【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =3,m2=? , 當(dāng) m=3時(shí) ,M、 P、 N重合 ,不符合題意 ,舍去 .故 m=? . (ii)當(dāng) ? ≤ m0時(shí) ,MN=? m2+? m+2,PM=? m+2, 此時(shí)只可能 N是 PM的中點(diǎn) ,即 PM=2MN, ∴ ? m+2=2? , 43 103 1243 1032343 1032 23 m????????121212 43 103 232324 10 233mm??? ? ?????解得 m1=3(舍去 ),m2=? . (iii)當(dāng) m? 時(shí) ,PM=? m+2, MN=? m2? m2, 此時(shí)只可能 M是 PN的中點(diǎn) ,即 PM=MN, ∴ ? m+2=? m2? m2, 解得 m1=3(舍去 ),m2=1. (iv)當(dāng) m3時(shí) ,PM=? m2, MN=? m2? m2, 此時(shí)只可能 P是 MN的中點(diǎn) ,即 MN=2PM, ∴ ? m2? m2=2? , 解得 m1=? ,m2=3, ∵ m1=? ,m2=3都不滿足 m3,∴ 舍去 . 1412 2343 10323 43 1032343 10343 1032 23 m???????1212綜上所述 ,m=1或 m=? 或 m=? . 14 12失分警示 (2)問(wèn)中①分 ∠ NBP=90176。和 ∠ BNP=90176。兩種情況求點(diǎn) M的坐標(biāo) ,② 分 m? ,? ≤ m0,0≤ m≤ 3,m3四種情況求 m的值 .做題時(shí)考慮不全面 ,易失分 。 ,一定要注 意端點(diǎn)的位置和坐標(biāo)的符號(hào) . 12 125.(2022北京 ,27,7分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=mx22mx+m1(m0)與 x軸的交點(diǎn)為 A,B. (1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 。 (2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn) . ① 當(dāng) m=1時(shí) ,求線段 AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù) 。 ② 若拋物線在點(diǎn) A,B之間的部分與線段 AB所圍成的區(qū)域內(nèi) (包括邊界 )恰有 6個(gè)整點(diǎn) ,結(jié)合函數(shù) 的圖象 ,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)y=mx22mx+m1=m(x1)21. ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,1). (2)① 當(dāng) m=1時(shí) ,拋物線的表達(dá)式為 y=x22x. 令 y=0,解得 x1=0,x2=2. ∴ 線段 AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 3. ② 當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,0)時(shí) ,m=? . 當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2,0)時(shí) ,m=? . 結(jié)合函數(shù)的圖象可知 ,m的取值范圍為 ? m≤ ? . 141919 146.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,邊長(zhǎng)為 8的正方形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上 ,以點(diǎn) C為頂點(diǎn)的拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,點(diǎn) P是拋物線上點(diǎn) A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (含端點(diǎn) ),過(guò)點(diǎn) P作 PF⊥ BC于點(diǎn) D,E的坐標(biāo)分 別為 (0,6),(4,0),連接 PD,PE,DE. (1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式 。 (2)小明探究點(diǎn) P的位置發(fā)現(xiàn) :當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn) A或點(diǎn) C重合時(shí) ,PD與 PF的差為定值 .進(jìn)而猜想 :對(duì)于任 意一點(diǎn) P,PD與 PF的差為定值 .請(qǐng)你判斷該猜想是否正確 ,并說(shuō)明理由 。 (3)小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論 :若將“使△ PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn) P記作“好點(diǎn)” ,則存在多 個(gè)“好點(diǎn)” ,且使△ PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) P也是一個(gè)“好點(diǎn)” . 請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù) ,并求出△ PDE周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo) . ? ? 備用圖 解析 (1)拋物線的解析式為 y=? x2+8.? (3分 ) (2)正確 .理由 : 設(shè) P? ,則 PF=8? =? x2.? (4分 ) 過(guò)點(diǎn) P作 PM⊥ y軸于點(diǎn) M,則 PD2=PM2+DM2=(x)2+? =? x4+? x2+4=? . ∴ PD=? x2+2.? (6分 ) ∴ PDPF=? x2+2? x2=2.∴ 猜想正確 .? (7分 ) (3)“好點(diǎn)”共有 11個(gè) .? (9分 ) 在點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)時(shí) ,DE大小不變 ,∴ 當(dāng) PE與 PD的和最小時(shí) ,△ PDE的周長(zhǎng)最小 . ∵ PDPF=2,∴ PD=PF+2,∴ PE+PD=PE+PF+2. 當(dāng) P,E,F三點(diǎn)共線時(shí) ,PE+PF最小 . 此時(shí)點(diǎn) P,E的橫坐標(biāo)都為 4. 1821,88xx???????? 21 88 x????????18221688 x????? ? ?????????164 12 221 28 x???????1818 18將 x=4代入 y=? x2+8,得 y=6. ∴ P(4,6),此時(shí)△ PDE的周長(zhǎng)最小 ,且△ PDE的面積為 12,點(diǎn) P恰為“好點(diǎn)” . ∴ △ PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為 (4,6).? (11分 ) 【 提示 】△ PDE的面積 S=? x23x+4=? (x+6)2+ 8≤ x≤ 0,知 4≤ S≤ 13,所以 S的整數(shù)值有 1 0個(gè) .由函數(shù)圖象知 ,當(dāng) S=12時(shí) ,對(duì)應(yīng)的“好點(diǎn)”有 2個(gè) .所以“好點(diǎn)”共有 11個(gè) . 1814 147.(2022山東濰坊 ,23,9分 )工人師傅用一塊長(zhǎng)為 10 dm,寬為 6 dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng) 方體容器 ,需要將四角各裁掉一個(gè)正方形 .(厚度不計(jì) ) (1)在圖中畫(huà)出裁剪示意圖 ,用實(shí)線表示裁剪線 ,虛線表示折痕 。并求長(zhǎng)方體底面面積為 12 dm2 時(shí) ,裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大 。 (2)若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍 ,并將容器進(jìn)行防銹處理 ,側(cè)面每平方分 米的費(fèi)用為 ,底面每平方分米的費(fèi)用為 2元 ,裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí) ,總費(fèi)用最低 ,最低為 多少 ? ? 解析 (1)如圖所示 : ? (2分 ) 設(shè)裁掉的正方形邊長(zhǎng)為 x dm, 由題意可得 (102x)(62x)=12,? (3分 ) 即 x28x+12=0, 解得 x1=2或 x2=6(舍去 ).? (4分 ) 所以當(dāng)長(zhǎng)方體底面面積為 12 dm2時(shí) ,裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為 2 dm.? (5分 ) (2)由題意得 ,102x≤ 5(62x), 所以 0x≤ .? (6分 ) 設(shè)總費(fèi)用為 w元 ,由題意可知 , w=2x(164x)+2(102x)(62x)? (7分 ) =4x248x+120 =4(x6)224.? (8分 ) 因?yàn)樵摱魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線 x=6,開(kāi)口向上 , 所以當(dāng) 0x≤ ,w隨 x的增大而減小 , 所以當(dāng) x= ,w取最小值 ,wmin=25. 所以當(dāng)裁掉的正方形邊長(zhǎng)為 dm時(shí) ,總費(fèi)用最低 ,最低為 25元 .? (9分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn) 二次函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022遼寧沈陽(yáng) ,15,3分 )某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為 20元的日用商品 ,如果以單價(jià) 30元銷售 ,那么 半月內(nèi)可銷售出 400件 .根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn) ,提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少 ,且銷售單價(jià)每提高 1 元 ,銷售量相應(yīng)減少 20件 .當(dāng)銷售單價(jià)是 元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn) . 答案 35 解析 設(shè)銷售單價(jià)為 x元 ,半月內(nèi)的利潤(rùn)為 y元 ,由題意知 y=(x20)[40020(x30)]=(x20)(1 00020 x)=20x2+1 400x20 000=20(x35)2+4 500. ∵ 200,∴ 拋物線開(kāi)口向下 , ∴ 當(dāng) x=35時(shí) ,y取得最大值 , 即銷售單價(jià)是 35元時(shí) ,才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn) . 2.(2022江西 ,21,9分 )某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧 ,幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚 .到了收獲 季節(jié) ,已知該蜜柚的成本價(jià)為 8元 /千克 ,投入市場(chǎng)銷售時(shí) ,調(diào)查市場(chǎng)行情 ,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會(huì)虧 本 ,且每天銷售量 y(千克 )與銷售單價(jià) x(元 /千克 )之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 . (1)求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式 ,并寫(xiě)出 x的取值范圍 。 (2)當(dāng)該品種蜜柚定價(jià)為多少時(shí) ,每天銷售獲得的利潤(rùn)最大 ?最大利潤(rùn)是多少 ? (3)某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚 4 800千克 ,該品種蜜柚的保質(zhì)期為 40天 ,根據(jù) (2)中獲得最大利潤(rùn)的 方式進(jìn)行銷售 ,能否銷售完這批蜜柚 ?請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)設(shè) y與 x的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b(k≠ 0), 將 (10,200)和 (15,150)代入 ,得 ? 解得 ? ∴ y與 x的函數(shù)關(guān)系式為 y=10x+300. 由 10x+300≥ 0,得 x≤ 30, ∴ x的取值范圍為 8≤ x≤ 30. (2)設(shè)該品種蜜柚定價(jià)為 x元 /千克時(shí) ,每天銷售獲得的利潤(rùn)為 W元 ,依題意 ,得 W=(x8)(10x+300) =10(x19)2+1 210, ∵ 100,∴ 當(dāng) x=19時(shí) ,W最大值 =1 210. 因此 ,該品種蜜柚定價(jià)為 19元 /千克時(shí) ,每天銷售獲得的利潤(rùn)最大 ,最大利潤(rùn)為 1 210 元 . (3)不能 . 理由 :按 (2)中每天獲得最大利潤(rùn)的方式銷售 , 由 (1)得 y=1019+300=110, ∵ 11040=4 4004 800, 10 200,15 150,kbkb???? ??? 1 0 , ???? ??∴ 該農(nóng)戶不能銷售完這批蜜柚 . 思路分析 (1)利用待定系數(shù)法求出 y與 x的函數(shù)關(guān)系式 ,根據(jù)蜜柚銷售不會(huì)虧本及銷售量不能 為負(fù)求得 x的取值范圍 。(2)根據(jù)“總利潤(rùn) =單件利潤(rùn) 銷售量”列出函數(shù)解析式 ,并配方成頂點(diǎn) 式即可得出最大利潤(rùn) 。 (3)根據(jù) (2)中獲得最大利潤(rùn)的方式進(jìn)行銷售 (即 x=19),求出 40天的總銷售量 ,與 4 800比較即可得 出答案 . 方法指導(dǎo) 用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問(wèn)題的一般步驟 :(1)設(shè)出實(shí)際問(wèn)題中的變量 。(2)建立函 數(shù)關(guān)系式 。(3)利用待定系數(shù)法或根據(jù)題意分析列等式求出函數(shù)關(guān)系式 。(4)確定自變量取值范 圍 。(5)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值 ,對(duì)所得最值進(jìn)行檢驗(yàn) ,是否符合實(shí)際意義 . 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,23,10分 )某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為 16米的矩形廣告牌 ,廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每 平方米 2 000元 ,設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為 x米 ,面積為 S平方米 . (1)求 S與 x之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍 。 (2)設(shè)計(jì)費(fèi)能達(dá)到 24 000元嗎 ?為什么 ? (3)當(dāng) x是多少米時(shí) ,設(shè)計(jì)費(fèi)最多 ?最多是多少元 ? 解析 (1)∵ 矩形的周長(zhǎng)為 16米 ,一邊長(zhǎng)為 x米 , ∴ 其鄰邊長(zhǎng)為 (8x)米 . ∴ S=x(8x)=x2+8x. 其中 ,0x8.? (3分 ) (2)能 .理由如下 : ∵ 設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米 2 000元 , ∴ 當(dāng)設(shè)計(jì)費(fèi)為 24 000元時(shí) ,面積為 24 000247。2 000=12(平方米 ), 令 x2+8x=12, 解得 x1=2,x2=6. ∴ 設(shè)計(jì)費(fèi)能達(dá)到 24 000元 .? (6分 ) (3)∵ S=x2+8x=(x4)2+16, ∴ 當(dāng) x=4時(shí) ,S取得最大值 ,且 Smax=16. 162 000=32 000(元 ). ∴ 當(dāng) x是 4米時(shí) ,設(shè)計(jì)費(fèi)最多 ,最多是 32 000元 .? (10分 ) 思路分析 (1)一邊長(zhǎng)為 x米 ,用 x表示出其鄰邊的長(zhǎng) ,從而可求 S與 x的關(guān)系式 。(2)根據(jù)設(shè)計(jì)費(fèi)求 出面積 ,代入解析式能求出符合題意的邊長(zhǎng) ,所以答案是肯定的 。(3)把解析式表示成頂點(diǎn)式 ,求 出最大面積 ,進(jìn)而求出最多的設(shè)計(jì)費(fèi) . 方法規(guī)律 用函數(shù)探究實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題一般有兩種方法 :一種是列出一次函數(shù)解析式 , 分析自變量的取值范圍 ,得出最值 。另一種是建立二次函數(shù)模型 ,列出二次函數(shù)關(guān)系式 ,整理成 頂點(diǎn)式 ,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于 0時(shí) ,有最大值 ,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ,自變量的取值即為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) 。當(dāng) 二次項(xiàng)系數(shù)大于 0時(shí) ,有最小值 ,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ,自變量的取值即為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) . 4.(2022湖北黃岡 ,23,12分 )月電科技有限公司用 160萬(wàn)元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用 ,成功研制出了 一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品 ,已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售 .已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4 元 /件 ,在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn) :每年的年銷售量 y(萬(wàn)件 )與銷售價(jià)格 x(元 /件 )的關(guān)系如圖所示 ,其中 AB 為反比例函數(shù)圖象的一部分 ,BC為一次函數(shù)圖象的一部分 .設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn) 為 z(萬(wàn)元 ).(注 :若上一年盈利 ,則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn) 。若上一年虧損 ,則虧損計(jì)作下一年 的成本 ) ? (1)請(qǐng)求出 y(萬(wàn)件 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關(guān)系式 。 (2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn) z(萬(wàn)元 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并求出第一年年 利潤(rùn)的最大值 。 (3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤(rùn) z(萬(wàn)元 )取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售 ,現(xiàn)根據(jù)第一 年的盈虧情況 ,決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格 x(元 )定在 8元以上 (x8),當(dāng)?shù)诙? 的年利潤(rùn)不低于 103萬(wàn)元時(shí) ,請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn) z(萬(wàn)