【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo) 。 ② 將拋物線 C1沿這兩個(gè)定點(diǎn)所在直線翻折 ,得到拋物線 C2,直接寫出 C2的表達(dá)式 。 (3)若 (2)中拋物線 C2的頂點(diǎn)到 x軸的距離為 2,求 a的值 . ? 備用圖 解析 (1)當(dāng) a=1時(shí) ,拋物線 C1:y=x24x5.? (1分 ) 令 y=0,則 x24x5=0, 解得 x1=1,x2=5, ∴ 拋物線 C1與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0),(5,0),? (2分 ) 對(duì)稱軸為直線 x=2.? (3分 ) (2)① 由拋物線 C1:y=ax24ax5(a0), 可得其對(duì)稱軸為直線 x=? =2.? (4分 ) 令 x=0,有 y=5. ∴ 拋物線 C1過(guò)定點(diǎn) (0,5).? (5分 ) 易知點(diǎn) (0,5)關(guān)于直線 x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) (4,5), ∴ 由拋物線的對(duì)稱性可知 ,無(wú)論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn) (0,5)和 (4,5).? (6分 ) ② y=ax2+4ax5(或 y=a(x2)2+4a5).? (7分 ) (3)對(duì)于拋物線 C2:y=ax2+4ax5,當(dāng) x=2時(shí) ,y=4a5, 42 aa?∴ 拋物線 C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,4a5),? (8分 ) ∴ |4a5|=2,解得 a1=? ,a2=? .? (9分 ) 74 34考點(diǎn)二 系數(shù) a、 b、 c的作用 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于點(diǎn) A(1,0),對(duì) 稱軸為直線 x=1,與 y軸的交點(diǎn) B在 (0,2)和 (0,3)之間 (包括這兩點(diǎn) ),下列結(jié)論 : ? ① 當(dāng) x3時(shí) ,y0。② 3a+b0。③ 1≤ a≤ ? 。④ 4acb28a. 其中正確的結(jié)論是 ? ( ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 23答案 B 由已知條件可知 a0,? =1,拋物線與 x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0),2≤ c≤ 3,∴ 當(dāng) x3時(shí) , y0。2a+b=0, ∴ 2a+b+a0,即 3a+b0?！?當(dāng) x=1時(shí) ,ab+c=0,∴ 3a+c=0,∴ c=3a,即 2≤ 3a≤ 3,亦即 1≤ a≤ ? 。由 題意知拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y=? 2,∴ 4acb2④錯(cuò) ,①②③ 正確 .故選 B. 2ba23244ac ba?2.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(ba0)與 x軸最多有一個(gè)交點(diǎn) .現(xiàn)有以下四個(gè) 結(jié)論 : ① 該拋物線的對(duì)稱軸在 y軸左側(cè) 。② 關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c+2=0無(wú)實(shí)數(shù)根 。③ ab+c≥ 0。④ ? 的最小值為 3. 其中 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ? ( ) abcba???答案 D ∵ ba0,∴ ? 0,∴ ① 正確 。 ∵ 拋物線與 x軸最多有一個(gè)交點(diǎn) , ∴ b24ac≤ 0, ∴ 關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c+2=0的判別式 Δ=b24a(c+2)=b24ac8a0, ∴ ② 正確 。 ∵ a0,且拋物線與 x軸最多有一個(gè)交點(diǎn) , ∴ y≥ 0, ∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,ab+c≥ 0, ∴ ③ 正確 。 ∵ y≥ 0,∴ 當(dāng) x=2時(shí) ,4a2b+c≥ 0, 即 a+b+c≥ 3b3a,即 a+b+c≥ 3(ba), 2ba∵ ba,∴ ba0, ∴ ? ≥ 3,∴ ④ 正確 .故選 D. abcba???3.(2022山東聊城 ,16,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象如圖所示 ,下列結(jié)論 :① 2a+b=0。② a+ cb。③ 拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 (3,0)。④ abc (填寫序號(hào) ). ? 答案 ①④ 解析 ①因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線 x=1,所以 ? =1,b=2a,2a+b=0,故①正確 。② 由題中圖象 知 ,當(dāng) x=1時(shí) ,y=ab+c0,所以 a+cb,故②錯(cuò)誤 。③ 拋物線與 x軸的兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ,所以兩 交點(diǎn)到對(duì)稱軸 x=1的距離都是 1(2)=3,所以另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1+3=4,即另一交點(diǎn)為 (4,0),故 ③不正確 。④ 拋物線開(kāi)口向上 ,所以 a0,又 ? 0,所以 b0,拋物線與 y軸交于負(fù)半軸 ,故 c0,所以 abc0,故④正確 . 2ba2ba4.(2022江蘇揚(yáng)州 ,16,3分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸是過(guò)點(diǎn) (1,0)且平行于 y軸的直 線 ,若點(diǎn) P(4,0)在該拋物線上 ,則 4a2b+c的值為 . ? 答案 0 解析 點(diǎn) (4,0)關(guān)于對(duì)稱軸 x=1對(duì)稱的點(diǎn)為 (2,0),當(dāng) x=2時(shí) ,y=4a2b+c=0. 5.(2022北京 ,26,6分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=4x+4與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A,B,拋物線 y =ax2+bx3a經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,將點(diǎn) B向右平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度 ,得到點(diǎn) C. (1)求點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 (2)求拋物線的對(duì)稱軸 。 (3)若拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,結(jié)合函數(shù)圖象 ,求 a的取值范圍 . 解析 (1)將 x=0代入 y=4x+4得 y=4,∴ B(0,4). ∵ 點(diǎn) B向右平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) C, ∴ C(5,4). (2)將 y=0代入 y=4x+4得 x=1, ∴ A(1,0). 將點(diǎn) A(1,0)代入拋物線解析式 y=ax2+bx3a得 0=ab3a,即 b=2a, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? =? =1. (3)拋物線始終過(guò)點(diǎn) A(1,0),且對(duì)稱軸為直線 x=1,由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線也過(guò)點(diǎn) A關(guān)于直 線 x=1的對(duì)稱點(diǎn) (3,0). ① a0時(shí) ,如圖 1. 2ba 22 aa?? 圖 1 將 x=5代入拋物線的解析式得 y=12a, ∴ 12a≥ 4, ∴ a≥ ? . ② a0,且拋物線頂點(diǎn)不在線段 BC上時(shí) ,如圖 2. 13? 圖 2 將 x=0代入拋物線得 y=3a, ∵ 拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ 3a4, ∴ a? . 若拋物線的頂點(diǎn)在線段 BC上 ,則頂點(diǎn)為 (1,4),如圖 3. 43? 圖 3 將點(diǎn) (1,4)代入拋物線的解析式得 4=a2a3a, ∴ a=1. 綜上所述 ,a≥ ? 或 a? 或 a=1. 13 43考點(diǎn)三 二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系 1.(2022河北 ,16,2分 )對(duì)于題目“一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共 點(diǎn) .若 c為整數(shù) ,確定所有 c的值 .”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是 c=3或 4,則 ? ( ) 、乙的結(jié)果合在一起才正確 、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ? 答案 D 拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)可以看作拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)沿 y軸向上平移 c 個(gè)單位形成的 ,一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線 l: y=x+2沿 y軸向下平移 c個(gè)單位形成的直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .當(dāng) 直線 y=x+2c(即 l2)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí) ,0+2c=0,c=2。當(dāng)直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,0)時(shí) ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當(dāng) 2c≤ 5時(shí) ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn) .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時(shí) , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ,故選 D. 2.(2022浙江寧波 ,11,4分 )二次函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)的圖象在 2x3這一段位于 x軸的下方 ,在 6 x7這一段位于 x軸的上方 ,則 a的值為 ? ( ) 答案 A ∵ 二次函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)的圖象在 2x3這一段位于 x軸的下方 ,在 6x7這一段 位于 x軸的上方 , ∴ 當(dāng) x=? 時(shí) ,二次函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)的圖象位于 x軸的下方 。當(dāng) x=? 時(shí) ,二次函數(shù) y=a(x4)24(a ≠ 0)的圖象位于 x軸的上方 , ∴ ? ?? ?? a? . 結(jié)合各選項(xiàng)知 a的值為 A. 52 132225 4 4 0 ,213 4 4 02aa? ??? ? ?? ????????? ? ? ???? ???16,91625aa? ????? ???1625 1693.(2022四川綿陽(yáng) ,10,3分 )將二次函數(shù) y=x2的圖象先向下平移 1個(gè)單位 ,再向右平移 3個(gè)單位 ,得到 的圖象與一次函數(shù) y=2x+b的圖象有公共點(diǎn) ,則實(shí)數(shù) b的取值范圍是 ? ( ) 8 8 ≥ 8 ≥ 8 答案 D 由題意可得 ,y=x2的圖象經(jīng)過(guò)兩次平移后得到 y=(x3)21的圖象 .? 將 ①代入②得 ,x28x+8b= ,所以 Δ=(8)24(8b)=4b+32≥ 0,所以 b≥ 8,故選 D. 2( 3) 1 ,2,yxy x b? ? ? ????? ①②4.(2022廣西南寧 ,12,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)和正比例函數(shù) y=? x的圖象如圖所示 ,則方 程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)的兩根之和 ? ( ) ? 0 0 0 2323b???????答案 A 根據(jù)題圖可知 a0,b0,b24ac0. 在方程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)中 ,Δ=? 4ac=b2? b+? 4ac=b24ac? b+? 0,設(shè)此方程的兩 根分別為 x1,x2,則 x1+x2=? =? +? 0,故選 A. 23b??????? 223b??????? 43 49 43 4923b a? ba 23 a5.(2022江蘇南京 ,16,2分 )已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c中 ,函數(shù) y與自變量 x的部分對(duì)應(yīng)值如下表 : 則當(dāng) y5時(shí) ,x的取值范圍是 . x … 1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 答案 0x4 解析 由拋物線的對(duì)稱性及題中表格可知 ,當(dāng) x=0或 4時(shí) ,y=5,又拋物線開(kāi)口向上 ,故當(dāng) 0x4時(shí) ,y 5. 6.(2022湖北黃岡 ,22,8分 )已知直線 l:y=kx+1與拋物線 y=x24x. (1)求證 :直線 l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn) 。 (2)設(shè)直線 l與該拋物線兩交點(diǎn)為 A,B,O為原點(diǎn) ,當(dāng) k=2時(shí) ,求△ OAB的面積 . 解析 (1)證明 :令 x24x=kx+1,則 x2(4+k)x1=0, 因?yàn)?Δ=(4+k)2+40,所以直線 l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn) . (2)設(shè) A,B的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2),直線 l與 y軸的交點(diǎn)為 C,則 C點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,1), 易知 x1+x2=4+k=2,x1x2=1, 所以 (x1x2)2=8,所以 |x1x2|=2? , 所以△ OAB的面積 S=? OC| x1x2|=? 12? =? . 212 122 27.(2022北京 ,27,7分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=x24x+3與 x軸交于點(diǎn) A,B(點(diǎn) A在點(diǎn) B的左 側(cè) ),與 y軸交于點(diǎn) C. (1)求直線 BC的表達(dá)式 。 (2)垂直于 y軸的直線 l與拋物線交于點(diǎn) P(x1,y1),Q(x2,y2),與直線 BC交于點(diǎn) N(x3,y3).若 x1x2x3,結(jié)合 函數(shù)的圖象 ,求 x1+x2+x3的取值范圍 . 解析 (1)令 y=0,即 0=x24x+3,解得 x=1或 x=3. ∵ 拋物線 y=x24x+3與 x軸交于點(diǎn) A,B(點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ), ∴ 點(diǎn) A,B的坐標(biāo)分別為 (1,0),(3,0). 令 x=0,得 y=3. ∵ 拋物線 y=x24x+3與 y軸交于點(diǎn) C, ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0,3). 設(shè)直線 BC的表達(dá)式為 y=kx+b,k≠ 0, ∴ ? 解得 ? ∴ 直線 BC的表達(dá)式為 y=x+3. (2)∵ y=x24x+3=(x2)21, ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)