ,根據(jù) P39。1P39。2=? AP39。,可知要使 P39。1P39。2最短 ,只要 AP39。最短 ,OA與 ? 交于 點(diǎn) P,此時(shí)使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長(zhǎng) ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長(zhǎng) ,進(jìn)而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 123 BC︵難點(diǎn)分析 本題難點(diǎn)在于第 (3)問(wèn)如何確定 P點(diǎn)的位置及何時(shí) PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題 ,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段 OA的長(zhǎng)度求出 AP的最小值 . 2.(2022陜西 ,25,12分 )問(wèn)題提出 (1)如圖① ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=12,若點(diǎn) O是△ ABC的內(nèi)心 ,則 OA的長(zhǎng)為 。 問(wèn)題探究 (2)如圖② ,在矩形 ABCD中 ,AB=12,AD= P是 AD邊上一點(diǎn) ,且 AP=3,那么 BC邊上是否存 在一點(diǎn) Q,使得線段 PQ將矩形 ABCD的面積平分 ?若存在 ,求出 PQ的長(zhǎng) 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 。 問(wèn)題解決 (3)某城市街角有一草坪 ,草坪是由△ ABM草地和弦 AB與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成 ,如圖 ③所示 .管理員王師傅在 M處的水管上安裝了一噴灌龍頭 ,以后 ,他想 ? 來(lái)給這塊草 坪澆水 ,并且在用噴灌龍頭澆水時(shí) ,既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水 ,又能節(jié)約用水 .于 是 ,他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于 ∠ AMB(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由 MA轉(zhuǎn)到 MB,然后再轉(zhuǎn)回 , 這樣往復(fù)噴灌 ),同時(shí) ,再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了 . 如圖③ ,已測(cè)出 AB=24 m,MB=10 m,△ AMB的面積為 96 m2。過(guò)弦 AB的中點(diǎn) D作 DE⊥ AB交 ? 于 點(diǎn) E,又測(cè)得 DE=8 m. 請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息 ,幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少為多少米時(shí) ,才能實(shí)現(xiàn)他的想 ??????只 用 噴 灌 龍 頭AB︵法 ,為什么 ?(結(jié)果保留根號(hào)或精確到 ) ? 解析 (1)4? .? (3分 ) (2)存在 .如圖 ,連接 AC、 BD,相交于點(diǎn) O,連接 PO并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn) Q,則線段 PQ將矩形 ABCD的 面積平分 .? (5分 ) ∵ 點(diǎn) O為矩形 ABCD的對(duì)稱中心 ,∴ CQ=AP=3. 過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ BC于點(diǎn) M,則 PM=AB=12,MQ=12. ∴ PQ=12? .? (6分 ) (3)如圖 ,作射線 ED交 AM于點(diǎn) C. ∵ AD=DB,DE⊥ AB,? 為劣弧 , ∴ ? 所在圓的圓心在射線 DC上 . 32AB︵AB︵? 假設(shè)圓心為 O,半徑為 r m,連接 OA,則 r2=122+(r8)2. 解之 ,得 r=13. ∴ OD=5.? (8分 ) 過(guò)點(diǎn) M作 MN⊥ AB,垂足為 N. ∵ S△ ABM=96,AB=24, ∴ MN=8,∵ MB=10,∴ NB=6,AN=18. 易得△ ADC∽ △ ANM,∴ ? =? .∴ DC=? .∴ ODCD. ∴ 點(diǎn) O在△ AMB內(nèi)部 .? (9分 ) ∴ 連接 MO并延長(zhǎng)交 ? 于點(diǎn) F,則 MF為草坪上的點(diǎn)到 M點(diǎn)的最大距離 . 在 ? 上任取一異于點(diǎn) F的點(diǎn) G,連接 GO,GM. 8DC1218 163AB︵AB︵有 MF=OM+OF=OM+OGMG. 即 MFMG.? (11分 ) 過(guò)點(diǎn) O作 OH⊥ MN,垂足為 H,則 OH=DN=6,MH=3. ∴ OM=3? . ∴ MF=OM+r=3? +13. ∴ 噴灌龍頭的射程至少為 (3? +13)米 (約為 ).? (12分 ) 555思路分析 (1)根據(jù)等邊三角形的軸對(duì)稱性和內(nèi)心可知 :△ ABC的內(nèi)心與外心重合 ,構(gòu)造直角三 角形運(yùn)用勾股定理求出 OA的長(zhǎng) 。(2)運(yùn)用矩形的中心對(duì)稱性可知 PQ一定經(jīng)過(guò)矩形 ABCD的對(duì)稱 中心 O,通過(guò)構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股定理可以求出 PQ的長(zhǎng) 。(3)一是根據(jù)圓的對(duì)稱性找出圓 心 ,運(yùn)用垂徑定理和勾股定理可求出該圓的半徑 ,二是利用相似判斷出點(diǎn) O與三角形 AMB的位 置關(guān)系 ,最后根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊”確定噴灌龍頭的最遠(yuǎn)射程為 MF的長(zhǎng) . 易錯(cuò)警示 本題容易出錯(cuò)的地方是第 (3)問(wèn) ,誤把 MA的長(zhǎng)當(dāng)作草坪上的點(diǎn)到點(diǎn) M的最大距離 . 3.(2022陜西 ,25,12分 ) 問(wèn)題提出 (1)如圖① ,已知△ △ ABC關(guān)于直線 AC對(duì)稱的三角形 . 問(wèn)題探究 (2)如圖② ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=6,AE=4,AF= BC、 CD上分別存在點(diǎn) G、 H,使 得四邊形 EFGH的周長(zhǎng)最小 ?若存在 ,求出它周長(zhǎng)的最小值 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 問(wèn)題解決 (3)如圖③ ,有一矩形板材 ABCD,AB=3米 ,AD=6米 .現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四 邊形 EFGH部件 ,使 ∠ EFG=90176。,EF=FG=? 米 ,∠ EHG=45176。.經(jīng)研究 ,只有當(dāng)點(diǎn) E、 F、 G分別在 邊 AD、 AB、 BC上 ,且 AFBF,并滿足點(diǎn) H在矩形 ABCD內(nèi)部或邊上時(shí) ,才有可能裁出符合要求 的部件 .試問(wèn)能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形 EFGH部件 ?若能 ,求出裁得的四邊形 EFGH部件的面積 。若不能 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 5解析 (1)如圖 ,△ ADC即為所畫 .? (2分 ) ? (2)存在 .理由如下 : 如圖 ,作點(diǎn) E關(guān)于 CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn) E39。,作點(diǎn) F關(guān)于 BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn) F39。,連接 E39。F39。,交 BC于 點(diǎn) G,交 CD于點(diǎn) H,連接 FG、 EH,則 F39。G=FG,E39。H=EH,所以此時(shí)四邊形 EFGH的周長(zhǎng)最小 .這是因 為 :在 BC上任取一點(diǎn) G39。,在 CD上任取一點(diǎn) H39。,則 FG39。+G39。H39。+H39。E=F39。G39。+G39。H39。+H39。E39?！?E39。F39。.? (4分 ) ? 由作圖及已知得 :BF39。=BF=AF=2,DE39。=DE=2, ∴ AF39。=6,AE39。= ∠ A=90176。, ∴ E39。F39。=10,又由已知可得 EF=2? ,? (6分 ) ∴ 四邊形 EFGH周長(zhǎng)的最小值 =EF+FG+GH+HE=EF+E39。F39。=2? +10. ∴ 在 BC、 CD上分別存在點(diǎn) G、 H,使四邊形 EFGH的周長(zhǎng)最小 ,最小值是 2? +10.? (7分 ) (3)能裁得 .? (8分 ) 理由如下 :如圖 ,∵ EF=FG=? ,∠ EFG=90176。,∠ A=∠ B=90176。,且易知 ∠ 1=∠ 2, ∴ △ AEF≌ △ BFG. ∴ AF=BG,AE=BF. 設(shè) AF=x,則 AE=BF=3x. ∴ x2+(3x)2=(? )2. 解之 ,得 x=1或 x=2(舍去 ). ∴ AF=BG=1,BF=AE=2.? (9分 ) ∴ DE=4,CG=5. 55555連接 EG,作△ EFG關(guān)于 EG所在直線的對(duì)稱△ EOG,則四邊形 EFGO為正方形 ,∠ EOG=90176。. 以點(diǎn) O為圓心 ,OE長(zhǎng)為半徑作☉ O,則使 ∠ EHG=45176。的點(diǎn) H在☉ O上 . 連接 FO,并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) H39。,則點(diǎn) H39。在 EG中垂線上 . 連接 EH39。、 GH39。,則 ∠ EH39。G=45176。. ? 此時(shí) ,四邊形 EFGH39。是要想裁得的四邊形 EFGH中面積最大的 . 連接 CE,則 CE=CG=5. ∴ 點(diǎn) C在線段 EG的中垂線上 . ∴ 點(diǎn) F、 O、 H39。、 C在一條直線上 . 又 ∵ EG=? ,∴ FO=EG=? . 10 10又知 CF=2? ,∴ OC=? . 又 ∵ OH39。=OE=FG=? ,∴ OH39。OC. ∴ 點(diǎn) H39。在矩形 ABCD的內(nèi)部 .? (11分 ) ∴ 可以在矩形板材 ABCD中 ,裁得符合條件的面積最大的四邊形 EFGH39。部件 ,這個(gè)部件的面積 = ? EGFH39。=? ? (? +? )=5+? . ∴ 當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形 EFGH39。時(shí) ,裁得了符合條件的最大部件 ,這個(gè)部件的面積為 ? m2.? (12分 ) 10 10512 1210 10 5 522525 2?????