【文章內容簡介】 =3,m2=? , 當 m=3時 ,M、 P、 N重合 ,不符合題意 ,舍去 .故 m=? . (ii)當 ? ≤ m0時 ,MN=? m2+? m+2,PM=? m+2, 此時只可能 N是 PM的中點 ,即 PM=2MN, ∴ ? m+2=2? , 43 103 1243 1032343 1032 23 m????????121212 43 103 232324 10 233mm??? ? ?????解得 m1=3(舍去 ),m2=? . (iii)當 m? 時 ,PM=? m+2, MN=? m2? m2, 此時只可能 M是 PN的中點 ,即 PM=MN, ∴ ? m+2=? m2? m2, 解得 m1=3(舍去 ),m2=1. (iv)當 m3時 ,PM=? m2, MN=? m2? m2, 此時只可能 P是 MN的中點 ,即 MN=2PM, ∴ ? m2? m2=2? , 解得 m1=? ,m2=3, ∵ m1=? ,m2=3都不滿足 m3,∴ 舍去 . 1412 2343 10323 43 1032343 10343 1032 23 m???????1212綜上所述 ,m=1或 m=? 或 m=? . 14 12失分警示 (2)問中①分 ∠ NBP=90176。和 ∠ BNP=90176。兩種情況求點 M的坐標 ,② 分 m? ,? ≤ m0,0≤ m≤ 3,m3四種情況求 m的值 .做題時考慮不全面 ,易失分 。 ,一定要注 意端點的位置和坐標的符號 . 12 125.(2022北京 ,27,7分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=mx22mx+m1(m0)與 x軸的交點為 A,B. (1)求拋物線的頂點坐標 。 (2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點 . ① 當 m=1時 ,求線段 AB上整點的個數(shù) 。 ② 若拋物線在點 A,B之間的部分與線段 AB所圍成的區(qū)域內 (包括邊界 )恰有 6個整點 ,結合函數(shù) 的圖象 ,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)y=mx22mx+m1=m(x1)21. ∴ 拋物線的頂點坐標為 (1,1). (2)① 當 m=1時 ,拋物線的表達式為 y=x22x. 令 y=0,解得 x1=0,x2=2. ∴ 線段 AB上整點的個數(shù)為 3. ② 當拋物線經(jīng)過點 (1,0)時 ,m=? . 當拋物線經(jīng)過點 (2,0)時 ,m=? . 結合函數(shù)的圖象可知 ,m的取值范圍為 ? m≤ ? . 141919 146.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,邊長為 8的正方形 OABC的兩邊在坐標軸上 ,以點 C為頂點的拋物線 經(jīng)過點 A,點 P是拋物線上點 A,C間的一個動點 (含端點 ),過點 P作 PF⊥ BC于點 D,E的坐標分 別為 (0,6),(4,0),連接 PD,PE,DE. (1)請直接寫出拋物線的解析式 。 (2)小明探究點 P的位置發(fā)現(xiàn) :當點 P與點 A或點 C重合時 ,PD與 PF的差為定值 .進而猜想 :對于任 意一點 P,PD與 PF的差為定值 .請你判斷該猜想是否正確 ,并說明理由 。 (3)小明進一步探究得出結論 :若將“使△ PDE的面積為整數(shù)”的點 P記作“好點” ,則存在多 個“好點” ,且使△ PDE的周長最小的點 P也是一個“好點” . 請直接寫出所有“好點”的個數(shù) ,并求出△ PDE周長最小時“好點”的坐標 . ? ? 備用圖 解析 (1)拋物線的解析式為 y=? x2+8.? (3分 ) (2)正確 .理由 : 設 P? ,則 PF=8? =? x2.? (4分 ) 過點 P作 PM⊥ y軸于點 M,則 PD2=PM2+DM2=(x)2+? =? x4+? x2+4=? . ∴ PD=? x2+2.? (6分 ) ∴ PDPF=? x2+2? x2=2.∴ 猜想正確 .? (7分 ) (3)“好點”共有 11個 .? (9分 ) 在點 P運動時 ,DE大小不變 ,∴ 當 PE與 PD的和最小時 ,△ PDE的周長最小 . ∵ PDPF=2,∴ PD=PF+2,∴ PE+PD=PE+PF+2. 當 P,E,F三點共線時 ,PE+PF最小 . 此時點 P,E的橫坐標都為 4. 1821,88xx???????? 21 88 x????????18221688 x????? ? ?????????164 12 221 28 x???????1818 18將 x=4代入 y=? x2+8,得 y=6. ∴ P(4,6),此時△ PDE的周長最小 ,且△ PDE的面積為 12,點 P恰為“好點” . ∴ △ PDE的周長最小時“好點”的坐標為 (4,6).? (11分 ) 【 提示 】△ PDE的面積 S=? x23x+4=? (x+6)2+ 8≤ x≤ 0,知 4≤ S≤ 13,所以 S的整數(shù)值有 1 0個 .由函數(shù)圖象知 ,當 S=12時 ,對應的“好點”有 2個 .所以“好點”共有 11個 . 1814 147.(2022山東濰坊 ,23,9分 )工人師傅用一塊長為 10 dm,寬為 6 dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長 方體容器 ,需要將四角各裁掉一個正方形 .(厚度不計 ) (1)在圖中畫出裁剪示意圖 ,用實線表示裁剪線 ,虛線表示折痕 。并求長方體底面面積為 12 dm2 時 ,裁掉的正方形邊長多大 。 (2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍 ,并將容器進行防銹處理 ,側面每平方分 米的費用為 ,底面每平方分米的費用為 2元 ,裁掉的正方形邊長多大時 ,總費用最低 ,最低為 多少 ? ? 解析 (1)如圖所示 : ? (2分 ) 設裁掉的正方形邊長為 x dm, 由題意可得 (102x)(62x)=12,? (3分 ) 即 x28x+12=0, 解得 x1=2或 x2=6(舍去 ).? (4分 ) 所以當長方體底面面積為 12 dm2時 ,裁掉的正方形的邊長為 2 dm.? (5分 ) (2)由題意得 ,102x≤ 5(62x), 所以 0x≤ .? (6分 ) 設總費用為 w元 ,由題意可知 , w=2x(164x)+2(102x)(62x)? (7分 ) =4x248x+120 =4(x6)224.? (8分 ) 因為該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x=6,開口向上 , 所以當 0x≤ ,w隨 x的增大而減小 , 所以當 x= ,w取最小值 ,wmin=25. 所以當裁掉的正方形邊長為 dm時 ,總費用最低 ,最低為 25元 .? (9分 ) C組 教師專用題組 考點 二次函數(shù)的應用 1.(2022遼寧沈陽 ,15,3分 )某商場購進一批單價為 20元的日用商品 ,如果以單價 30元銷售 ,那么 半月內可銷售出 400件 .根據(jù)銷售經(jīng)驗 ,提高銷售單價會導致銷售量的減少 ,且銷售單價每提高 1 元 ,銷售量相應減少 20件 .當銷售單價是 元時 ,才能在半月內獲得最大利潤 . 答案 35 解析 設銷售單價為 x元 ,半月內的利潤為 y元 ,由題意知 y=(x20)[40020(x30)]=(x20)(1 00020 x)=20x2+1 400x20 000=20(x35)2+4 500. ∵ 200,∴ 拋物線開口向下 , ∴ 當 x=35時 ,y取得最大值 , 即銷售單價是 35元時 ,才能在半月內獲得最大利潤 . 2.(2022江西 ,21,9分 )某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧 ,幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚 .到了收獲 季節(jié) ,已知該蜜柚的成本價為 8元 /千克 ,投入市場銷售時 ,調查市場行情 ,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧 本 ,且每天銷售量 y(千克 )與銷售單價 x(元 /千克 )之間的函數(shù)關系如圖所示 . (1)求 y與 x的函數(shù)關系式 ,并寫出 x的取值范圍 。 (2)當該品種蜜柚定價為多少時 ,每天銷售獲得的利潤最大 ?最大利潤是多少 ? (3)某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚 4 800千克 ,該品種蜜柚的保質期為 40天 ,根據(jù) (2)中獲得最大利潤的 方式進行銷售 ,能否銷售完這批蜜柚 ?請說明理由 . ? 解析 (1)設 y與 x的函數(shù)關系式為 y=kx+b(k≠ 0), 將 (10,200)和 (15,150)代入 ,得 ? 解得 ? ∴ y與 x的函數(shù)關系式為 y=10x+300. 由 10x+300≥ 0,得 x≤ 30, ∴ x的取值范圍為 8≤ x≤ 30. (2)設該品種蜜柚定價為 x元 /千克時 ,每天銷售獲得的利潤為 W元 ,依題意 ,得 W=(x8)(10x+300) =10(x19)2+1 210, ∵ 100,∴ 當 x=19時 ,W最大值 =1 210. 因此 ,該品種蜜柚定價為 19元 /千克時 ,每天銷售獲得的利潤最大 ,最大利潤為 1 210 元 . (3)不能 . 理由 :按 (2)中每天獲得最大利潤的方式銷售 , 由 (1)得 y=1019+300=110, ∵ 11040=4 4004 800, 10 200,15 150,kbkb???? ??? 1 0 , ???? ??∴ 該農(nóng)戶不能銷售完這批蜜柚 . 思路分析 (1)利用待定系數(shù)法求出 y與 x的函數(shù)關系式 ,根據(jù)蜜柚銷售不會虧本及銷售量不能 為負求得 x的取值范圍 。(2)根據(jù)“總利潤 =單件利潤 銷售量”列出函數(shù)解析式 ,并配方成頂點 式即可得出最大利潤 。 (3)根據(jù) (2)中獲得最大利潤的方式進行銷售 (即 x=19),求出 40天的總銷售量 ,與 4 800比較即可得 出答案 . 方法指導 用二次函數(shù)解決實際最值問題的一般步驟 :(1)設出實際問題中的變量 。(2)建立函 數(shù)關系式 。(3)利用待定系數(shù)法或根據(jù)題意分析列等式求出函數(shù)關系式 。(4)確定自變量取值范 圍 。(5)利用二次函數(shù)的性質求出最值 ,對所得最值進行檢驗 ,是否符合實際意義 . 3.(2022內蒙古包頭 ,23,10分 )某廣告公司設計一幅周長為 16米的矩形廣告牌 ,廣告設計費為每 平方米 2 000元 ,設矩形一邊長為 x米 ,面積為 S平方米 . (1)求 S與 x之間的函數(shù)關系式 ,并寫出自變量 x的取值范圍 。 (2)設計費能達到 24 000元嗎 ?為什么 ? (3)當 x是多少米時 ,設計費最多 ?最多是多少元 ? 解析 (1)∵ 矩形的周長為 16米 ,一邊長為 x米 , ∴ 其鄰邊長為 (8x)米 . ∴ S=x(8x)=x2+8x. 其中 ,0x8.? (3分 ) (2)能 .理由如下 : ∵ 設計費為每平方米 2 000元 , ∴ 當設計費為 24 000元時 ,面積為 24 000247。2 000=12(平方米 ), 令 x2+8x=12, 解得 x1=2,x2=6. ∴ 設計費能達到 24 000元 .? (6分 ) (3)∵ S=x2+8x=(x4)2+16, ∴ 當 x=4時 ,S取得最大值 ,且 Smax=16. 162 000=32 000(元 ). ∴ 當 x是 4米時 ,設計費最多 ,最多是 32 000元 .? (10分 ) 思路分析 (1)一邊長為 x米 ,用 x表示出其鄰邊的長 ,從而可求 S與 x的關系式 。(2)根據(jù)設計費求 出面積 ,代入解析式能求出符合題意的邊長 ,所以答案是肯定的 。(3)把解析式表示成頂點式 ,求 出最大面積 ,進而求出最多的設計費 . 方法規(guī)律 用函數(shù)探究實際問題中的最值問題一般有兩種方法 :一種是列出一次函數(shù)解析式 , 分析自變量的取值范圍 ,得出最值 。另一種是建立二次函數(shù)模型 ,列出二次函數(shù)關系式 ,整理成 頂點式 ,當二次項系數(shù)小于 0時 ,有最大值 ,即頂點的縱坐標 ,自變量的取值即為頂點的橫坐標 。當 二次項系數(shù)大于 0時 ,有最小值 ,即頂點的縱坐標 ,自變量的取值即為頂點的橫坐標 . 4.(2022湖北黃岡 ,23,12分 )月電科技有限公司用 160萬元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用 ,成功研制出了 一種市場急需的電子產(chǎn)品 ,已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售 .已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4 元 /件 ,在銷售過程中發(fā)現(xiàn) :每年的年銷售量 y(萬件 )與銷售價格 x(元 /件 )的關系如圖所示 ,其中 AB 為反比例函數(shù)圖象的一部分 ,BC為一次函數(shù)圖象的一部分 .設公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤 為 z(萬元 ).(注 :若上一年盈利 ,則盈利不計入下一年的年利潤 。若上一年虧損 ,則虧損計作下一年 的成本 ) ? (1)請求出 y(萬件 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關系式 。 (2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤 z(萬元 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關系式 ,并求出第一年年 利潤的最大值 。 (3)假設公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤 z(萬元 )取得最大值時進行銷售 ,現(xiàn)根據(jù)第一 年的盈虧情況 ,決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格 x(元 )定在 8元以上 (x8),當?shù)诙? 的年利潤不低于 103萬元時 ,請結合年利潤 z(萬