【正文】 ,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(2, 0),與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)設(shè) M是直線 AB上一點(diǎn) ,過 M作 MN∥ x軸 ,交反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象于點(diǎn) N,若以 A,O,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ,求點(diǎn) M的坐標(biāo) . ? kxkx解析 (1)∵ 一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(2,0), ∴ 2+b=0,∴ b=2, ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x+2, ∵ 一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4), ∴ a+2=4,∴ a=2,∴ B(2,4), ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? . (2)設(shè) M(m2,m),N? ,m0. 當(dāng) MN∥ AO且 MN=AO時(shí) ,以 A、 O、 M、 N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 . 故 ? =2且 m0,解得 m=2? 或 m=2? +2, ∴ M的坐標(biāo)為 (2? 2,2? )或 (2? ,2? +2). kx8x8 , mm??????8 ( 2 )mm ?? 2 32 2 3 313.(2022湖北黃岡 ,19,6分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點(diǎn) A(3,4),直線 AC與 x軸交于點(diǎn) C (6,0),過點(diǎn) C作 x軸的垂線 BC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) B. (1)求 k的值與 B點(diǎn)的坐標(biāo) 。 (2)在平面內(nèi)有點(diǎn) D,使得以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ,試寫出符合條件的所有 D點(diǎn)的坐標(biāo) . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點(diǎn) A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 6, ∵ 點(diǎn) B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點(diǎn) B的縱坐標(biāo)為 2. ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線段 BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (6,1),該點(diǎn)是線段 AD3 的中點(diǎn) ,所以點(diǎn) D3的坐標(biāo)為 (9,2).故 D點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12x12x12614.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數(shù) y=? (k為常數(shù) ). (1)若點(diǎn) P1? 和點(diǎn) P2? 是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn) ,試?yán)梅幢壤瘮?shù)的性質(zhì) 比較 y1和 y2的大小 。 (2)設(shè)點(diǎn) P(m,n)(m0)是其圖象上的一點(diǎn) ,過點(diǎn) P作 PM⊥ x軸于點(diǎn) M,若 tan∠ POM=2,PO=? (O為 坐標(biāo)原點(diǎn) ),求 k的值 ,并直接寫出不等式 kx+? 0的解集 . 2 1kx??113,2 y??????? 21 ,2 y???????52 1kx?解析 (1)∵ k210, ∴ 反比例函數(shù) y=? 在每個(gè)象限內(nèi) y隨 x的增大而增大 , 又 ∵ ? ? 0, ∴ y1y2. (2)∵ 點(diǎn) P(m,n)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,且 m0,∴ n0, ∴ OM=m,PM=n, ∵ tan∠ POM=2,∴ ? =? =2, ∴ n=2m, 又 ∵ PO=? ,∴ m2+n2=5, ∴ m=1,n=2, ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,2),∴ k21=2, 解得 k=177。1. ① 當(dāng) k=1時(shí) ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。 2 1kx??12132?2 1kx??PMOM nm?52 1kx?2 2② 當(dāng) k=1時(shí) ,不等式 kx+? 0的解集為 x0. 2 1kx?15.(2022湖北武漢 ,20,8分 )已知反比例函數(shù) y=? . (1)若該反比例函數(shù)的圖象與直線 y=kx+4(k≠ 0)只有一個(gè)公共點(diǎn) ,求 k的值 。 (2)如圖 ,反比例函數(shù) y=? (1≤ x≤ 4)的圖象記為曲線 C1,將 C1向左平移 2個(gè)單位長度 ,得曲線 在圖中畫出 C2,并直接寫出 C1平移至 C2處所掃過的面積 . ? 4x4x解析 (1)由 ? 得 kx2+4x4=0(k≠ 0).? (2分 ) ∵ 反比例函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ Δ=16+16k=0. ∴ k=1.? (4分 ) (2)曲線 C2如圖 .? (6分 ) ? C1平移至 C2處掃過的面積為 6個(gè)平方單位 .? (8分 ) 4 ,4y xy k x? ???????16.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,A點(diǎn)的坐標(biāo)為 (8,y),AB⊥ x軸于點(diǎn) B, sin∠ OAB=? ,反比例函數(shù) y=? 的圖象的一支經(jīng)過 AO的中點(diǎn) C,且與 AB交于點(diǎn) D. (1)求反比例函數(shù)解析式 。 (2)若函數(shù) y=3x與 y=? 的圖象的另一支交于點(diǎn) M,求三角形 OMB與四邊形 OCDB的面積的比 . ? 45 kxkx解析 (1)∵ A點(diǎn)的坐標(biāo)為 (8,y),∴ OB=8. ∵ sin∠ OAB=? ,∴ OA=8? =10,則 AB=6. ∵ C是 OA的中點(diǎn) ,且在第一象限 ,∴ C(4,3). ∵ y=? 的圖象過點(diǎn) C, ∴ 3=? ,k=12. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (2分 ) (2)解方程組 ? 得 ?? ∴ M(2,6).? (3分 ) ∴ S△ OMB=? OB| 6|=? 86=24, S四邊形 OCDB=S△ OBC+S△ BCD=12+? BD4.? (5分 ) ∵ D在雙曲線上 ,且 D點(diǎn)橫坐標(biāo)為 8, 45 54kx4k12x3,12,yxy x???? ???112,6,xy ??? ??222, ???? ???12 1212∴ D? ,即 BD=? , ∴ S四邊形 OCDB=12+3=15,∴ ? =? .? (7分 ) 38,2??????32OMBOCDBSS四 邊 形85考點(diǎn)三 反比例函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022吉林 ,22,7分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,直線 AB與函數(shù) y=? (x0)的圖象交于點(diǎn) A(m,2),B (2,n).過點(diǎn) A作 AC平行于 x軸交 y軸于點(diǎn) C,在 y軸負(fù)半軸上取一點(diǎn) D,使 OD=? OC,且△ ACD的面積 是 6,連接 BC. (1)求 m,k,n的值 。 (2)求△ ABC的面積 . ? kx12解析 (1)∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (m,2),AC平行于 x軸 , ∴ OC=2,AC⊥ y軸 , ∵ OD=? OC,∴ OD=1.∴ CD=3. ∵ △ ACD的面積是 6,∴ ? CDAC=6. ∴ AC=4.? (2分 ) ∴ m=4.? (3分 ) ∵ 點(diǎn) A(4,2)在 y=? 的圖象上 , ∴ k=42=8.? (4分 ) ∵ 點(diǎn) B(2,n)在 y=? 的圖象上 , ∴ n=4.? (5分 ) (2)如圖 ,過點(diǎn) B作 BE⊥ AC于點(diǎn) E,則 BE=2.? (6分 ) ? 1212kx8x∴ S△ ABC=? ACBE=? 42=4. ∴ △ ABC的面積為 4.? (7分 ) 12 122.(2022甘肅蘭州 ,24,7分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=x+3交 y軸于點(diǎn) A,交反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象于點(diǎn) D,y=? (x0)的圖象過矩形 OABC的頂點(diǎn) B,矩形 OABC的面積為 4,連接 OD. (1)求反比例函數(shù) y=? 的表達(dá)式 。 (2)求△ AOD的面積 . ? kx kxkx解析 (1)由題意知 S矩形 OABC=|k|=4,∴ k=177。4.? (1分 ) 又 ∵ 反比例函數(shù)的圖象位于第二象限 , ∴ k=4.? (2分 ) ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? .? (3分 ) (2)∵ y=x+3的圖象交 y軸于點(diǎn) A, ∴ A(0,3),∴ OA=3. 聯(lián)立 ? 又 ∵ x0,∴ ? 即 D(1,4).? (5分 ) ∴ S△ AOD=? AO| xD|=? 31=? .? (7分 ) 4x4 ,3,y xyx? ?????? ? ??1,4,xy ???? ??12 12 32方法規(guī)律 (1)求反比例函數(shù)的解析式 ,一般是將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入 ,如果題目中涉及面積 ,那 么也可以利用整體思想求解 。(2)在平面直角坐標(biāo)系中 ,求某兩條線的交點(diǎn)時(shí) ,一般的做法是先 求出直線或曲線的解析式 ,然后聯(lián)立得方程組 ,解這個(gè)方程組 ,則方程組的解就是交點(diǎn)的橫、縱 坐標(biāo) 。(3)對于求幾何圖形的面積問題 ,如果是規(guī)則圖形 ,則根據(jù)面積公式直接求解 。如果圖形不 規(guī)則 ,則一般運(yùn)用割補(bǔ)法解決 . 3.(2022山西 ,18,7分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,正方形 OABC的頂點(diǎn) O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合 ,其邊長 為 2,點(diǎn) A,點(diǎn) C分別在 x軸 ,y軸的正半軸上 .函數(shù) y=2x的圖象與 CB交于點(diǎn) D,函數(shù) y=? (k為常數(shù) ,k≠ 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) D,與 AB交于點(diǎn) E,與函數(shù) y=2x的圖象在第三象限內(nèi)交于點(diǎn) F,連接 AF,EF. (1)求函數(shù) y=? 的表達(dá)式 ,并直接寫出 E,F兩點(diǎn)的坐標(biāo) 。 (2)求△ AEF的面積 . ? kxkx解析 (1)∵ 正方形 OABC的邊長為 2, ∴ 點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 2, 將 y=2代入 y=2x,得 x=1, ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,2).? (1分 ) ∵ 函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點(diǎn) D,∴ 2=? ,∴ k=2, ∴ 函數(shù) y=? 的表達(dá)式為 y=? .? (2分 ) E(2,1),F(1,2).? (4分 ) (2)過點(diǎn) F作 FG⊥ AB,與 BA的延長線交于點(diǎn) G. ? ∵ E,F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (2,1),(1,2), ∴ AE=1,? (5分 ) kx 1kkx 2xFG=2(1)=3,? (6分 ) ∴ △ AEF的面積為 ? AEFG=? 13=? .? (7分 ) 12 12 32思路分析 (1)由函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點(diǎn) D可知 ,只需確定點(diǎn) D的坐標(biāo) ,并將其代入即可 。由于點(diǎn) D,F是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn) ,因此點(diǎn) D,F關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,由 AB⊥ x軸可知點(diǎn) E的橫坐 標(biāo)為 2,將其代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可求得點(diǎn) E的坐標(biāo) .(2)由 E,F兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出△ AEF 的底邊長和其對應(yīng)高的長 ,代入面積公式即可 . kx4.(2022江西 ,20,8分 )如圖 ,射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)相交于點(diǎn) P(2,4).已知點(diǎn) A(4,0),B (0,3),連接 AB,將 Rt△ AOB沿 OP方向平移 ,使點(diǎn) O移動(dòng)到點(diǎn) P,得到△ A39。PB39。.過點(diǎn) A39。作 A39。C∥ y軸交 雙曲線于點(diǎn) C. (1)求 k1與 k2的值 。 (2)求直線 PC的表達(dá)式 。 (3)直接寫出線段 AB掃過的面積 . ? 2kx解析 (1)∵ 點(diǎn) P(2,4)在射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)上 ,∴ 4=2k1,4=? ,解得 k1=2,k2=8.? (2 分 ) (2)∵ 點(diǎn) O(0,0)經(jīng)過平移得到對應(yīng)點(diǎn) P(2,4), ∴ Rt△ AOB先向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 4個(gè)單位可得 Rt△ A39。PB39。. ∴ A(4,0)經(jīng)平移得 A39。(6,4).? (4分 ) ∵ A39。C∥ y軸 ,交雙曲線于點(diǎn) C, ∴ 點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 6, 當(dāng) x=6時(shí) ,y=? =? ,∴ C? .? (5分 ) 設(shè)直線 PC的表達(dá)式為 y=kx+b,k≠ 0, 則有 ? 解得 ? ∴ 直線 PC的表達(dá)式為 y=? x+? .? (6分 ) (3)22.? (8分 ) 2kx 22k86 43 46,3??????4 2 ,4 6,3kbkb????? ????2 ,316,3kb? ?????? ???23 163以下解法供參考 : 解法一 :連接 BB39。,AA39。,由平移得△ A39。PB39。≌ △ AOB,則有 S?ABB39。A39。=S?OBB39。P+S?OAA39。P =32+44 =22, ∴ 線段 AB掃過的面積是 22. ? 解法二 :連接 BB39。,AA39。,A39。B,延長 A39。C與 x軸交于點(diǎn) D,則有 S?ABB39。A39。=2(S梯形 OBA39。DS△ OABS△ AA39。D) =2? =22, 1 1 1(3 4) 6