【正文】 、 B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 , ∴ 點 B也在拋物線上 , 當(dāng) y=3時 ,? x2+? x=3, 整理 ,得 x24? x+9=0,? (1分 ) 解得 x=3? 或 x=? , ∴ 點 B的坐標(biāo)為 (3? ,3).? (2分 ) 2ba333 313 43333 33? 在 Rt△ AOC中 ,cos∠ AOC=? =? , ∴∠ AOC=30176。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。,∠ AHP=45176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當(dāng) m=0時 ,點 P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當(dāng) x=2時 ,無論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點 H的坐標(biāo)為 (2,4). 過點 A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點 D,分別過點 D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。時 ,求拋物線的解析式 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+mx2m經(jīng)過點 A(1,0), ∴ 0=1+m2m,解得 m=1. ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+x2. ∵ y=x2+x2=? ? , ∴ 頂點 P的坐標(biāo)為 ? . (2)拋物線 y=x2+mx2m的頂點 P的坐標(biāo)為 ? . 由點 A(1,0)在 x軸正半軸上 ,點 P在 x軸下方 ,∠ AOP=45176。時 ,求拋物線的解析式 。AB=? 5? 3? =15.? (9分 ) (其他解法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分 ) 4,4 0 ,mkm??? ??? 1, ???? ??22AF PF? 2255? 212 122 25.(2022天津 ,25,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 O(0,0),點 A(1,0).已知拋物線 y=x2+mx2m(m是常 數(shù) ),頂點為 P. (1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點 A時 ,求頂點 P的坐標(biāo) 。, 由勾股定理得 AP=? =? =5? .? (7分 ) 在 Rt△ PAB中 ,∠ PAB=90176。, ∴ OD=OA=4,∴ 點 D的坐標(biāo)為 (0,4), 設(shè)直線 PA的解析式為 y=kx+m(k≠ 0), 12 154 12 1542把 D(0,4),A(4,0)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PA的解析式為 y=x+4.? (5分 ) 由 x24x=x+4解得 x1=4,x2=1, ∵ 點 P在第二象限內(nèi) , ∴ x=1, 當(dāng) x=1時 ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點 P的坐標(biāo)為 (1,5),? (6分 ) ∵∠ PAF=∠ APF=45176。, ∴∠ PAF=45176。, ∴ PF=AF.? (5分 ) 設(shè)點 P的坐標(biāo)為 (x,x24x), ∵ 點 P在第二象限內(nèi) , ∴ x0,PF=x24x, 又 AF=4x, ∴ x24x=4x, 解得 x1=4(不符合題意 ,舍去 ),x2=1, 當(dāng) x=1時 ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點 P的坐標(biāo)為 (1,5),? (6分 ) ∴ PF=5. 設(shè)直線 PB的解析式為 y=kx+m(k≠ 0),且交 x軸于點 C, 把 P(1,5),B(1,3)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PB的解析式為 y=4x+1.? (7分 ) 當(dāng) y=0時 ,4x+1=0,∴ x=? , ∴ C? , ∴ AC=4? =? ,? (8分 ) 5,3,kmkm? ? ??? ? ? ?? 4, ???? ??141 ,04??????14 154∴ S△ PAB=S△ PAC+S△ ABC=? ? 5+? ? 3=15.? (9分 ) 解法二 :過點 B作 BE⊥ x軸于點 E,過點 P作 PF⊥ x軸于點 F,設(shè) PA與 y軸交于點 D. ? ∵ 點 A的坐標(biāo)為 (4,0),點 B的坐標(biāo)為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。, ∴∠ PAF=45176。 (2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點 P,當(dāng) PA⊥ BA時 ,求△ PAB的面積 . ? 解析 (1)解法一 :∵ 拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸為直線 x=2, ∴ ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) ∵ 拋物線過原點 ,對稱軸為直線 x=2, ∴ 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 由題圖可知 ,當(dāng) y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) 解法二 :拋物線 y=ax2+bx過原點 ,對稱軸為直線 x=2, 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 把 A(4,0),B(1,3)分別代入 y=ax2+bx中 ,得 ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) 2,23,baab? ?????? ? ??1, ??? ???16 4 0,3,abab???? ? ? ??1, ??? ???由題圖可知 ,當(dāng) y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) (2)解法一 :過點 B作 BE⊥ x軸于點 E,過點 P作 PF⊥ x軸于點 F, ? ∵ 點 A的坐標(biāo)為 (4,0),點 B的坐標(biāo)為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。時 ,? ≤ a≤ 1.? (8分 ) (4)n=m1(m1).(如圖 )? (10分 ) ? 評分說明 : (2)題 ,證明正確 ,但不先寫結(jié)論不扣分 。時 ,在 Rt△ OCE中 ,OC=? OE. ∵ OE=3,OC=3a, 3∴ 3a=3? .? (7分 ) ∴ a=? . ∴ 當(dāng) 45176。3.? (2分 ) (2)OE的長與 a值無關(guān) . 理由 :∵ y=ax2+2ax3a, ∴ C(0,3a),D(1,4a). ∴ 直線 CD的解析式為 y=ax3a.? (4分 ) 當(dāng) y=0時 ,x=3. ∴ OE=3. ∴ OE的長與 a值無關(guān) .? (5分 ) (3)當(dāng) β=45176。,求 a的取值范圍 。 (3)設(shè) ∠ DEO=β,45176。當(dāng) 0t6時 ,易得△ AEH≌ △ BFE≌ △ CGF≌ △ DHG,則 S四邊形 EFGH=S正方形 ABCD4S△ AEH=664? t(6t)=2t212t+36=2(t3)2+18,∴ 當(dāng) t=3時 ,四邊形 EFGH的面積取最 小值 ,最小值為 18 cm2. 123.(2022吉林 ,26,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=ax2+2ax3a(a0)與 x軸相交于 A,B兩 點 ,與 y軸相交于點 C,頂點為 D,直線 DC與 x軸相交于點 E. (1)當(dāng) a=1時 ,拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 ,OE= 。2022— 2022年全國中考題組 考點一 拋物線與距離、面積、角度 五年中考 1.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=? x2+? x+6與 x軸交于點 A,點 B,與 y軸交于點 C,若 D為 AB的中 點 ,則 CD的長為 ( ) A.? B.? C.? D.? 16 32154 92 132 152答案 D 由題意知 ,點 D是拋物線的對稱軸與 x軸的交點 ,所以點 D的坐標(biāo)為 ? .對于 y=? x2 +? x+6,令 x=0,得 y=6,所以 C(0,6).所以 CD=? =? =? .故選 D. 9 ,02??????16322 29 0 (0 6)2??? ? ????? 2254 1522.(2022新疆 ,14,5分 )如圖 ,在邊長為 6 cm的正方形 ABCD中 ,點 E,F,G,H分別從點 A,B,C,D同時出 發(fā) ,均以 1 cm/s的速度向點 B,C,D,A勻速運動 ,當(dāng)點 E到達(dá)點 B時 ,四個點同時停止運動 .在運動過 程中 ,當(dāng)運動時間為 s時 ,四邊形 EFGH的面積最小 ,其最小值是 cm2. ? 答案 3。18 解析 設(shè)運動時間為 t(0≤ t≤ 6)s,則 AE=BF=CG=DH=t cm,BE=CF=DG=AH=(6t)cm,當(dāng) t=0或 t= 6時 ,四邊形 EFGH的面積為 36 cm2。 (2)OE的長是否與 a值有關(guān) ,說明你的理由 ?！?β≤ 60176。 (4)以 DE為斜邊 ,在直線 DE的左下方作等腰直角三角形 P(m,n),直接寫出 n關(guān)于 m的函數(shù) 解析式及自變量 m的取值范圍 . ? 解析 (1)(1,4)。時 ,在 Rt△ OCE中 ,OC=OE. ∵ OE=3,OC=3a, ∴ 3a=3. ∴ a=1.? (6分 ) 當(dāng) β=60176?！?β≤ 60176。 333 (4)題 ,解析式正確給 1分 ,自變量取值范圍正確給 1分 . 4.(2022云南昆明 ,22,9分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸是直線 x=2,且拋物線與 x軸的 正半軸交于點 A. (1)求拋物線的解析式 ,并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng) y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍 。, ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ ODA=∠ PAF=45176。,∴ PF=AF=5, 在 Rt△ PFA中 ,∠ AFP=90176。, ∴ S△ ABP=? AP (2)若點 P在 x軸下方 ,當(dāng) ∠ AOP=45176。 (3)無論 m取何值 ,該拋物線都經(jīng)過定點 ∠ AHP=45176。,知點 P在第四象限 . 過點 P作 PQ⊥ x軸于點 Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。. ∵∠ DAH=90176。, ∴∠ ADH=45176。, ∴∠ DAE=∠ AHG. ∴ △ ADE≌ △ HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. 可得點 D的坐標(biāo)為 (3,1)或 (5,1). ① 當(dāng)點 D的坐標(biāo)為 (3,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . 35 145∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4,m2=? . 當(dāng) m=4時 ,點 P與點 H重合 ,不符合題意 , ∴ m=? . ② 當(dāng)點 D的坐標(biāo)為 (5,1)時 , 可得直線 DH的解析式為 y=? x+? . ∵ 點 P? 在直線 y=? x+? 上 , ∴ ? =? ? +? . 解得 m1=4(舍 ),m2=? .∴ m=? . 2 8,24m m m?????????35 1452 84mm? 35 2m???????14514514553 2232 8,24m m m?????????53 2232 84mm? 53 2m???????223223223綜上 ,m=? 或 m=? . 故拋物線的解析式為 y=x2? x+? 或 y=x2? x+? . 145 223145 285 223 4436.(2022寧夏 ,24,8分 )已知點 A(? ,3)在拋物線 y=? x2+? x上 ,設(shè)點 A關(guān)于拋物線對稱軸對稱的 點為 B. (1)求點 B的坐標(biāo) 。,即 ∠ AOB=30176。 (2)連接 AC,CD,BD,BC,設(shè)△ AOC,△ BOC,△ BCD的面積分別為 S1,S2和 S3,用等式表示 S1,S2,S3之間 的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。若不存在 ,請說明 理由 . ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過 A(1,0),B(3,0)兩點 ,∴ ? 解得 ? ∴ 該拋物線的解析式為 y=x22x3.? (2分 ) ∵ ? =1,? =4,∴ 點 D的坐標(biāo)為 (1,4).? (3分 ) (2)S1,S2,S3的數(shù)量關(guān)系為 S2=S1+S3. 過點 D作 DE⊥ x軸于點 E,作 DF⊥ y軸于點 F, ? 則在 Rt△ CFD中 ,CD2=2,CD=? .在 Rt△ EDB中 ,BD2=20. 1 0,9 3 ? ? ??? ? ? ?? 2, ???? ???2ba244ac ba?2在 Rt△ BOC中 ,BC2=18,BC=3? . ∵ CD2+BC2=BD2,∴ △ BCD為直角三角形 . ∵ S1=? OC=? 13=? , S2=? OC=? 33=? , S3=? CD=? 3? ? =3, S1+S3=? +3=? , ∴ S2=S1+S3.? (7分