【正文】 2y1y3 解析 ∵ A(4,y1),B(? ,y2),C(2,y3)都在拋物線 y=(x2)21上 , ∴ y1=3,y2=54? ,y3=15. ∵ 54? 315, ∴ y2y1y3. 222思路分析 將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式中求出縱坐標(biāo) ,直接比較大小 . 一題多解 設(shè) A、 B、 C三點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離分別為 d d d3.∵ y=(x2)21,∴ 對(duì)稱軸為 直線 x=2, ∴ d1=2,d2=2? ,d3=4, ∵ 2? 24,且 a=10, ∴ y2y1y3. 2219.(2022云南 ,20,8分 )已知二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A(0,3),B? 兩點(diǎn) . (1)求 b、 c的值 。的坐標(biāo)代入解析式求出 m的值 ,進(jìn)而求得點(diǎn) M的坐標(biāo) . 10.(2022遼寧沈陽(yáng) ,10,2分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,二次函數(shù) y=x2+2x3的圖象如圖所示 ,點(diǎn) A(x1,y1), B(x2,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn) ,其中 3≤ x1x2≤ 0,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? y2 y2 3 4 答案 D 二次函數(shù) y=x2+2x3=(x+1)24圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4).令 x2+2x3=0,解得 x1=3,x2=1, 則二次函數(shù) y=x2+2x3的圖象與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 (3,0),(1,0).由 3≤ x1x2≤ 0及二次函數(shù)的圖象 可知 ,y1,y2的大小不能確定 , ∴ 選項(xiàng) A,B錯(cuò)誤 。的坐標(biāo) ,由 點(diǎn) M39。的坐標(biāo)為 (m,m2+4), ∵ 點(diǎn) M39。.若點(diǎn) M39。根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點(diǎn)及對(duì) 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,二次函數(shù) 與一元二次方程的關(guān)系 ,不等式的性質(zhì)等知識(shí) ,a的符號(hào)決定拋物線的開口方向 ,? 的符號(hào)決 定拋物線對(duì)稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo) . 2ba6.(2022貴州貴陽(yáng) ,10,3分 )已知二次函數(shù) y=x2+x+6及一次函數(shù) y=x+m,將該二次函數(shù)在 x軸上方 的圖象沿 x軸翻折到 x軸下方 ,圖象的其余部分不變 ,得到一個(gè)新圖象 (如圖所示 ).當(dāng)直線 y=x+m 與新圖象有 4個(gè)交點(diǎn)時(shí) ,m的取值范圍是 ? ( ) ? ? m3 ? m2 m3 m2 254 254答案 D 易知拋物線 y=x2+x+6與 x軸交于點(diǎn) (2,0),(3,0), 依題意知 ,新圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=? 如圖 ,當(dāng)直線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) (2,0)時(shí) ,直線與新圖象有 3個(gè)交點(diǎn) ,此時(shí) ,m=2. 由方程組 ? 得 x2m6=0, 當(dāng)該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí) ,Δ=0241(m6)=4m+24=0,解得 m=6, 將 m=6代入方程組 ,解得方程組的解是 ? 故當(dāng)直線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) (0,6)時(shí) ,直線與新圖象有 3個(gè)交點(diǎn) ,此時(shí) ,m=6. 所以當(dāng) 6m2時(shí) ,直線 y=x+m與新圖象有 4個(gè)交點(diǎn) ,故選 D. ? 226( 2 3),6( 2 3).x x x xx x x?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??或2, 6y x my x x? ? ??? ? ? ??0, ??? ???思路分析 畫出直線 y=x,然后平移 ,判斷直線 y=x+m與新圖象有 4個(gè)交點(diǎn)的臨界位置 :一是直 線經(jīng)過點(diǎn) (2,0),求得 m=2。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),其對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點(diǎn) (1,0),∴ ① 錯(cuò)誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對(duì)稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個(gè)交點(diǎn) ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba思路分析 拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0),其對(duì)稱軸在 y軸右側(cè) ,由對(duì)稱性可以判斷①錯(cuò)誤 。當(dāng)直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過點(diǎn) A(3,0)時(shí) ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當(dāng) 2c≤ 5時(shí) ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn) .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時(shí) , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ,故選 D. ? 歸納總結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來 ,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結(jié)合 ,可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 5.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ① 拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0)。當(dāng) x1時(shí) ,y隨 x的增大而減小 ,選項(xiàng) C錯(cuò)誤 。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 2.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時(shí) ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因?yàn)?y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當(dāng) x=0時(shí) ,y=1,選項(xiàng) A錯(cuò)誤 。 167。 二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 20222022年北京中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,7,2分 )跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一 .運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作 是拋物線的一部分 ,運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度 y(單位 :m)與水平距離 x(單位 :m)近似滿足函數(shù)關(guān) 系 y=ax2+bx+c(a≠ 0).下圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的 x與 y的三組數(shù)據(jù) ,根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù) 據(jù) ,可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí) ,水平距離為 ? ( ) ? m m m m 答案 B 由題圖中給出的點(diǎn)可知 ,拋物線的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)在 0到 20之間 .若最高點(diǎn)的橫坐標(biāo) 為 10,由對(duì)稱性可知 ,(0,)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (20,),而 ,所以最高點(diǎn)的橫坐 標(biāo)大于 B. 2.(2022北京 ,6,4分 )將二次函數(shù) y=x22x+3化為 y=(xh)2+k的形式 ,結(jié)果為 ? ( ) =(x+1)2+4 =(x1)2+4 =(x+1)2+2 =(x1)2+2 答案 D y=x22x+3=(x22x+1)+2=(x1)2+ D. 3.(2022北京 ,10,4分 )請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上 ,并且與 y軸交于點(diǎn) (0,1)的拋物線的解析式 y= . 答案 x2+1(答案不唯一 ) 解析 拋物線即二次函數(shù)的圖象 , 則函數(shù)表達(dá)式應(yīng)為 y=ax2+bx+c(a≠ 0). ∵ 開口向上 ,∴ a0. ∵ 與 y軸交于點(diǎn) (0,1),∴ c=1. ∴ 滿足題設(shè)條件的一個(gè)拋物線的解析式為 y=x2+1,答案不唯一 . 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 教師專用題組 1.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 直線 x=1,選項(xiàng) B錯(cuò)誤 。當(dāng) x=1時(shí) ,y取得最小值 ,此時(shí) y= 3,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值 . 3.(2022陜西 ,10,3分 )對(duì)于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時(shí) ,y0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??4.(2022河北 ,16,2分 )對(duì)于題目“一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共 點(diǎn) .若 c為整數(shù) ,確定所有 c的值 .”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是 c=3或 4,則 ? ( ) 、乙的結(jié)果合在一起才正確 、乙的結(jié)果合在一起也不正確 答案 D 拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)可以看作拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)沿 y軸向上平移 c 個(gè)單位形成的 ,一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線 l: y=x+2沿 y軸向下平移 c個(gè)單位形成的直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .當(dāng) 直線 y=x+2c(即 l2)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí) ,0+2c=0,c=2。 ② 方程 ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 。由條件得拋物 線開口向下 ,作直線 y=2,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) ,可判斷②正確 。二是直線與拋物線 y=x2x6(2≤ x≤ 3)相切 ,這時(shí) ,方程組 ? 只有一組解 ,即方程 x2m6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,令根的判別式等于 0,可以求得 m= 象可知 ,當(dāng) 6m2時(shí) ,直線 y=x+m與新圖象有 4個(gè)交點(diǎn) . 2, 6y x my x x? ? ??? ? ? ??7.(2022呼和浩特 ,10,3分 )若滿足 ? x≤ 1的任意實(shí)數(shù) x,都能使不等式 2x3x2mx2成立 ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ? ( ) 1 ≥ 5 4 ≤ 4 12答案 D ∵ ? x≤ 1,∴ 不等式 2x3x2mx2可變形為 2x2xm? ,作出函數(shù) y=2x2xm,y=? 的圖 象 ,如圖所示 , ? 易知拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? ,∵ 當(dāng) ? x≤ 1時(shí) ,不等式 2x3x2mx2恒成立 ,即 2x2xm? 恒成 立 ,∴ 只需拋物線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x≤ ? 即可 ,將 x=? 代入 y=? ,得 y=4,將 ? 代入 y= 2x2xm,解得 m=4.∵ 拋物線越往上平移越符合題意 ,∴ m≤ 4. 12 2x 2x14 12 2x12 12 2x 1 ,42??????解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要將不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的問題來解決 ,同時(shí)要注意 本題中二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為 m,所以最后在判斷 m的取值范圍時(shí)不要寫反 . 8.(2022四川綿陽(yáng) ,10,3分 )將二次函數(shù) y=x2的圖象先向下平移 1個(gè)單位 ,再向右平移 3個(gè)單位 ,得到 的圖象與一次函數(shù) y=2x+b的圖象有公共點(diǎn) ,則實(shí)數(shù) b的取值范圍是 ? ( ) 8 8 ≥ 8 ≥ 8 答案 D 由題意可得 ,y=x2的圖象經(jīng)過兩次平移后得到 y=(x3)21的圖象 .? 將 ①代入②得 ,x28x+8b= ,所以 Δ=(8)24(8b)=4b+32≥ 0,所以 b≥ 8,故選