【正文】 用圖 3,解答下列問(wèn)題 : (1)若 AB為 1 m,求此時(shí)窗戶的透光面積 。 (2)與課本中的例題比較 ,改變窗戶形狀后 ,窗戶透光面積的最大值有沒(méi)有變大 ?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō) 明 . 解析 (1)由已知得 AD=? ,∴ S=? m2. (2)窗戶透光面積的最大值變大 .理由 : 設(shè) AB=x m,則 AD=3? x,∵ 3? x0,∴ 0x? . 設(shè)窗戶透光面積為 S m2,由已知得 S=ABAD=x? =? x2+3x=? ? +? , 當(dāng) x=? 時(shí) ? ,S最大值 =? . ∴ 與課本中的例題比較 ,現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大 . 54 5474 74 12773 4 x???????74 74267x???????97676 12077xx? ? ?在 的 范 圍 內(nèi)97方法點(diǎn)撥 解決面積最值問(wèn)題一般需建立二次函數(shù)模型 . 方法總結(jié) 建立函數(shù)模型解決最值問(wèn)題的基本步驟 : (1)選擇與問(wèn)題相關(guān)的、簡(jiǎn)單合適的變量 ,將這個(gè)變量設(shè)為未知數(shù) 。 (2)用所設(shè)的未知數(shù)表示問(wèn)題所需的邊或角 。 (3)列函數(shù)關(guān)系式 。 列函數(shù)關(guān)系式常用的方法有 :① 用勾股定理列函數(shù)關(guān)系式 。② 用幾何圖形的面積公式 (三角形 的面積公式、平行四邊形的面積公式 )列函數(shù)關(guān)系式 。③ 用三角形的邊角關(guān)系和三角函數(shù)知識(shí) 列函數(shù)關(guān)系式 。④ 用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出函數(shù)關(guān)系式 . (4)根據(jù)函數(shù)的增減性求最大或最小值 . 13.(2022湖州 ,23,10分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=x2+bx+c(b,c為常數(shù) )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,1),點(diǎn) C(0,4), 頂點(diǎn)為點(diǎn) A作 AB∥ x軸 , 交 y軸于點(diǎn) D,交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn) B,連接 BC. (1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn) M的坐標(biāo) 。 (2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移 m(m0)個(gè)單位 ,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ ABC的內(nèi)部 (不包括△ ABC的邊界 ),求 m的取值范圍 。 (3)點(diǎn) P是直線 AC上的動(dòng)點(diǎn) ,若點(diǎn) P,點(diǎn) C,點(diǎn) M所構(gòu)成的三角形與△ BCD相似 ,請(qǐng) ? 所有點(diǎn) P 的坐標(biāo) (直接寫出結(jié)果 ,不必寫解答過(guò)程 ). ????直 接 寫 出解析 (1)由二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,1),點(diǎn) C(0,4), 得 ? 解得 ? ? (2分 ) ∴ 二次函數(shù)的解析式為 y=x2+2x+4,? (3分 ) 由配方 ,得 y=(x1)2+5, ∴ 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (1,5).? (4分 ) (2)設(shè)表示直線 AC的函數(shù)解析式為 y=kx+n(k,n都為常數(shù)且 k≠ 0), ∵ 直線 AC過(guò)點(diǎn) A(3,1),C(0,4),∴ ? 解得 ? ∴ 直線 AC的函數(shù)解析式為 y=x+4.? (5分 ) 結(jié)合圖象 ,得拋物線的對(duì)稱軸 x=1與△ ABC兩邊分別交于點(diǎn) E(1,3),F(1,1), ∴ 2m4.? (7分 ) 23 3 1,4. bcc?? ? ? ???? 2, ??? ??3 1, ???? ?? 1, ???? ??? (3)符合題意的點(diǎn) P有 4個(gè) ,分別為 P1(3,7),P2(3,1),P3? ,P4? .? (10分 ) 1 1 1,33??????1 1 3,33???????思路分析 本題是二次函數(shù)的綜合題 ,第 (1)問(wèn) :用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 ,進(jìn)而配方 得頂點(diǎn)坐標(biāo) 。第 (2)問(wèn) :求出△ ABC與拋物線對(duì)稱軸 x=1的交點(diǎn) ,進(jìn)而得 m的范圍 。第 (3)問(wèn) :關(guān)注相似 三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角 ,由此進(jìn)行分類討論 . 14.(2022麗水 ,23,10分 )如圖 1,地面 BD上兩根等長(zhǎng)立柱 AB,CD之間懸掛一根近似成拋物線 y =? x2? x+3的繩子 . (1)求繩子最低點(diǎn)離地面的距離 。 (2)因?qū)嶋H需要 ,在離 AB為 3米的位置處用一根立柱 MN撐起繩子 (如圖 2),使左邊拋物線 F1的最 低點(diǎn)距 MN為 1米 ,離地面 ,求 MN的長(zhǎng) 。 (3)將立柱 MN的長(zhǎng)度提升為 3米 ,通過(guò)調(diào)整 MN的位置 ,使拋物線 F2對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終 為 ? .設(shè) MN離 AB的距離為 m,拋物線 F2的頂點(diǎn)離地面距離為 k,當(dāng) 2≤ k≤ ,求 m的取值范圍 . ? 110 4514解析 (1)∵ a=? 0,∴ 拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn) , ∵ y=? x2? x+3=? (x4)2+? , ∴ 繩子最低點(diǎn)離地面的距離為 ? 米 . (2)由 (1)可知 ,BD=8,令 x=0,得 y=3,∴ A(0,3),C(8,3). 由題意得 :拋物線 F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,). 設(shè) F1的解析式為 y=a(x2)2+(a≠ 0). 將 (0,3)代入 ,得 4a+=3,解得 a=, ∴ 拋物線 F1的解析式為 y=(x2)2+. 當(dāng) x=3時(shí) ,y=1+=,∴ MN的長(zhǎng)度為 . (3)∵ MN=CD=3,∴ 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知拋物線 F2的頂點(diǎn)在 ND的垂直平分線上 , ∴ 拋物線 F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? , ∴ 拋物線 F2的解析式為 y=? ? +k. 110110 45 110 75751 4,2 mk???????1421 42xm????????把 C(8,3)代入 ,得 ? ? +k=3, ∴ k=? ? +3, ∴ k=? (m8)2+3,∴ k是關(guān)于 m的二次函數(shù) . 又 ∵ m8,∴ k隨 m的增大而增大 . 當(dāng) k=2時(shí) ,? (m8)2+3=2,解得 m1=4,m2=12(不符合題意 ,舍去 ). 當(dāng) k= ,? (m8)2+3=,解得 m1=82? ,m2=8+2? (不符合題意 ,舍去 ).∴ m的取值范圍是 4≤ m≤ 82? . 142142 m???????142142 m???????1161161162 2215.(2022寧波 ,22,10分 )如圖 ,已知拋物線 y=x2+mx+3與 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,與 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) B的坐 標(biāo)為 (3,0). (1)求 m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 。 (2)點(diǎn) P是拋物線對(duì)稱軸 l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,當(dāng) PA +PC的值最小時(shí) ,求點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)把 B(3,0)代入 y=x2+mx+3, 得 0=32+3m+3, 解得 m=2,? (3分 ) ∴ y=x2+2x+3. ∵ y=x2+2x+3=(x22x+1)+4=(x1)2+4, ∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4).? (6分 ) (2)連接 BC交拋物線對(duì)稱軸 l于點(diǎn) P,連接 AP,此時(shí) PA +PC的值最小 . (理由 :設(shè) Q是直線 l上任意一點(diǎn) ,連接 AQ、 CQ、 BQ, ∵ 直線 l垂直平分 AB,∴ AQ=BQ,AP=BP, ∴ AQ+CQ=BQ+CQ≥ BC,BC=BP+CP=AP+CP, 即 AQ+CQ≥ AP+CP) ? 設(shè)直線 BC的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), 把 (3,0),(0,3)代入 ,得 ? ∴ ? ∴ 直線 BC的解析式為 y=x+3.? (8分 ) 當(dāng) x=1時(shí) ,y=1+3=2. ∴ 當(dāng) PA +PC的值最小時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,2).? (10分 ) 0 3 ,3,kbb???? ?? 1, ???? ??方法點(diǎn)撥 (1)待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法 ,應(yīng)用的一般步驟為 :根據(jù)函數(shù)的特征設(shè) 出函數(shù)的解析式 (有時(shí)題中會(huì)給出 ),將函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式 ,得到關(guān) 于變量的方程 (或方程組 ),解方程 (或方程組 )求得待定系數(shù)的值 ,然后寫出函數(shù)的解析式 . (2)解決本題要用到初中數(shù)學(xué)中一個(gè)典型的模型 ——“將軍飲馬”問(wèn)題 .如圖 1,在一條可以近 似看成直線的河 a的同旁 ,將軍牽著馬位于點(diǎn) A處 ,現(xiàn)將軍要牽著馬到河邊給馬兒喂水 ,然后再 牽著馬回到軍營(yíng) (點(diǎn) B處 ),設(shè)飲馬的位置為河邊的點(diǎn) M,那么這個(gè)點(diǎn) M在何處才能使走的路程最 短 (換句話說(shuō)就是使 AM+BM最短 )? ? 圖 1 圖 2 具體的作法是 :如圖 2,作點(diǎn) B關(guān)于直線 a的對(duì)稱點(diǎn) B39。,連接 AB39。交直線 a于點(diǎn) M,則該點(diǎn)即為所求 . 16.(2022溫州 ,23,12分 )如圖 ,拋物線 y=x2mx3(m0)交 y軸于點(diǎn) C,CA⊥ y軸 ,交拋物線于點(diǎn) B 在拋物線上 ,且在第一象限內(nèi) ,BE⊥ y軸 ,交 y軸于點(diǎn) E,交 AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,BE=2AC. (1)用含 m的代數(shù)式表示 BE的長(zhǎng) 。 (2)當(dāng) m=? 時(shí) ,判斷點(diǎn) D是否落在拋物線上 ?并說(shuō)明理由 。 (3)作 AG∥ y軸 ,交 OB于點(diǎn) F,交 BD于點(diǎn) G. ① 若△ DOE與△ BGF的面積相等 ,求 m的值 。 ② 連接 AE,交 OB于點(diǎn) △ AMF與△ BGF的面積相等 ,則 m的值是 . ? 3解析 (1)∵ 拋物線的對(duì)稱軸是直線 x=? , ∴ AC=m,∴ BE=2AC=2m. (2)當(dāng) m=? 時(shí) ,點(diǎn) D落在拋物線上 .理由如下 : ∵ m=? ,∴ AC=? ,BE=2? . 把 x=2? 代入 y=x2? x3,得 y=(2? )2? 2? 3=3. ∴ OE=3=OC, 又 ∵∠ DEO=∠ ACO=90176。,∠ DOE=∠ AOC, ∴ △ OED≌ △ OCA, ∴ DE=AC=? ,∴ D(? ,3). 把 x=? 代入 y=x2? x3,得 y=(? )2? (? )3=3. ∴ 點(diǎn) D落在拋物線上 . 2m33 3 33 33 3 33 33 33 3 3(3)① 如圖 ,當(dāng) x=2m時(shí) ,y=2m23, ∴ OE=2m23. ∵ AG∥ y軸 ,∴ EG=AC=? BE, 12∴ FG=? OE. ∵ S△ DOE=S△ BGF,即 ? DEOE=? BGFG, ∴ DE=? BG=? AC. ∵∠ DOE=∠ AOC,∴ tan∠ DOE=tan∠ AOC, ∵∠ DEO=∠ ACO=90176。, ∴ ? =? ,∴ OE=? OC, ∴ 2m23=? ,∴ m=? . ② ? . 1212 1212 12DEOEACOC 1232 3232217.(2022麗水 ,24,12分 )某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練 ,出球口在桌面中線端點(diǎn) A處的正 上方 ,假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線固定不變 ,且落在中線上 ,在乒乓球運(yùn)行時(shí) ,設(shè)乒乓球 與端點(diǎn) A的水平距離為 x(米 ),與桌面的距離為 y(米 ),運(yùn)行時(shí)間為 t(秒 ),經(jīng)多次測(cè)試后 ,得到如下部 分?jǐn)?shù)據(jù) : t(秒 ) 0 … x(米 ) 0 1 2 … y(米 ) … (1)當(dāng) t為何值時(shí) ,乒乓球達(dá)到最大高度 ? (2)乒乓球落在桌面時(shí) ,與端點(diǎn) A的水平距離是多少 ? (3)乒乓球落在桌面上彈起后 ,y與 x滿足 y=a(x3)2+k。 ① 用含 a的代數(shù)式表示 k。 ② 球網(wǎng)高度為 ,球桌長(zhǎng) (2)米 ,若球彈起后 ,恰好有唯一的擊球點(diǎn) ,可以將球沿直線扣殺 到點(diǎn) A,求 a的值 . ? 解析 以點(diǎn) A為原點(diǎn) ,以桌面中線所在直線為 x軸 ,乒乓球發(fā)出時(shí)的水平運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?x軸正方向 , 豎直運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?y軸正方向 ,建立平面直角坐標(biāo)系 . (1)由表格中的數(shù)據(jù) ,可得 t=(秒 )時(shí) ,y最大 . ∴ 當(dāng) t為 (秒 )時(shí) ,乒乓球達(dá)到最大高度 . (2)由表格中數(shù)據(jù) ,可畫出 y關(guān)于 x的圖象 ,如圖 , ? 根據(jù)圖象的形狀 ,可判斷 y是 x的二次函數(shù) ,可設(shè) y=a(x1)2+. 將 (0,)代入 ,可得 a=? ,∴ y=? (x1)2+. 15 15當(dāng) y=0時(shí) ,解得 x1=? ,x2=? (舍去 ), ∴ 乒乓球落在桌面上時(shí) ,乒乓球與端點(diǎn) A的水平距離是 ? 米 . (3)① 由 (2)得乒乓球落在桌面上時(shí) ,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ? , 代入 y=a(x3)2+k,得 ? a+k=0,化簡(jiǎn)整理得 k=? a. ② 由題意可知 ,扣殺路線在直線 y=? x上 . 由①得 y=a(x3)2? a. 令 a(x3)2? a=? x,整理得 20ax2(120a+2)x+175a=0. 當(dāng) Δ=(120a+2)2420a175a=0時(shí)符合題意 , 解方程 ,得 a1=? ,a2=? . 當(dāng) a=? 時(shí) ,求得 x=? ,不符合題意 ,舍去 . 當(dāng) a=? 時(shí) ,求得 x=? ,符合題意 . 52 12525 ,02??????25 32??????? 141101414 1106 3510?? 6 3510??6 3510?? 3526 3510?? 352∴ 當(dāng) a=? 時(shí) ,能恰好將球扣殺到點(diǎn)