【正文】 (3,4)在拋 物線上 . (1)求該拋物線的解析式 。 (2)設 y=ax2+bx+c對稱軸右側 x軸上方的圖象上任一點為 P,在 x軸上有一點 A? ,試比較銳角 ∠ PCO與 ∠ ACO的大小 (不必證明 ),并寫出相應的 P點橫坐標 x的取值范圍 。 (3)直線 l與拋物線另一交點記為 B,Q為線段 BM上一動點 (點 Q不與 M重合 ).設 Q點坐標為 (t,n),過 Q作 QH⊥ x軸于點 H,將以點 Q,H,O,C為頂點的四邊形的面積 S表示為 t的函數 ,標出自變量 t的取 值范圍 ,并求出 S可能取得的最大值 . 7 ,02???????解析 (1)∵ x=1和 x=5對應的函數值相等 , ∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=2, 設頂點 M的坐標為 (2,p),則 p=122+16=8, ∴ M(2,8). 由題意得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=4x216x+8. (2)由 (1)知 M(2,8),易知 C(0,8). 當 x=? 時 ,∠ PCO=∠ ACO。 當 2+? x? 時 ,∠ PCO∠ ACO。 2,29 3 4 ,4 2 8 ,baa b ca b c? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ???4,1 6 ,8,abc??????? ??2472247當 ? x4時 ,∠ PCO∠ ACO. (3)由 ? 解得 ? 或 ? ∴ B點的坐標為 (1,28). ∵ Q為線段 BM上一動點 ,且不與 M重合 , ∴ Q(t,12t+16)(1≤ t2). ① 當 1≤ t0時 , S=? (t)(12t+168)+8(t)=6t212t=6(t1)26, ∵ 1≤ t0,∴ 當 t=1時 ,S最大 ,且 Smax=18. ② 當 0t? 時 ,S=? t8+? t(12t+16)=6t2+12t=6(t1)2+6, ∵ 0t? ,∴ 當 t=1時 ,S最大 ,且 Smax=6. ③ 當 ? t2時 ,S=? t8+? t(12t16)=6t24t=6? ? , ∵ ? t2,∴ 此時 S無最大值 . 247212 16,4 16 8yxy x x?? ??? ? ? ?? 1,28xy ???? ?? 2,8,xy ??? ???1243 12 124343 12 12213t???????23433.(2022內蒙古呼和浩特 ,25,12分 )已知 :拋物線 y=x2+(2m1)x+m21經過坐標原點 ,且當 x0時 ,y隨 x 的增大而減小 . (1)求拋物線的解析式 ,并寫出 y0時 ,對應 x的取值范圍 。 (2)設點 A是該拋物線上位于 x軸下方的一個動點 ,過點 A作 x軸的平行線交拋物線于另一點 D,再 作 AB⊥ x軸于點 B,DC⊥ x軸于點 C. ① 當 BC=1時 ,直接寫出矩形 ABCD的周長 。 ② 設動點 A的坐標為 (a,b),將矩形 ABCD的周長 L表示為 a的函數并寫出自變量的取值范圍 ,判斷 周長是否存在最大值 ,如果存在 ,求出這個最大值 ,并求出此時點 A的坐標 。如果不存在 ,請說明 理由 . 解析 (1)∵ 拋物線經過坐標原點 (0,0), ∴ m21=0,∴ m=177。1, ∴ y=x2+x或 y=x23x.?(2 分 ) ∵ 當 x0時 ,y隨 x的增大而減小 , ∴ y=x23x.? (3分 ) 由圖象知 :y0時 ,0x3.? (4分 ) (2)① 當 BC=1時 ,由拋物線的對稱性知點 D的縱坐標為 2. ∴ 矩形的周長為 6.? (5分 ) ② ∵ 點 A的坐標為 (a,b),∴ 當點 A在對稱軸左側時 ,矩形 ABCD的邊 BC=32a,AB=3aa2, 周長 L=2a2+2a+6,其中 0a? .? (7分 ) 當點 A在對稱軸右側時 ,矩形 ABCD的邊 BC=3(62a)=2a3,AB=3aa2, 周長 L=2a2+10a6,其中 ? a3,? (9分 ) ∴ 當 0a? 時 ,L=2? +? , 323232212a???????132∴ 當 a=? 時 ,L最大 =? ,A點坐標為 ? . 當 ? a3時 ,L=2? +? , ∴ 當 a=? 時 ,L最大 =? ,A點坐標為 ? .? (12分 ) 12 132 15,24???????32252a???????13252 132 55,24???????4.(2022遼寧沈陽 ,25,14分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,拋物線 y=? x2? x+2與 x軸交于 B、 C兩點 (點 B在點 C的左側 ),與 y軸交于點 A,拋物線的頂點為 D. (1)填空 :點 A的坐標為 ( , ),點 B的坐標為 ( , ),點 C的坐標為 ( , ),點 D的坐標為 ( , )。 (2)點 P是線段 BC上的動點 (點 P不與點 B、 C重合 ). ① 過點 P作 x軸的垂線交拋物線于點 E,若 PE=PC,求點 E的坐標 。 ② 在①的條件下 ,點 F是坐標軸上的點 ,且點 F到 EA和 ED的距離相等 ,請 直接 寫出線段 EF的長 。 ③ 若點 Q是線段 AB上的動點 (點 Q不與點 A、 B重合 ),點 R是線段 AC上的動點 (點 R不與點 A、 C 重合 ),請 直接 寫出△ PQR周長的最小值 . 23 43解析 (1)點 A的坐標為 (0,2),點 B的坐標為 (3,0),點 C的坐標為 (1,0),點 D的坐標為 ? . (2)① 設點 P的坐標為 (n,0). ∵ EP⊥ x軸 ,點 E在拋物線上 , ∴ 點 E的坐標為 ? . 又 ∵ PE=PC,∴ ? n2? n+2=1n, ∴ n1=? ,n2=1(不符合題意 ,舍去 ), ∴ 當 n=? 時 ,? n2? n+2=? ? ? ? +2=? , ∴ E? . ② ? 或 ? .(提示 :F為直線 EA與 ED夾角的平分線與坐標軸的交點 ,畫圖求解 ,不要漏解 ) ③ ? .(提示 :利用對稱及兩點間距離確定△ PQR周長的最小值 ) 81,3???????224,233n n n??? ? ?????23 433232 23 43 23232???????43 32???????5235,22???????32 523 2 6 5655.(2022內蒙古呼和浩特 ,25,12分 )如圖 ,已知直線 l的解析式為 y=? x1,拋物線 y=ax2+bx+2經過點 A(m,0),B(2,0),D? 三點 . (1)求拋物線的解析式及 A點的坐標 ,并在圖示坐標系中畫出拋物線 。 (2)已知點 P(x,y)為拋物線在第二象限部分上的一個動點 ,過點 P作 PE垂直 x軸于點 E,延長 PE與 直線 l交于點 F,請你將四邊形 PAFB的面積 S表示為點 P的橫坐標 x的函數 ,并求出 S的最大值及 S 最大時點 P的坐標 。 (3)將 (2)中 S最大時的點 P與點 B相連 ,求證 :直線 l上的任意一點關于 x軸的對稱點一定在 PB所在 直線上 . ? 1251,4??????解析 (1)∵ y=ax2+bx+2經過點 B、 D, ∴ ? 解之得 a=? ,b=? , ∴ y=? x2? x+2.? (2分 ) ∵ A(m,0)在拋物線上 , ∴ 0=? m2? m+2, 解得 m=4(m=2舍 ), ∴ A(4,0),? (3分 ) 圖象 (略 ).? (4分 ) (2)已知直線 l的解析式為 y=? x1, ∴ S=? ABPF=? 6PF 4 2 2 0 ,52,4abab? ? ???? ? ? ???14 1214 1214 121212 12=3? ? (5分 ) =? x23x+9=? (x+2)2+12,? (6分 ) 其中 4x0,? (7分 ) ∴ S最大 =12,此時點 P的坐標為 (2,2).? (9分 ) (3)證明 :∵ 直線 PB過點 P(2,2)和點 B(2,0), ∴ PB所在直線的解析式為 y=? x+1,? (10分 ) 設 Q? 是 y=? x1上的任一點 , 則 Q點關于 x軸的對稱點為 ? , 將 ? 代入 y=? x+1顯然成立 ,? (11分 ) ∴ 直線 l上的任意一點關于 x軸的對稱點一定在 PB所在直線上 .(12分 ) 21 1 1214 2 2x x x??? ? ? ? ?????34 34121,12aa???????121,1 2aa???????1,1 2aa???????126.(2022天津 ,25,10分 )已知拋物線 y=x2+bx3(b是常數 )經過點 A(1,0). (1)求該拋物線的解析式和頂點坐標 。 (2)P(m,t)為拋物線上的一個動點 ,P關于原點的對稱點為 P39。. ① 當點 P39。落在該拋物線上時 ,求 m的值 。 ② 當點 P39。落在第二象限內 ,P39。A2取得最小值時 ,求 m的值 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+bx3經過點 A(1,0), ∴ 0=1b3,解得 b=2, ∴ 拋物線的解析式為 y=x22x3. ∵ y=x22x3=(x1)24, ∴ 拋物線的頂點坐標為 (1,4). (2)① 由點 P(m,t)在拋物線 y=x22x3上 ,有 t=m22m3, 又點 P39。和 P關于原點對稱 , ∴ P39。(m,t), ∵ 點 P39。落在拋物線 y=x22x3上 , ∴ t=(m)22(m)3,即 t=m22m+3, ∴ m22m3=m22m+3, 解得 m1=? ,m2=? . 故 m的值為 ? 或 ? . ② 由題意知 ,P39。(m,t)在第二象限 , 3 33 3∴ m0,t0,即 m0,t0, 又拋物線 y=x22x3的頂點坐標是 (1,4),且開口向上 , ∴ 4≤ t0, 過點 P39。作 P39。H⊥ x軸 ,H為垂足 ,則有 H(m,0), 又 A(1,0),t=m22m3, 則 P39。H2=t2,AH2=(m+1)2=m22m+1=t+4, 當點 A和 H不重合時 ,在 Rt△ P39。AH中 ,P39。A2=P39。H2+AH2。 當點 A和 H重合時 ,AH=0,P39。A2=P39。H2,符合上式 . ∴ P39。A2=P39。H2+AH2,即 P39。A2=t2+t+4(4≤ t0). 記 y39。=t2+t+4,則 y39。=? +? (4≤ t0), ∴ 當 t=? 時 ,y39。取得最小值 , 把 t=? 代入 t=m22m3,得 ? =m22m3, 解得 m1=? ,m2=? , 212t???????1541212 122 1 42? 2 1 42?由 m0,可知 m=? 不符合題意 ,∴ m=? . 2 1 42?2 1 42?7.(2022遼寧沈陽 ,25,12分 )如圖 1,在平面直角坐標系中 ,O是坐標原點 ,拋物線 y=? x2? x+8 ? 與 x軸正半軸交于點 A,與 y軸交于點 B,連接 AB,點 M,N分別是 OA,AB的中點 ,Rt△ CDE≌ Rt△ ABO,且△ CDE始終保持邊 DE經過點 M,邊 CD經過點 N,邊 DE與 y軸交于點 H,邊 CD與 y軸交于點 G. (1)填空 :OA的長是 ,∠ ABO的度數是 度 。 (2)如圖 2,當 DE∥ AB時 ,連接 HN, ① 求證 :四邊形 AMHN是平行四邊形 。 ② 判斷點 D是否在該拋物線的對稱軸上 ,并說明理由 。 (3)如圖 3,當邊 CD經過點 O時 (此時點 O與點 G重合 ),過點 D作 DQ∥ OB,交 AB延長線于點 Q,延長 ED到點 K,使 DK=DN,過點 K作 KI∥ OB,在 KI上取一點 P,使得 ∠ PDK=45176。(點 P,Q在直線 ED的同 側 ),連接 PQ,請 直接 寫出 PQ的長 . 312 333圖 1 圖 2 圖 3 解析 (1)8。30. 提示 :y=? x2? x+8? , 令 y=0, 解得 x1=12,x2=8, ∴ OA=8. 令 x=0,則 y=8? ,∴ OB=8? . ∴ tan∠ ABO=? =? ,∴∠ ABO=30176。. (2)① 證明 :∵ DE∥ AB,∴ ? =? . 又 ∵ OM=AM,∴ OH=BH. 又 ∵ BN=AN,∴ HN∥ AM. ∴ 四邊形 AMHN是平行四邊形 . ② 點 D在該拋物線的對稱軸上 . 理由 :如圖 ,過點 D作