【正文】 4? , 即 y=4x212? x+18. (2)如圖 ,記拋物線 L3與 x軸交于點 G,其對稱軸與 x軸交于點 Q,過點 B作 BK⊥ x軸于點 K. ? 設 OK=t,則 BD=AB=2t,點 B的坐標為 (t,at2), 根據(jù)拋物線的軸對稱性 ,得 OQ=2t,OG=2OQ=4t. 則拋物線 L3的函數(shù)表達式為 y=a3x(x4t), ∵ 該拋物線過點 B(t,at2), 22322 2???????2322x???????2∴ at2=a3t(t4t), 又 ∵ t≠ 0,∴ ? =? . ? =? . 3aa 13ABEF 3211.(2022紹興 ,21,10分 )如果拋物線 y=ax2+bx+c過定點 M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線 . (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目 :請你寫出一條定點拋物線的一個解析式 .小敏寫出了 一個答案 :y=2x2+ 。丁發(fā)現(xiàn)當 x=2時 ,y= 同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的 ,則該同學是 ? ( ) 考點一 二次函數(shù)解析式 A組 20222022年浙江中考題組 五年中考 答案 B 假設甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正確 ,則 ? 解得 ? ∴ 該函數(shù)的解析式為 y=x22x+4. 若 1是方程 x2+bx+c=0的一個根 ,則 x=1是函數(shù) y=x2+bx+c的一個零點 , 當 x=1時 ,y=x22x+4=7≠ 0, ∴ 乙發(fā)現(xiàn)的結論不正確 . 當 x=2時 ,y=x22x+4=4, ∴ 丁發(fā)現(xiàn)的結論正確 . ∵ 四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的 , ∴ 假設成立 .故選 B. 21,24 3,4bcb? ????? ?? ???2,4,bc ???? ??思路分析 假設兩位同學發(fā)現(xiàn)的結論正確 ,用這兩位同學發(fā)現(xiàn)的結論去驗證另外兩位同學發(fā) 現(xiàn)的結論 ,只要找出一個正確 ,一個錯誤 ,即可得出正確選項 (本題選擇的甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正 確 ,利用頂點坐標求出 b、 c的值 ,然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征驗證乙和丁發(fā)現(xiàn)的結 論 ). 解題關鍵 本題考查了二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征 ,利用二次函數(shù)的 性質求出 b、 c的值是解題的關鍵 . 2.(2022寧波 ,10,4分 )拋物線 y=x22x+m2+2(m是常數(shù) )的頂點在 ? ( ) 答案 A ∵ y=x22x+m2+2, ∴ y=(x1)2+m2+1. ∴ 拋物線的頂點坐標為 (1,m2+1). 又 10,m2+10,∴ 頂點在第一象限 . 故選 A. 思路分析 根據(jù)配方法得出頂點坐標 ,從而判斷出頂點所在的象限 . 3.(2022紹興 ,8,4分 )矩形 ABCD的兩條對稱軸為坐標軸 ,點 A的坐標為 (2,1).一張透明紙上畫有一 個點和一條拋物線 ,平移透明紙 ,使紙上的點與點 A重合 ,此時拋物線的函數(shù)表達式為 y=x2,再次 平移透明紙 ,使紙上的點與點 C重合 ,則此時拋物線的函數(shù)表達式變?yōu)?? ( ) =x2+8x+14 =x28x+14 =x2+4x+3 =x24x+3 答案 A 如圖 ,A(2,1),則可得 C(2,1). 一點從 A(2,1)平移到 C(2,1),需要向左平移 4個單位 ,向下平移 2個單位 , 則所求表達式為 y=(x+4)22= x2+8x+14, 故選 A. 4.(2022寧波 ,11,4分 )二次函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)的圖象在 2x3這一段位于 x軸的下方 ,在 6x7 這一段位于 x軸的上方 ,則 a的值為 ? ( ) 答案 A 因為函數(shù) y=a(x4)24(a≠ 0)圖象的對稱軸是 x=4,又因為在 2x3時函數(shù)圖象在 x軸下 方 ,所以在 5x6時函數(shù)圖象也在 x軸下方 ,又因為在 6x7時函數(shù)圖象在 x軸上方 ,所以函數(shù)圖象 必過點 (6,0),所以 4a4=0,即 a=1. 解題關鍵 巧妙利用二次函數(shù)圖象的對稱性是解決此題的關鍵 . 5.(2022嘉興 ,14,5分 )把拋物線 y=x2先向右平移 2個單位 ,再向上平移 3個單位 ,平移后拋物線的表 達式是 . 答案 y=(x2)2+3 解析 y=x2? y=(x2)2? y=(x2)2+3. 評析 本題考查了二次函數(shù)圖象的平移 .二次函數(shù)平移的規(guī)律為“上加下減 ,左加右減” . 6.(2022嘉興、舟山 ,12,4分 )把二次函數(shù) y=x212x化為形如 y=a(xh)2+k的形式 : . 答案 y=(x6)236 解析 y=x212x=x212x+3636=(x6)236. 7.(2022湖州 ,15,4分 )如圖 ,已知拋物線 C1:y=a1x2+b1x+c1和 C2:y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點 ,頂點分別 為 A,B,與 x軸的另一交點分別為 M,N. 如果點 A與點 B、點 M與點 N都關于原點 O中心對稱 ,就稱 拋物線 C1和 C2為姐妹拋物線 .請你寫出一對姐妹拋物線 C1和 C2,使四邊形 ANBM恰好是矩形 .你 所寫的一對拋物線的函數(shù)表達式是 . ? 答案 y=? x2+2? x,y=? x2+2? x(答案不唯一 ) 3 3 3 3解析 連接 ,可得姐妹拋物線所對應的二次函數(shù)的二次項的系數(shù)互 為相反數(shù) ,一次項系數(shù)相等且不等于零 ,常數(shù)項都是零 ,設拋物線 C1的解析式為 y=ax2+bx, 根據(jù) 四邊形 ANBM恰好是矩形可得 OA=OM. 又 OA=MA,∴ △ AOM是等邊三角形 ,取 OM=2,則點 A的坐標是 (1,? ),點 M的坐標為 (2,0),可得 C1 的解析式為 y=? x2+2? x,則拋物線 C2的解析式為 y=? x2+2? x. 故答案可為 y=? x2+2? x,y=? x2+2? x. 33 3 3 33 3 3 38.(2022杭州 ,15,4分 )設拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)過 A(0,2),B(4,3),C三點 ,其中點 C在直線 x=2上 ,且 點 C到拋物線的對稱軸的距離等于 1,則拋物線的函數(shù)解析式為 . 答案 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2 18 14 18 34解析 把 A(0,2),B(4,3)兩點的坐標代入 y=ax2+bx+c(a≠ 0),可得 c=2,16a+4b=1,由點 C到拋物線對 稱軸的距離等于 1,可知拋物線的對稱軸是直線 x=1或 x=3,即 ? =1或 ? =3,由 ? 得 ? 由 ? 得 ? 故所求解析式為 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2. 2ba 2ba1 6 4 1 ,12abba????? ????1 ,81 ,4ab? ????? ????1 6 4 1 ,32abba????? ????1 ,83 ,4ab? ?????? ???18 14 18 349.(2022湖州 ,19,6分 )已知拋物線 y=ax2+bx3(a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(3,0),求 a,b的值 . 解析 把點 (1,0),(3,0)的坐標代入 y=ax2+bx3, 得 ? 解得 ? 即 a的值為 1,b的值為 2. 0 3,0 9 3 3,abab? ? ??? ? ? ?? 1,2,ab ??? ???10.(2022金華 ,23,10分 )在平面直角坐標系中 ,點 O為原點 ,平行于 x軸的直線與拋物線 L:y=ax2相 交于 A,B兩點 (點 B在第一象限 ),點 D在 AB的延長線上 . (1)已知 a=1,點 B的縱坐標為 2. ① 如圖 1,向右平移拋物線 L使該拋物線過點 B,與 AB的延長線交于點 C,求 AC的長 。 乙發(fā)現(xiàn) 1是方程 x2+bx+c=0的一個根 。第三章 變量與函數(shù) 167。 二次函數(shù) 中考數(shù)學 (浙江專用 ) 1.(2022杭州 ,9,3分 )四位同學在研究函數(shù) y=x2+bx+c(b,c是常數(shù) ),甲發(fā)現(xiàn)當 x=1時 ,函數(shù)有最小值 。丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為 3。 ② 如圖 2,若 BD=? AB,過點 B,D的拋物線 L2的頂點 M在 x軸上 ,求該拋物線的函數(shù)表達式 。 (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題 :已知定點拋物線 y=x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點 縱坐標的值最小時的解析式 .請你解答 . 解析 (1)不唯一 ,如 y=x22x+2. (2)∵ 定點拋物線的頂點坐標為 (b,c+b2+1),且 1+2b+c+1=1, ∴ c=12b,∴ 頂點縱坐標 c+b2+1=22b+b2=(b1)2+1, ∴ 當 b=1時 ,c+b2+1最小 ,即拋物線頂點縱坐標的值最小 ,此時 c=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x. 方法點撥 解決新定義題目 ,一定要先審清題意 . 1.(2022湖州 ,10,3分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,已知點 M,N的坐標分別為 (1,2),(2,1),若拋物線 y= ax2x+2(a≠ 0)與線段 MN有兩個不同的交點 ,則 a的取值范圍是 ? ( ) ≤ 1或 ? ≤ a? B.? ≤ a? ≤ ? 或 a? ≤ 1或 a≥ ? 14 13 14 1314 13 14考點二 二次函數(shù)的圖象與性質 答案 A 拋物線 y=ax2x+2恒過 (0,2)點 ,且對稱軸為直線 x=? . 易得直線 MN的解析式為 y=? x+? , 由 ? 消去 y得 3ax22x+1=0, ∵ Δ0,∴ a? . ① 當 a0時 ,若拋物線與線段 MN有兩個交點 , 則 ? ≤ ? 0, ∴ a≤ 1。 ,得 y=(x3)2,圖象經(jīng)過 A點 ,故 B不符合題意 。 ,得 y=x21,圖象不經(jīng)過 A點 ,故 D符合題意 . 故選 D. 關鍵提示 本題主要考查了函數(shù)圖象的平移 ,解題的關鍵是熟練掌握平移的規(guī)律 :左加右減 ,上 加下減 . 4.(2022杭州 ,9,3分 )設直線 x=1是函數(shù) y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù) ,且 a0)的圖象的對稱軸 ,下列說法 正確的是 ? ( ) m1,則 (m1)a+b0 m1,則 (m1)a+b0 m1,則 (m+1)a+b0 m1,則 (m+1)a+b0 答案 C ∵ 直線 x=1是函數(shù) y=ax2+bx+c(a0)的圖象的對稱軸 , ∴ 當 x=1時 ,函數(shù)取得最大值 ,且 ymax=a+b+c. ∵ 當 x=m(m≠ 1)時 ,y=am2+bm+c, ∴ a+b+cam2+bm+c, 即 a(m21)+b(m1)0,整理得 (m1)[(m+1)a+b]0, ∴ 當 m1時 ,(m+1)a+b0。選項 B,當 a=2時 ,y=2x2+4x1,Δ=424(2)(1)=80,即函數(shù)圖象與 x軸有兩個交點 ,錯誤 。 選項 D,二次函數(shù) y=ax22ax1圖象的對稱軸為 x=1,若 a0,則拋物線開口向下 ,當 x≤ 1時 ,y隨 x的 增大而增大 ,正確 .故選 D. 方法總結 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交點的個數(shù)可以利用判別式 Δ=b24ac來判 斷 ,當 Δ0時 ,圖象與 x軸有兩個交點 。當 Δ0時 ,圖象與 x軸沒有 交點 .二次函數(shù)的增減性要利用圖象開口方向和對稱軸的位置來確定 . 6.(2022紹興 ,9,4分 )拋物線 y=x2+bx+c(其中 b,c是常數(shù) )過點 A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段 y=0 (1≤ x≤ 3)有交點 ,則 c的值不可能是 ? ( ) 答案 A ∵ 拋物線過點 A(2,6),∴ 4+2b+c=6,b=? .∵ 拋物線的對稱軸與線段 y=0(1≤ x≤ 3) 有交點 ,∴ 1≤ ? ≤ 3,6≤ b≤ 2,即 6≤ ? ≤ 2,解得 6≤ c≤ 14,則 c的值不可能是 4,故選 A. 2 2 c?21b? 2 2 c?7.(2022湖州 ,9,3分 )定義 :若點 P(a,b)在函數(shù) y=? 的圖象上 ,將以 a為二次項系數(shù) ,b為一次項系數(shù) 構造的二次函數(shù) y=ax2+bx稱為函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” .例如 :點 ? 在函數(shù) y=? 的圖象 上 ,則函數(shù) y=2x2+? x稱為函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” .現(xiàn)給出以下兩個命題 : (1)存在函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” ,其圖象的對稱軸在 y軸的右側 . (2)函數(shù) y=? 的所有“派生函數(shù)”的圖象都經(jīng)過同一點 . 下列判斷正確的