【正文】 ? ( ) ① AC垂直平分 BF。② AC平分 ∠ BAF。③ FP⊥ AB。④ BD⊥ AF. ? A.①③ B.①④ C.②④ D.③④ 答案 D 因為 AB是半圓的直徑 ,所以 ∠ ADB=∠ ACB=90176。,所以 BD、 AC是△ ABF的兩條高 ,因 為三角形三條高相交于一點 ,所以 PF⊥ AB,故③④正確 ,故選 D. 6.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,16,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于半徑為 5的☉ O,圓心 O到弦 BC的距離等于 3,則 ∠ A 的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 45 34 43答案 D 連接 CO并延長交☉ O于點 D,則 CD為☉ O的直徑 ,連接 BD,作 OE⊥ BC交 BC于點 E, 依題意可得 BD=2OE=6, 又 CD=25=10, 所以 BC=? =8,所以 tan D=? =? =? . ? 又因為 ∠ A=∠ D, 所以 tan A=? ,故選 D. 22CD BD?BCBD8643437.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,A,B,C,D是☉ O上的四個點 ,? =?. 若 ∠ AOB=58176。,則 ∠ BDC= 度 . ? AB︵BC︵答案 29 解析 連接 OC(圖略 ),∵ ? =? ,∴∠ AOB=∠ BOC=58176。,又點 D在圓上 ,∴∠ BDC=? ∠ BOC=29176。. AB︵BC︵ 1思路分析 連接 OC,由 ? 與 ? 相等可得圓心角 ∠ AOB=∠ BOC,再根據(jù)同弧所對的的圓周角 是圓心角的一半即可求得 ∠ BDC的度數(shù) . ︵ ︵8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176?；?130176。 解析 當(dāng) I在△ ABC的內(nèi)部時 ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。 當(dāng) I在△ ABC的外部時 , 如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。,∴∠ A=130176。. ? 圖 1 圖 2 12129.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點 A,B,C在☉ O上 ,CO的延長線交 AB于點 D,∠ A=50176。,∠ B=30176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 . ? 答案 110176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。=100176。,所以 ∠ DOB=180176。∠ BOC=180176。100176。=80176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。+80176。=110176。. 評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理的推論 ,屬容易題 . 10.(2022江蘇揚州 ,15,3分 )如圖 ,以△ ABC的邊 BC為直徑的☉ O分別交 AB、 AC于點 D、 E,連接 OD、 OE,若 ∠ A=65176。,則 ∠ DOE= 176。. ? 答案 50 解析 因為 ∠ A=65176。,所以 ∠ B+∠ C=115176。,因為 BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。,所以 ∠ ADO+∠ AEO=(180176?！?BDO)+(180176?！?OEC)=360176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176?！?A(∠ ADO+∠ AEO)=50176。. 11.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個 動點 ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。,則四邊形 MANB面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當(dāng)點 M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點時 ,四邊形 MANB的面積取最大值 .連接 MN,此時 MN為☉ O的直徑 ,故 MN=4,∵∠ AMB=45176。,∴∠ AOB=90176。,所以 AB=? OA=2? .故四邊形 MANB 面積的最大值為 ? ABMN=? 42? =4? . 2212 1 2212.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,在☉ O中 ,CD是直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 E,連接 AB=2? cm,∠ BCD=22176。3039。,則☉ O的半徑為 cm. ? 2答案 2 解析 連接 AC、 AO、 OB,∵ AB⊥ CD,∴∠ ACB=2∠ BCD=45176。,∠ AOB=2∠ ACB=90176。,又 OA= OB,由勾股定理知 OA2+OB2=AB2,得 OA=OB=2 cm,∴ ☉ O的半徑為 2 cm. 13.(2022江西 ,12,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AO=2,BC=2? ,則 ∠ BAC的度數(shù)為 . ? 3答案 60176。 解析 連接 OB、 OC,作 OD⊥ BC于點 D, 由垂徑定理可得 ,BD=CD=? ,∴ OD=? =1, ∵ sin∠ OBD=? ,∴∠ OBD=30176。, ∴∠ BOC=120176。,則 ∠ BAC=? ∠ BOC=60176。. 3 22OB BD?12 1214.(2022寧夏 ,15,3分 )已知正△ ABC的邊長為 6,那么能夠完全覆蓋這個正△ ABC的最小圓面的 半徑是 . 答案 2? 3解析 根據(jù)題意知 ,這個最小圓是正△ ABC的外接圓 ,設(shè)其半徑為 r,則 r=? 6sin 60176。=2? . 23 315.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,24,10分 )如圖 ,在 Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,以點 A為圓心 ,AC長為半徑的圓 交 AB于點 D,BA的延長線交☉ A于點 E,連接 CE,CD,F是☉ A上一點 ,點 F與點 C位于 BE兩側(cè) ,且 ∠ FAB=∠ ABC,連接 BF. (1)求證 :∠ BCD=∠ BEC。 (2)若 BC=2,BD=1,求 CE的長及 sin∠ ABF的值 . ? 解析 (1)證明 :∵∠ ACB=90176。,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。. ∵ DE是☉ A的直徑 ,∴∠ DCE=90176。, ∴∠ BEC+∠ CDE=90176。. ∵ AD=AC,∴∠ CDE=∠ ACD, ∴∠ BCD=∠ BEC.? (3分 ) (2)∵∠ BCD=∠ BEC,∠ EBC=∠ CBD,∴ △ BDC∽ △ BCE, ∴ ? =? =? . ∵ BC=2,BD=1,∴ BE=4,EC=2CD, ∴ DE=BEBD=3. 在 Rt△ DCE中 ,DE2=CD2+CE2=5CD2=9, ∴ CD=? ? ,∴ CE=? ? .? (6分 ) 過點 F作 FM⊥ AB于點 M, ∵∠ FAB=∠ ABC,∠ FMA=∠ ACB=90176。, ∴ △ AFM∽ △ BAC,∴ ? =? . BDBC35 565 5FMACAFBA∵ DE=3,∴ AD=AF=AC=? ,∴ AB=? , ∴ FM=? . 過點 F作 FN⊥ BC于點 N,∴∠ FNC=90176。. ∵∠ FAB=∠ ABC,∴ FA∥ BC, ∴∠ FAC=∠ ACB=90176。,∴ 四邊形 FNCA是矩形 . ∴ FN=AC=? ,NC=AF=? ,∴ BN=? . 在 Rt△ FBN中 ,BF=? . ∴ 在 Rt△ FBM中 ,sin∠ ABF=? =? ? .? (10分 ) ? 32 5291032 32 12 102FMBF95010思路分析 (1)由 ∠ ACB=90176。得 ∠ BCD+∠ ACD=90176。,由 DE是☉ A的直徑知 ∠ DCE=90176。,所以 ∠ BEC+∠ CDE=90176。,由 AD=AC得 ∠ CDE=∠ ACD,根據(jù)等角的余角相等可得結(jié)論 。(2)證得 △ BDC∽ △ BCE,求出 Rt△ DCE的各邊邊長 ,作 FM⊥ AB,構(gòu)造直角三角形 ,由相似求得 FM,作 FN⊥ BC于點 N,得矩形 FNCA和 Rt△ FNB,求得 FB的長 ,在 Rt△ FBM中 ,由 ? 求得 sin∠ ABF的值 . FB解后反思 本題考查了圓周角定理 ,勾股定理 ,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識 .由△ BDC∽ △ BCE不僅要求得 BE的長 ,還需得到結(jié)論 EC=2CD,這是求得 CE的關(guān)鍵 ,作出輔助線構(gòu)造直角三 角形和矩形是求相應(yīng)線段長度的有效途徑 . 16.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。 (2)連接 CO,求證 :CO平分 ∠ BCE. ? ???不 平 行證明 (1)∵∠ B=∠ D,∠ B=∠ E,∴∠ D=∠ E. ∵ CE∥ AD,∴∠ E+∠ DAE=180176。. ∴∠ D+∠ DAE=180176。.∴ AE∥ DC. ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 .? (5分 ) (2)過點 O作 OM⊥ EC,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N. ∵ 四邊形 AECD是平行四邊形 ,∴ AD=EC. 又 AD=BC,∴ EC=BC, ∴ OM=ON,∴ CO平分 ∠ BCE.? (10分 ) 思路分析 (1)根據(jù)“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等”可推出 ∠ E=∠ B,再由 ∠ D= ∠ B,CE∥ AD可推出 AE∥ DC,問題得證 。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相 等”是解決本題的關(guān)鍵 . 17.(2022貴州遵義 ,26,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作☉ O,交 BC于點 D,交 CA的延 長線于點 E,連接 AD、 DE. (1)求證 :D是 BC的中點 。 (2)若 DE=3,BDAD=2,求☉ O的半徑 。 (3)在 (2)的條件下 ,求弦 AE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC.? (2分 ) 又 ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點 .? (4分 ) (2)∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C, 又 ∵∠ B=∠ E,∴∠ C=∠ E,∴ DC=DE, ∴ BD=DE=3,? (5分 ) 又 BDAD=2,∴ AD=1.? (6分 ) 在 Rt△ ABD中 ,BD=3,AD=1, ∴ AB=? =? =? ,? (7分 ) 則☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) (3)解法一 :在△ CAB和△ CDE中 , ∠ B=∠ E,∠ C=∠ C(公共角 ), ∴ △ CAB∽ △ CDE,? (9分 ) 22BD AD?2231?102∴ ? =? ,? (10分 ) ∵ CA=AB=? ,∴ CE=? =? =? ? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? ? ? =? ? .? (12分 ) CBCACD10CB CDCA?6310?9595 45 10解法二 :連接 BE, ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ BEC=90176。.? (9分 ) 在△ ADC和△ BEC中 , ∠ ADC=∠ BEC=90176。,∠ C=∠ C, ∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) CDCACBD CBCA?3610?9 1 05∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) 4 1 0518.(2022廣州 ,23,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC=4? ,cos C=? . (1)動手操作 :利用尺規(guī)作以 AC為直徑的☉ O,并標(biāo)出☉ O與 AB的交點 D,與 BC的交點 E(保留作 圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)綜合應(yīng)用 :在你所作的圖中 , ①求證 :? =?。 ②求點 D到 BC的距離 . ? 5 55DE︵CE︵解析 (1)如圖所示即為所求 . ? (2)①證明 :如圖 ,連接 AE, ∵ AC為直徑 ,∴∠ AEC=90176。, 又 AB=AC,∴∠ BAE=∠ CAE, ∴ ? =?. DE︵CE︵? ②如圖 ,連接 CD,過點 D作 DF⊥ BC于 F, ∵ AB=AC=4? ,cos∠ ACB=? , ∴ EC=ACcos∠ ACB=4, ∴ BC=2CE=8,AE=? =8. ∵ AC為直徑 , ∴∠ ADC=90176。, ∴ S△ ABC=? ABCD, 又 ∠ AEC=90176。, 5 55 22AC CE?12∴ S△ ABC=? AEBC, ∴ ? ABCD=? AEBC. ∴ CD=? , ∴ AD=? =? , ∴ BD=ABAD=? . ∵ S△