【正文】 求此拋物線的解析式 。 (2)如果點(diǎn) A關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是 B點(diǎn) ,且拋物線與 y軸的交點(diǎn)是 C點(diǎn) ,求△ ABC的面 積 . 解析 (1)設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x3)2+5. 將 A(1,3)代入上式得 3=a(13)2+5,解得 a=? , ∴ 拋物線的解析式為 y=? (x3)2+5. (2)∵ A(1,3),拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=3, ∴ B(5,3), 令 x=0,則 y=? (x3)2+5=? ,則 C? , ∴ △ ABC的面積 =? (51)? =5. 121212 12 10,2??????12 13 2???????考點(diǎn)二 系數(shù) a、 b、 c的作用 1.(2022遼寧鞍山鐵西 3月模擬 ,8)二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的部分圖象如圖所示 ,圖象過(guò)點(diǎn) (1, 0),對(duì)稱軸為直線 x=2,下列結(jié)論 : (1)4a+b=0。(2)9a+c3b。(3)7a3b+2c0。(4)若點(diǎn) A(3,y1)、點(diǎn) B? 、點(diǎn) C(7,y3)在該函數(shù)圖象 上 ,則 y1y3y2。(5)若方程 a(x+1)(x5)=3的兩根為 x1和 x2,且 x1x2,則 x115x2. 其中正確的結(jié)論有 ? ( ) ? 21 ,2 y???????答案 B ∵ x=? =2,∴ 4a+b=0,故①正確 . 由函數(shù)圖象可知 :當(dāng) x=3時(shí) ,y0,即 9a+3b+c0, ∴ 9a+c3b,故②正確 . ∵ 拋物線與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 (1,0), ∴ ab+c=0, 又 ∵ b=4a, ∴ a+4a+c=0,即 c=5a, ∴ 7a3b+2c=7a+12a10a=9a, ∵ 拋物線開(kāi)口向下 , ∴ a0, ∴ 7a3b+2c0,故③錯(cuò)誤 . ∵ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=2,C(7,y3),A(3,y1), ∴ 點(diǎn) A、 C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 . ∵ 3? ,點(diǎn) A、 B在對(duì)稱軸的左側(cè) , 2ba12∴ y隨 x的增大而增大 , ∴ y1=y3y2,故④錯(cuò)誤 . 方程 a(x+1)(x5)=0的兩根為 x=1和 x=5,直線 y=3與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程 a(x+1)(x5)= 3的兩根 , ? 依據(jù)函數(shù)圖象可知 x115x2,故⑤正確 . 故選 B. 2.(2022貴州黔東南州 ,9,4分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對(duì)稱軸為直線 x=1,給出下列結(jié) 論 : ① b2=4ac。② abc0。③ ac。④ 4a2b+c0, 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 答案 C ① ∵ 拋物線與 x軸有 2個(gè)交點(diǎn) , ∴ Δ=b24ac0,所以①錯(cuò)誤 。 ② ∵ 拋物線開(kāi)口向上 , ∴ a0, ∵ 拋物線的對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè) , ∴ a、 b同號(hào) ,∴ b0, ∵ 拋物線與 y軸交點(diǎn)在 x軸上方 ,∴ c0,∴ abc0, 所以②正確 。 ③ ∵ x=1時(shí) ,y0,∴ ab+c0, ∵ 對(duì)稱軸為直線 x=1,∴ ? =1,∴ b=2a, ∴ a2a+c0,即 ac,所以③正確 。 2ba④ ∵ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=1, ∴ x=2和 x=0時(shí)的函數(shù)值相等 ,∴ x=2時(shí) ,y0,∴ 4a2b+c0, 所以④正確 . 綜上 ,本題正確的有②③④ ,共三個(gè) .故選 C. 3.(2022上海閔行 ,4)拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、二、三象限 ,那么下列結(jié)論成立的是 ? ( ) 0,b0,c=0 0,b0,c=0 0,b0,c=0 0,b0,c=0 答案 A ∵ 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) ,∴ c=0,∵ 拋物線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限 ,∴ a0,對(duì)稱軸在 y軸左 側(cè) ,即 ? 0,∴ b A. 2ba考點(diǎn)三 二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系 1.(2022山東濱州 ,5,4分 )拋物線 y=2x22? x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ? ( ) 2答案 C 拋物線 y=2x22? x+1,令 x=0,得到 y=1,即拋物線與 y軸的交點(diǎn)為點(diǎn) (0,1)。令 y=0,得到 2x 22? x+1=0,即 (? x1)2=0,解得 x1=x2=? ,即拋物線與 x軸的交點(diǎn)為點(diǎn) ? ,則拋物線與坐標(biāo) 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 2,故選 C. 22 2 22 2 ,02??????2.(2022四川瀘州瀘縣一診 ,16)如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c圖象的一部分 ,其對(duì)稱軸為直線 x=1, 若其與 x軸一交點(diǎn)為 A(3,0),則由圖象可知 ,不等式 ax2+bx+c0的解集是 . ? 答案 1x3 解析 ∵ 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 x=1,函數(shù)圖象與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0),∴ 函數(shù)圖 象與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0).利用圖象可知 ,ax2+bx+c0的解集即是 y0的解集 ,∴ 1x 3. 3.(2022湖北荊州 ,18,3分 )若函數(shù) y=(a1)x24x+2a的圖象與 x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,則 a的值為 . 答案 1,2或 1 解析 當(dāng) a=1時(shí) ,函數(shù) y=(a1)x24x+2a=4x+2,其圖象與 x軸的交點(diǎn)為點(diǎn) ? 。當(dāng) a≠ 1時(shí) ,則由題 意得 Δ=(4)242a(a1)=0,解得 a=2或 1,故答案為 1,2或 1. 1 ,02??????一、選擇題 (每小題 3分 ,共 15分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :35分 ) 1.(2022湖北黃石模擬 ,8)如圖 ,若 a0,b0,c0,則二次函數(shù) y=ax2+bx+c的大致圖象為 ? ( ) ? 答案 B ∵ a0,∴ 拋物線的開(kāi)口向下 ,故 C項(xiàng)錯(cuò)誤 。 ∵ c0,∴ 拋物線與 y軸的交點(diǎn)在 y軸的負(fù)半軸上 ,故 A項(xiàng)錯(cuò)誤 。 ∵ a0,b0,對(duì)稱軸為 x=? 0,∴ 對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,故 D項(xiàng)錯(cuò)誤 .故選 B. 2ba2.(2022上海寶山一模 ,6)如圖 ,如果把拋物線 y=x2沿直線 y=x向上方平移 2? 個(gè)單位后 ,其頂點(diǎn)在 直線 y=x上的 A處 ,那么平移后的拋物線解析式是 ? ( ) ? =(x+2? )2+2? =(x+2)2+2 =(x2? )2+2? =(x2)2+2 22 22 2答案 D 過(guò)點(diǎn) A作 AB⊥ x軸于 B,∵ 直線 y=x與 x軸的夾角為 45176。,OA=2? ,∴ OB=AB=2? ? = 2,∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,2),∴ 平移后的拋物線解析式是 y=(x2)2+ D. 2 2 223.(2022四川宜賓一模 ,8)如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限 ,且過(guò)點(diǎn) (0, 1)和 (1,0).下列結(jié)論 :① ab0,② b24a,③ 0a+b+c2,④ 0b1,⑤ 當(dāng) x1時(shí) ,y0,其中正確結(jié)論的 個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 答案 B ∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象過(guò)點(diǎn) (0,1)和 (1,0),∴ c=1,ab+c=0. ① ∵ 拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ x=? 0,∴ a與 b異號(hào) ,∴ ab0,① 正確 。 ② ∵ 拋物線與 x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ,∴ b24ac0, ∵ c=1,∴ b24a0,即 b24a,② 正確 。 ④ ∵ 拋物線開(kāi)口向下 ,∴ a0,∵ ab0,∴ b0. ∵ ab+c=0,c=1,∴ a=b1, ∵ a0,∴ b10,即 b1, ∴ 0b1,④ 正確 。 ③ ∵ ab+c=0,∴ a+c=b, ∴ a+b+c=2b0. ∵ b1,c=1,a0, ∴ a+b+c=a+b+1a+1+1=a+20+2=2, ∴ 0a+b+c2,③ 正確 。 ⑤ 拋物線 y=ax2+bx+c與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 (1,0),設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為 (x0,0),則 x00,由題圖可知 ,當(dāng) x0 2bax1時(shí) ,y0,⑤ 錯(cuò)誤 . 綜上所述 ,正確的結(jié)論有①②③④ .故選 B. 4.(2022云南曲靖 ,8)在同一坐標(biāo)系中 ,一次函數(shù) y=ax+b與二次函數(shù) y=ax2+b的大致圖象可能是 ? ( ) ? 答案 C y=ax+b的圖象可得 a0,b0,此時(shí)二次函數(shù) y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口向 上 ,故 A錯(cuò)誤 。 y=ax+b的圖象可得 a0,b0,此時(shí)二次函數(shù) y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口 向下 ,故 B錯(cuò)誤 。 y=ax+b的圖象可得 a0,b0,此時(shí)二次函數(shù) y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi) 口向下 ,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零 ,故 C正確 。 y=ax+b的圖象可得 a0,b0,此時(shí)二次函 數(shù) y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上 ,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零 ,故 D錯(cuò)誤 .故選 C. 方法點(diǎn)撥 可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷 a、 b的符號(hào) ,再判斷二次函數(shù)圖象的大致形狀 . 5.(2022陜西咸陽(yáng) ,10)二次函數(shù) y=ax2+bx的圖象如圖 ,若一元二次方程 ax2+bx+m=0有實(shí)根 ,則 m的 最大值為 ? ( ) ? 答案 B 方程 ax2+bx+m=0有實(shí)根可轉(zhuǎn)化為 y=ax2+bx的圖象與直線 y=m有交點(diǎn) ,由題圖可知 m ≥ 3,即 m≤ B. 二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 6.(2022云南曲靖羅平一模 ,13)已知拋物線 y=ax2+x+c與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,則 a+c= . 答案 1 解析 ∵ 拋物線 y=ax2+x+c與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,∴ 拋物線 y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,0),∴ a1+c= 0,∴ a+c=1. 7.(2022黑龍江哈爾濱南崗 ,16)二次函數(shù) y=x2bx+c的圖象上有兩點(diǎn) A(3,8),B(5,8),則此拋物線 的對(duì)稱軸是直線 x= . 答案 1 解析 ∵ 函數(shù) y=x2bx+c的圖象上有兩點(diǎn) A(3,8),B(5,8),且兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 , ∴ A、 B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱 , ∴ 對(duì)稱軸為直線 x=? =1. 352?8.(2022四川成都 ,16)如圖 ,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,2),且與 x軸交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)分別為 x1,x2,其中 1x10,1x22,下列結(jié)論 :① abc0。② ab2a。③ b2+8a4ac。④ 1a0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . ? 答案 ①② 解析 ∵ 拋物線開(kāi)口向下 ,∴ a0, ∵ 拋物線與 y軸的正半軸相交 ,∴ c0, ∵ 對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè) ,∴ a,b異號(hào) ,又 a0,∴ b0, ∴ abc0,故①正確 。 ∵ 0? 1,a0,∴ b2a,∴ ab2a,故②正確 。 ∵ 拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于 2,即 ? 2, 又 a0,∴ 4acb28a,即 b2+8a4ac,故③錯(cuò)誤 。 ∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,2), ∴ a+b+c=2,(1) 由題圖知 ,當(dāng) x=1時(shí) ,y0,當(dāng) x=2時(shí) ,y0, 可得 ab+c0,(2) 4a+2b+c0,(3) 由 (1)(3)得 3a+b+20,則 a? . 2ba244ac ba?23b??由 (1)(2)得 b1,∴ a1,故④錯(cuò)誤 .綜上可知 ,正確的結(jié)論是①② . 三、解答題 (共 11分 ) 9.(2022黑龍江牡丹江一模 ,23)如圖 ,拋物線與 x軸交于 A(1,0)、 B(3,0)兩點(diǎn) ,與 y軸交于點(diǎn) C,OB= OC,連接 BC,拋物線的頂點(diǎn)為 B、 D兩點(diǎn) . (1)求拋物線的解析式 。 (2)求 ∠ CBD的正弦值 . ? 解析 (1)由題意設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x3),因?yàn)?B(3,0),OB=OC,所以 C(0,3). 把 C(0,3)代入解析式 ,得 a=1,所以拋物線的解析式為 y=x22x3. (2)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D(1,4),如圖 ,過(guò)點(diǎn) D分別作 x軸、 y軸的垂線 ,垂足分別為 E、 F,連接 CD. ? 在 Rt△ BOC中 ,OB=3,OC=3,∴ BC2=18,BC=3? . ∵ C(0,3),D(1,4), ∴ 在 Rt△ CDF中 ,DF=1,CF=OFOC=43=1, ∴ CD2=2,CD=? . 在 Rt△ BDE中 ,DE=4,BE=OBOE=31=2, 22∴ BD2=20,BD=2? , ∴ BC2+CD2=BD2,∴ △ BCD為直角三角形 ,∴ sin∠ CBD=? =? . 5CDBD 1