【正文】 +2,且 ? = ? +? ,則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為 . 21y11y 12答案 y=? 4x解析 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn) .設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)為 y=? (k≠ 0),所以 x1=? ,x2=? .又因?yàn)?x2=x1+2,所以 ? =? +2,等式兩邊同時(shí)除以 k得 ? =? +? .因?yàn)?? =? +? ,所以 ? =? ,所以 k= y=? . kx1ky2ky2ky1ky21y11y 2k21y11y12 2k 12 4x6.(2022湖南郴州 ,19,6分 )如圖 ,已知點(diǎn) A(1,2)是正比例函數(shù) y1=kx(k≠ 0)與反比例函數(shù) y2=? (m≠ 0)圖象的一個(gè)交點(diǎn) . (1)求正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)根據(jù)圖象直接回答 :在第一象限內(nèi) ,當(dāng) x取何值時(shí) ,y1y2. mx解析 (1)把點(diǎn) A(1,2)代入 y1=kx,得 k=2,? (1分 ) 所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為 y1=2x.? (2分 ) 把點(diǎn) A(1,2)代入 y2=? ,得 m=2,? (3分 ) 所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y2=? .? (4分 ) (2)0x1.? (6分 ) mx2x7.(2022上海 ,21,10分 )已知 :如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,正比例函數(shù) y=? x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 4,反比例函數(shù) y=? 的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,第一象限內(nèi)的點(diǎn) B在這個(gè)反比例函數(shù)的圖 象上 ,過(guò)點(diǎn) B作 BC∥ x軸 ,交 y軸于點(diǎn) C,且 AC=AB. 求 :(1)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式 。 (2)直線 AB的表達(dá)式 . ? 43mx解析 (1)∵ 正比例函數(shù) y=? x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 4,∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (3,4). ∵ 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,∴ m=12. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . (2)∵ AC=AB,∴ 點(diǎn) A在線段 BC的中垂線上 . ∵ BC∥ x軸 ,點(diǎn) C在 y軸上 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (3,4), ∴ 點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 6. ∵ 點(diǎn) B在反比例函數(shù)的圖象上 , ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)是 (6,2). 設(shè)直線 AB的表達(dá)式為 y=kx+b(k≠ 0),∴ ? ∴ ? ∴ 直線 AB的表達(dá)式為 y=? x+6. 4312x4 3 ,2 6 ,kbkb????? 2 ,? ????? ??231.(2022福建龍巖 ,9,4分 )已知點(diǎn) P(a,b)是反比例函數(shù) y=? 圖象上異于點(diǎn) (1,1)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,則 ? +? =? ( ) C.? D.? 1x11 a? 11 b?32 12考點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 答案 B 把點(diǎn) P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得 ab=1,因?yàn)?a≠ 1,b≠ 1,所以 ? +? =? =? =? =1,故選 B. 11 a? 11 b? 11(1 )(1 )baab? ? ???21 aba b ab??? ? ? 22 ab??2.(2022黑龍江哈爾濱 ,5,3分 )在反比例函數(shù) y=? 的圖象的每一條曲線上 ,y都隨 x的增大而減 小 ,則 k的取值范圍是 ? ( ) 1 0 ≥ 1 1 1k x?答案 A ∵ 在反比例函數(shù) y=? 的圖象的每一條曲線上 ,y都隨 x的增大而減小 ,∴ k10,∴ k A. 1k x?3.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點(diǎn) A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過(guò)點(diǎn) A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當(dāng) a=2時(shí) ,P(t,0)是 x軸上的動(dòng)點(diǎn) ,將點(diǎn) B繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。至點(diǎn) C. ① 若 t=1,直接寫(xiě)出點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 ② 若雙曲線 y=? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,求 t的值 。 (2)如圖 2,將圖 1中的雙曲線 y=? (x0)沿 y軸折疊得到雙曲線 y=? (x0),將線段 OA繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn) ,點(diǎn) A剛好落在雙曲線 y=? (x0)上的點(diǎn) D(d,n)處 ,求 m和 n的數(shù)量關(guān)系 . ? 8x8x8x 8x8x解析 (1)① C(1,3). ② 依題意 ,得點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (t,t+2). ∵ 雙曲線 y=? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,∴ t(t+2)=8, 解得 t=2或 4. (2)∵ 點(diǎn) A,D分別在雙曲線 y=? 和 y=? 上 , ∴ m=? ,n=? ,即 a=? ,d=? . ∵ OA=OD, ∴ a2+m2=d2+n2, ∴ ? +m2=? +n2, ∴ (mn)(m+n)(mn+8)(mn8)=0, ∵ m0,n0,∴ mn0,mn80, ∴ m+n=0或 mn=8. ∴ m和 n的數(shù)量關(guān)系是 m+n=0或 mn=8. 8x8x 8x8a 8d 8m 8n28m??????28n???????思路分析 (1)① 當(dāng) t=1時(shí) ,求出 PB的長(zhǎng)即可得出點(diǎn) C的坐標(biāo) 。② 由題意可知點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (t,t+2), 把點(diǎn) C的坐標(biāo)代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m 8n 28m?????? 28n???????方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合問(wèn)題的最常用的方法是由點(diǎn)的坐標(biāo)求相關(guān)線 段的長(zhǎng)度 ,用相關(guān)線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)的坐標(biāo) . 4.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,一次函數(shù) y=kx+5(k為常數(shù) ,且 k≠ 0)的圖象與反比例函數(shù) y=? 的 圖象交于 A(2,b),B兩點(diǎn) . (1)求一次函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)若將直線 AB向下平移 m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn) ,求 m 的值 . ? 8x解析 (1)∵ 點(diǎn) A(2,b)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ b=? =4,即點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,4).? (2分 ) 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入 y=kx+5,得 2k+5=4,解得 k=? . ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式是 y=? x+5.? (4分 ) (2)直線 AB向下平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度后的表達(dá)式為 y=? x+5m.(5分 ) 聯(lián)立 ? 消去 y,整理得 x2+2(5m)x+16=0.? (7分 ) ∵ 平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ Δ=4(5m)264=0. 解得 m=1或 m=9.? (10分 ) 8x82?1212128 ,1 5.2y xy x m? ?????? ? ? ???5.(2022江蘇蘇州 ,26,8分 )如圖 ,已知函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,B,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,2).過(guò)點(diǎn) A 作 AC∥ y軸 ,AC=1(點(diǎn) C位于點(diǎn) A的下方 ),過(guò)點(diǎn) C作 CD∥ x軸 ,與函數(shù)的圖象交于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) B作 BE ⊥ CD,垂足 E在線段 CD上 ,連接 OC,OD. (1)求△ OCD的面積 。 (2)當(dāng) BE=? AC時(shí) ,求 CE的長(zhǎng) . ? kx12解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,2), ∴ k=2. ∵ AC∥ y軸 ,AC=1,點(diǎn) C位于點(diǎn) A的下方 , ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,1).∵ CD∥ x軸 ,點(diǎn) D在函數(shù)圖象上 , ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (2,1).∴ S△ OCD=? 11=? . (2)∵ BE=? AC,∴ BE=? . ∵ BE⊥ CD,∴ 點(diǎn) B的縱坐標(biāo)為 ? . ∴ 點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 ? . ∴ CE=? 1=? . kx12 1212 12324343 136.(2022湖北黃岡 ,22,9分 )如圖 ,已知雙曲線 y=? 與兩直線 y=? x,y=kx? 分別相交 于 A,B,C,D四點(diǎn) . (1)當(dāng)點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,1)時(shí) ,A,B,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A( , ),B( , ),D( , )。 (2)證明 :以點(diǎn) A,D,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 。 (3)當(dāng) k為何值時(shí) ,?ADBC是矩形 ? ? 1x 1410, 4kk????????且解析 (1)? 。? 。(1,1). (2)證法一 :∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,過(guò)原點(diǎn)的直線 y=? x也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 , ∴ OA=OB. 同理 ,OC=OD. ∴ 四邊形 ADBC是平行四邊形 . 證法二 :∵ y=? x與 y=? 交于 A,B兩點(diǎn) , ∴ A? ,B? .∴ 由勾股定理知 ,OA2=(2)2+? =? ,OB2=22+? =? , ∴ OA2=OB2,∴ OA=OB. ∵ y=kx與 y=? 交于 C,D兩點(diǎn) , ∴ C? ,D? . ∴ OC2=? +k,OD2=? +k. 12,2???????12, 2???????1x 1414 1x12,2???????12, 2??????? 212??????174212???????1741x,k kk???????,k kk???????1k 1k∴ OC2=OD2,∴ OC=OD. ∴ 四邊形 ADBC是平行四邊形 . (3)當(dāng) k=4時(shí) ,?ADBC為矩形 . 理由 :當(dāng) OA=OC時(shí) ,AB=2OA=2OC=CD. ∴ ?ADBC為矩形 . 此時(shí)由 OA2=OC2得 ? +k=? ,∴ k2? k+1=0, ∴ k1=4,k2=? . 又 ∵ k≠ ? ,∴ k=4. ∴ 當(dāng) k=4時(shí) ,?ADBC為矩形 . 1k 174 17414147.(2022江蘇連云港 ,24,10分 )如圖 ,已知一次函數(shù) y=2x+2的圖象與 y軸交于點(diǎn) B,與反比例函數(shù) y= ? 的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為 A(1,m).過(guò)點(diǎn) B作 AB的垂線 BD,與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于點(diǎn) D (n,2). (1)求 k1和 k2的值 。 (2)若直線 AB、 BD分別交 x軸于點(diǎn) C、 E,試問(wèn)在 y軸上是否存在一點(diǎn) F,使得△ BDF∽ △ ACE?若 存在 ,求出點(diǎn) F的坐標(biāo) 。若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 1kx 2kx解析 (1)因?yàn)辄c(diǎn) A(1,m)在直線 y=2x+2上 ,所以 m=4,即 A(1,4). 將 A點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=? ,得 k1=4.? (2分 ) 過(guò)點(diǎn) A、 D分別作 y軸的垂線 ,垂足分別為點(diǎn) M、 N. ? 由題可得 B(0,2),又 D(n,2), 則 BN=4,BM=2,AM=1. 又因?yàn)?AB⊥ BD,所以易得△ ABM∽ △ BDN. 則 ? =? ,即 ? =? ,DN=8,所以 D(8,2). 將 D點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=? ,得 k2=16.? (6分 ) 1kxAMBN BMDN 142DN2kx(2)存在符合條件的點(diǎn) : 由 y=2x+2,得 C(1,0). 因?yàn)?OB=ON=2,DN=8,所以 OE=4. 易知 AE=5,CE=5,AC=2? ,BD=4? , 若△ BDF∽ △ ACE,則 ? =? ,即 ? =? . 所以 BF=10,所以 F(0,8).? (10分 ) 5 5BDAC BFAE 45255BF8.(2022江西 ,20,8分 )如圖 ,射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)相交于點(diǎn) P(2,4).已知點(diǎn) A(4,0), B(0,3),連接 AB,將 Rt△ AOB沿 OP方向平移 ,使點(diǎn) O移動(dòng)到點(diǎn) P,得到△ A39。PB39。.過(guò)點(diǎn) A39。作 A39。C∥ y軸交 雙曲線于點(diǎn) C. (1)求 k1與 k2的值 。 (2)求直線 PC的表達(dá)式 。 (3)直接寫(xiě)出線段 AB掃過(guò)的面積 . ? 2kx解析 (1)∵ 點(diǎn) P(2,4)在射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)上 ,∴ 4=2k1,4=? ,解得 k1=2,k2=8.? (2分 ) (2)∵ 點(diǎn) O(0,0)經(jīng)過(guò)平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) P(2,4), ∴ Rt△ AOB先向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 4個(gè)單位可得 Rt△ A39。PB39。. ∴ A(4,0)經(jīng)平移得 A39。(6,4).? (4分 ) ∵ A39。C∥ y軸 ,交雙曲線于點(diǎn) C, ∴ 點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 6, 當(dāng) x=6時(shí) ,y=? =? ,∴ C? .? (5分 ) 設(shè)直線 PC的表達(dá)式為 y=kx+b,k≠ 0, 則有 ? 解得 ? ∴ 直線 PC的表達(dá)式為 y=? x+? .? (6分 ) (3)22.? (8分 ) 2kx 22k86 43 46,3??????