【正文】 0) 解析 P,Q兩點關(guān)于對稱軸 x=1對稱 ,則 P,Q兩點到對稱軸 x=1的距離相等 ,設(shè)點 Q的橫坐標為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點的坐標為 (2,0). 42 m?考點三 二次函數(shù)的綜合應用 1.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計 ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (2)當 x取何值時 ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當 x=10時 ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達式 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 2.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線 L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點 (點 A在點 B的左側(cè) ),并與 y軸 相交于點 C. (1)求 A、 B、 C三點的坐標 ,并求△ ABC的面積 。 (2)將拋物線 L向左或向右平移 ,得到拋物線 L39。,且 L39。與 x軸相交于 A39。、 B39。兩點 (點 A39。在點 B39。的左側(cè) ), 并與 y軸相交于點 C39。,要使△ A39。B39。C39。和△ ABC的面積相等 ,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達 式 . 解析 (1)令 y=0,得 x2+x6=0, 解得 x=3或 x=2, ∴ A(3,0),B(2,0).? (2分 ) ∴ AB=5, 令 x=0,得 y=6, ∴ C(0,6),? (3分 ) ∴ OC=6, ∴ S△ ABC=? ABOC=? 56=15.? (4分 ) (2)由題意 ,得 A39。B39。=AB=5. 要使 S△ A39。B39。C39。=S△ ABC,只要拋物線 L39。與 y軸的交點為 C39。(0,6)或 C39。(0,6)即可 . 設(shè)所求拋物線 L39。:y=x2+mx+6,y=x2+nx6.? (7分 ) 又知 ,拋物線 L39。與拋物線 L的頂點縱坐標相同 , ∴ ? =? ,? =? , 解得 m=177。7,n=177。1(n=1舍去 ). 12 122244 m? 24 14??2244 n?? 24 14??∴ 拋物線 L39。的函數(shù)表達式為 y=x2+7x+6,y=x27x+6或 y=x2x6.? (10分 ) 思路分析 (1)令 y=0,求得點 A,點 B坐標 。令 x=0,求得點 C坐標 ,然后利用三角形面積公式求出△ ABC的面積 。(2)將拋物線向左或向右平移 ,A39。B39。=AB,要使△ A39。B39。C39。和△ ABC的面積相等 ,則點 C39。的 坐標為 (0,6)或 (0,6),然后根據(jù)拋物線向左或向右平移頂點縱坐標不變 ,求出滿足條件的拋物線 的函數(shù)表達式 . 解題關(guān)鍵 二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的題的本質(zhì)為點的坐標表示 ,其中多涉及二次函數(shù)圖象 的性質(zhì) ,象限中點的橫、縱坐標的正負 ,用點的坐標表示線段長度等 .根據(jù)題意準確找出點 C39。的 坐標是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=? x2+bx+c經(jīng)過點 A(2,0),B (8,0). (1)求拋物線的解析式 。 (2)點 C是拋物線與 y軸的交點 ,連接 BC,設(shè)點 P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點 ,PD⊥ BC,垂足為點 D. ① 是否存在點 P,使線段 PD的長度最大 ?若存在 ,請求出點 P的坐標 。若不存在 ,請說明理由 。 ② 當△ PDC與△ COA相似時 ,求點 P的坐標 . ? 14解析 (1)將 (2,0),(8,0)代入 y=? x2+bx+c, 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4.? (3分 ) (2)由 (1)知 C(0,4),又 B(8,0), ∴ 易知直線 BC的方程為 y=? x+4. ① 如圖 a,過點 P作 PG⊥ x軸于點 G,PG交 CB于點 E,易知 ∠ PED=∠ OCB, 在 Rt△ PDE中 ,PD=PEsin∠ PED=PEsin∠ OCB=? PE, ∴ 當線段 PE最長時 ,PD的長度最大 . 設(shè) P? (0t8), 則 E? ,即 PG=? t2+? t+4,EG=? t+4. ∴ PE=PGEG=? t2+2t=? (t4)2+4,0t8. 141 2 0,16 8 0,bcbc? ? ? ???? ? ? ?? 3 ,24.bc? ??????14 3212255213,442t t t??? ? ?????1,42tt????????14 32 1214 14當 t=4時 ,PE有最大值 4,此時 P點坐標為 (4,6), ∴ 當 P點坐標為 (4,6)時 ,PD的長度最大 ,為 ? .? (7分 ) ? 圖 a ② 由 A(2,0),B(8,0),C(0,4),易知 ∠ ACB=90176。,∴ Rt△ COA∽ Rt△ BOC,故當 Rt△ PDC與 Rt△ COA 相似時 ,就有 Rt△ PDC與 Rt△ BOC相似 , ∵ 相似三角形的對應角相等 ,∴∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO. (i)當 ∠ PCD=∠ CBO(Rt△ PDC∽ Rt△ COB)時 ,如圖 b, 855? 圖 b 有 CP∥ OB, ∵ C(0,4),∴ yP=4,由 ? x2+? x+4=4, 解得 x=6或 x=0(舍 ). 即 Rt△ PDC∽ Rt△ COB時 ,P(6,4)。 (ii)當 ∠ PCD=∠ BCO(Rt△ PDC∽ Rt△ BOC)時 , 如圖 c,過點 P作 PG⊥ x軸于 G,與直線 BC交于 F, ∴ PF∥ OC,∴∠ PFC=∠ BCO, 14 32∴∠ PCD=∠ PFC,∴ PF=PC. 設(shè) P? , 依題意 ,易知 n≠ 0, 同 (1),可知 PF=? n2+2n. 過點 P作 y軸的垂線 ,垂足為 N, ? 圖 c 在 Rt△ PNC中 , 213,442n n n??? ? ?????14PC2=PN2+NC2=n2+? =? n4? n3+? n2. ∵ PF=PC,∴ PF2=PC2,即 ? =? n4? n3+? n2,解得 n=3或 n=0(舍 ). 即 Rt△ PDC∽ Rt△ BOC時 ,P? . ∴ 當 Rt△ PDC與 Rt△ COA相似時 ,有 P(6,4)或 P? .? (12分 ) 2213 4442nn????? ? ? ?????????116 34 134221 24 nn????????116 34 134253,4??????253,4??????思路分析 (1)由待定系數(shù)法列方程組求出 b,c即可 。(2)由待定系數(shù)法求出直線 BC的方程 ,① 過 點 P作 PG⊥ x軸于點 G,交 CB于點 E,在 Rt△ PDE中可得 PD與 PE的關(guān)系 ,當線段 PE最長時 ,PD的 長度最大 ,設(shè)出 P點坐標 ,從而得出線段的長 ,由 PE=PGEG得二次函數(shù) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)得最 值及此時自變量的值 ,從而得 P點坐標 。② 首先由 A、 B、 C三點確定 ∠ ACB=90176。,從而 Rt△ COA ∽ Rt△ BOC,再結(jié)合條件得出 ∠ PCD=∠ CBO或 ∠ PCD=∠ BCO,然后以這兩種情況分別根據(jù)相 似性質(zhì)列方程求出 P點坐標 . 方法總結(jié) 這類二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的問題常用到二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法以 及三角形相似的判定與性質(zhì) ,在解題時也常從這些方面去考慮 ,尋找突破口 ,同時壓軸題?？疾? 分類討論思想 ,因而在解題時注意分類討論 . 4.(2022云南昆明 ,22,9分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸是直線 x=2,且拋物線與 x軸的 正半軸交于點 A. (1)求拋物線的解析式 ,并根據(jù)圖象直接寫出當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍 。 (2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點 P,當 PA⊥ BA時 ,求△ PAB的面積 . ? 解析 (1)解法一 :∵ 拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸為直線 x=2, ∴ ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) ∵ 拋物線過原點 ,對稱軸為直線 x=2, ∴ 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 由題圖可知 ,當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) 解法二 :拋物線 y=ax2+bx過原點 ,對稱軸為直線 x=2, 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 把 A(4,0),B(1,3)分別代入 y=ax2+bx中 ,得 ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) 2,23,baab? ?????? ? ??1, ??? ???16 4 0,3,abab???? ? ? ??1, ??? ???由題圖可知 ,當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) (2)解法一 :過點 B作 BE⊥ x軸于點 E,過點 P作 PF⊥ x軸于點 F, ? ∵ 點 A的坐標為 (4,0),點 B的坐標為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。, ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ PAF=45176。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。, ∴ PF=AF.? (5分 ) 設(shè)點 P的坐標為 (x,x24x), ∵ 點 P在第二象限內(nèi) , ∴ x0,PF=x24x, 又 AF=4x, ∴ x24x=4x, 解得 x1=4(不符合題意 ,舍去 ),x2=1, 當 x=1時 ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點 P的坐標為 (1,5),? (6分 ) ∴ PF=5. 設(shè)直線 PB的解析式為 y=kx+m(k≠ 0),且交 x軸于點 C, 把 P(1,5),B(1,3)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PB的解析式為 y=4x+1.? (7分 ) 當 y=0時 ,4x+1=0,∴ x=? , ∴ C? , ∴ AC=4? =? ,? (8分 ) 5,3,kmkm? ? ??? ? ? ?? 4, ???? ??141 ,04??????14 154∴ S△ PAB=S△ PAC+S△ ABC=? ? 5+? ? 3=15.? (9分 ) 解法二 :過點 B作 BE⊥ x軸于點 E,過點 P作 PF⊥ x軸于點 F,設(shè) PA與 y軸交于點 D. ? ∵ 點 A的坐標為 (4,0),點 B的坐標為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ PAF=45176。, ∴∠ ODA=∠ PAF=45176。, ∴ OD=OA=4,∴ 點 D的坐標為 (0,4), 設(shè)直線 PA的解析式為 y=kx+m(k≠ 0), 12 154 12 1542把 D(0,4),A(4,0)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PA的解析式為 y=x+4.? (5分 ) 由 x24x=x+4解得 x1=4,x2=1, ∵ 點 P在第二象限內(nèi) , ∴ x=1, 當 x=1時 ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點 P的坐標為 (1,5),? (6分 ) ∵∠ PAF=∠ APF=45176。, ∴ PF=AF=5, 在 Rt△ PFA中 ,∠ AFP=90176。, 由勾股定理得 AP=? =? =5? .? (7分 ) 在 Rt△ PAB中 ,∠ PAB=90176。, ∴ S△ ABP=? APAB=? 5? 3? =15.? (9分 ) (其他解法參照此標準給分 ) 4,4 0 ,mkm??? ??? 1, ???? ??22AF PF? 2255? 212 122 2思路分析 (1)已知拋物線的對稱軸為直