【正文】 2 1kx??12 132?2 1kx??PMOM nm?52 1kx?2 2② 當(dāng) k=1時(shí) ,不等式 kx+? 0的解集為 x0. 2 1kx?12.(2022湖北黃岡 ,23,12分 )月電科技有限公司用 160萬(wàn)元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用 ,成功研制出 了一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品 ,已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷(xiāo)售 .已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4元 /件 ,在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn) :每年的年銷(xiāo)售量 y(萬(wàn)件 )與銷(xiāo)售價(jià)格 x(元 /件 )的關(guān)系如圖所示 ,其中 AB為反比例函數(shù)圖象的一部分 ,BC為一次函數(shù)圖象的一部分 .設(shè)公司銷(xiāo)售這種電子產(chǎn)品的年 利潤(rùn)為 z(萬(wàn)元 ).(注 :若上一年盈利 ,則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn) 。 (2)設(shè)點(diǎn) P(m,n)(m0)是其圖象上的一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ x軸于點(diǎn) M,若 tan∠ POM=2,PO=? (O為 坐標(biāo)原點(diǎn) ),求 k的值 ,并直接寫(xiě)出不等式 kx+? 0的解集 . 2 1kx??113,2 y??????? 21 ,2 y???????52 1kx?解析 (1)∵ k210, ∴ 反比例函數(shù) y=? 在每個(gè)象限內(nèi) y隨 x的增大而增大 , 又 ∵ ? ? 0, ∴ y1y2. (2)∵ 點(diǎn) P(m,n)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且 m0,∴ n0, ∴ OM=m,PM=n, ∵ tan∠ POM=2,∴ ? =? =2, ∴ n=2m, 又 ∵ PO=? ,∴ m2+n2=5, ∴ m=1,n=2, ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,2),∴ k21=2, 解得 k=177。,∴∠ C=∠ AOD. ∴ tan C=tan∠ AOD=? =? =2. ADOD21思路分析 (1)先把 A(1,a)代入 y=2x得 a的值 ,再利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式 ,然后解 方程組 ? 得點(diǎn) B的坐標(biāo) 。 (2)求 tan C的值 . ? kx解析 (1)∵ y=2x的圖象經(jīng)過(guò) A(1,a), ∴ a=21=2. ∵ 點(diǎn) A(1,2)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ k=12=2. 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(1,2). (2)設(shè) AC交 x軸于點(diǎn) D, ? ∵ A(1,2),AC∥ y軸 , kx2,2 ,yxy x???? ???1,2xy ??? ??1, ???? ???∴ OD=1,AD=2,∠ ADO=90176。② 由題意可知點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (t,t+2), 把點(diǎn) C的坐標(biāo)代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m 8n 28m?????? 28n???????方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合問(wèn)題的最常用的方法是由點(diǎn)的坐標(biāo)求相關(guān)線(xiàn) 段的長(zhǎng)度 ,用相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)的坐標(biāo) . 10.(2022江西 ,17,6分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象與正比例函數(shù) y=2x的圖象相交于 A(1,a),B兩點(diǎn) ,點(diǎn) C在第四象限 ,CA∥ y軸 ,∠ ABC=90176。 ② 若雙曲線(xiàn) y=? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,求 t的值 。 (2)在平面內(nèi)有點(diǎn) D,使得以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ,試寫(xiě)出符合條件的所有 D點(diǎn)的坐標(biāo) . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過(guò)點(diǎn) A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 6, ∵ 點(diǎn) B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點(diǎn) B的縱坐標(biāo)為 2. ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線(xiàn)段 BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (6,1),該點(diǎn)是線(xiàn)段 AD3 的中點(diǎn) ,所以點(diǎn) D3的坐標(biāo)為 (9,2).故 D點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12x12x1269.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點(diǎn) A(a,m)在雙曲線(xiàn) y=? 上且 m0,過(guò)點(diǎn) A作 x軸的垂線(xiàn) ,垂足為 B. (1)如圖 1,當(dāng) a=2時(shí) ,P(t,0)是 x軸上的動(dòng)點(diǎn) ,將點(diǎn) B繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。yB=k,∴ xB=3xA. 由題意可知 C點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0),則 CF=2xB,CE=2xA, ∵ ? =? ,∴ 2xA=3(2xB), 又 ∵ xB=3xA,∴ 2xA=3(23xA),解得 xA=? . 把 xA=? 代入 y=2x+4,得 yA=3, 13CFCE131212∴ A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ,∴ k=? 3=? . 1 ,32??????12 327.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,0), 與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。AD=? . ? 1x 12 12,2??????1x1 ,22?????? 12, 2????????1 ,22????????22112222? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?32222112222? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?522152解題思路 本題主要結(jié)合雙曲線(xiàn)和矩形的對(duì)稱(chēng)性求出 B,C,D的坐標(biāo) ,再用兩點(diǎn)之間的距離公式 求出矩形的長(zhǎng)和寬 ,即可求矩形的面積 . 6.(2022新疆烏魯木齊 ,14,4分 )如圖 ,直線(xiàn) y=2x+4與雙曲線(xiàn) y=? 交于 A,B兩點(diǎn) ,與 x軸交于點(diǎn) C,若 AB=2BC,則 k= . ? kx答案 ? 32解析 過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ x軸 ,垂足為 E,過(guò)點(diǎn) B作 BF⊥ x軸 ,垂足為 F,∴ AE∥ BF,∴ △ CBF∽ △ CAE, ∴ ? =? =? , ∵ AB=2BC,∴ ? =? =? , BCACBFAE CFCEBFAE CFCE13∴ yB=? yA,∵ xA,由 A,B兩 點(diǎn)的坐標(biāo)確定平移方向和距離是突破點(diǎn) ,再把點(diǎn) P進(jìn)行相同的平移可以求出點(diǎn) P39。的坐標(biāo) ,代入 y=? ,得出關(guān)于 k的方程 ,解之得 k值 . kx疑難突破 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐 標(biāo)特征、矩形的性質(zhì) ,難點(diǎn)是 P39。,聯(lián)立直線(xiàn) AB及 雙曲線(xiàn)解析式得方程組 ,即可求出點(diǎn) A,點(diǎn) B的坐標(biāo) ,由 PQ的長(zhǎng)度以及對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn) P的坐標(biāo) ,根 據(jù)平移的性質(zhì)得 AB=PP39。交雙曲線(xiàn)在第一象限的一支于點(diǎn) P39。在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,∴ xy=k,代入得 ?? =k,解得 k=? . kx32 22 k????????32 22 k???????32思路分析 以 PQ為邊 ,作矩形 P39。的距離相同 ,A點(diǎn)向右平移 2? 個(gè)單位 ,向上平移 2? 個(gè)單位得 到 B,∴ P39。,聯(lián)立得 ? 得 x2=k, ∴ x=177。交雙曲線(xiàn)在第一象限的一支于點(diǎn) P39。,且△ ABC為等腰直角三角形是解本題 的關(guān)鍵 . 4.(2022四川成都 ,25,4分 )設(shè)雙曲線(xiàn) y=? (k0)與直線(xiàn) y=x交于 A,B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在第三象限 ),將雙曲 線(xiàn)在第一象限的一支沿射線(xiàn) BA的方向平移 ,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,將雙曲線(xiàn)在第三象限的一支沿射線(xiàn) AB的方向平移 ,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,平移后的兩條曲線(xiàn)相交于 P,Q兩點(diǎn) ,此時(shí)我們稱(chēng)平移后的兩條曲 線(xiàn)所圍部分 (如圖中陰影部分 )為雙曲線(xiàn)的“眸” ,PQ為雙曲線(xiàn)的“眸徑” ,當(dāng)雙曲線(xiàn) y=? (k0) 的眸徑為 6時(shí) ,k的值為 . ? kxkx答案 ? 32解析 如圖所示 ,以 PQ為邊 ,作矩形 P39。AC,又因?yàn)?OB=? AC,進(jìn)而求得 OB2 OB=BEBE=3. 32 x 32 x34 3212 12 12 12思路分析 根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn) A、 C在雙曲線(xiàn) y=? 上 ,點(diǎn) B在雙曲線(xiàn) y=? 上 ,由反比例 函數(shù) y=? 中 k的幾何意義得 S△ ABC=2|k|=3,即 S△ ABC=? BEAC=? BE? ,∴ m=? . ∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ,∴ k=5,故選 D. 12 452152 154151, 4m???????kx154m???????5454,4??????思路分析 根據(jù) A、 B的橫坐標(biāo)求出 BD的長(zhǎng) ,利用菱形的面積公式求出 AC的長(zhǎng) ,設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo) 為 (4,m),用 m表示出點(diǎn) A的坐標(biāo) ? .利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積為 k構(gòu)造方 程求出 m,進(jìn)而求出 k. 151, 4m???????2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,19,3分 )以矩形 ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,以平行于兩邊的直 線(xiàn)為坐標(biāo)軸 ,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ,BE⊥ AC,垂足為 y=? (x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) D, 則 OB (2)求反比例函數(shù)的解析式 . ? kx43解析 (1)m+2.? (2分 ) (2)∵ CD=? , ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? . ∵ 點(diǎn) A(m,4),點(diǎn) D? 在函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ 4m=? (m+2). ∴ m=1.? (5分 ) ∴ k=4m=41=4.? (6分 ) ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (7分 ) 4342,3m???????42,3m???????kx434x考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022重慶 ,11,4分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,菱形 ABCD的頂點(diǎn) A,B在反比例函數(shù) y=? (k 0,x0)的圖象上 ,橫坐標(biāo)分別為 1,4,對(duì)角線(xiàn) BD∥ x軸 .若菱形 ABCD的面積為 ? ,則 k的值為 ? ( ) ? A.? B.? kx45254 154答案 D 連接 AC,設(shè) AC與 BD、 x軸分別交于點(diǎn) E、 F. ? 已知 A、 B的橫坐標(biāo)分別為 1,4,∴ BE=3,∴ BD=6. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ S菱