【正文】 次函數(shù)解析式 ,確定 A點(diǎn)坐標(biāo) ,再把 A、 B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即 可得解 。 (2)用 m表示 P、 D點(diǎn)坐標(biāo) ,分類討論△ BDP為等腰三角形時(shí) PD的長(zhǎng) 。 (3)分點(diǎn) P39。落在 x軸和 y軸兩種情況討論 . 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤(rùn)是 160元 ,花卉的平均每盆利潤(rùn)是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ①盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加 2元 。 ②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤(rùn)分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (2)當(dāng) x取何值時(shí) ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn) W最大 ?最大總利潤(rùn)是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時(shí) ,總利潤(rùn) W最大 ,最大總利潤(rùn)是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 2.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+6x+c交 x軸于 A,B兩點(diǎn) ,交 y軸于點(diǎn) y=x5經(jīng)過點(diǎn) B, C. (1)求拋物線的解析式 。 (2)過點(diǎn) A的直線交直線 BC于點(diǎn) M. ①當(dāng) AM⊥ BC時(shí) ,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C重合 ),作直線 AM的平行線交直線 BC于點(diǎn) Q,若 以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo) 。 ②連接 AC,當(dāng)直線 AM與直線 BC的夾角等于 ∠ ACB的 2倍時(shí) ,請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo) . 解析 (1)∵ 直線 y=x5交 x軸于點(diǎn) B,交 y軸于點(diǎn) C, ∴ B(5,0),C(0,5), ∵ 拋物線 y=ax2+6x+c過點(diǎn) B,C, ∴ ? ∴ ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+6x5.? (3分 ) (2)① ∵ OB=OC=5,∠ BOC=90176。,∴∠ ABC=45176。. ∵ 拋物線 y=x2+6x5交 x軸于 A,B兩點(diǎn) , ∴ A(1,0).∴ AB=4.∵ AM⊥ BC,∴ AM=2? . ∵ PQ∥ AM,∴ PQ⊥ BC. 若以點(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,則 PQ=AM=2? . 過點(diǎn) P作 PD⊥ x軸交直線 BC于點(diǎn) D,則 ∠ PDQ=45176。. ∴ PD=? PQ=4.? (5分 ) 設(shè) P(m,m2+6m5),則 D(m,m5). 分兩種情況討論如下 : 0 25 30 ,? ? ?????? 1, ???? ???2 22(i)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC上方時(shí) , PD=m2+6m5(m5)=m2+5m=4. ∴ m1=1(舍去 ),m2=4.? (7分 ) (ii)當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC下方時(shí) , PD=m5(m2+6m5)=m25m=4. ∴ m3=? ,m4=? . 綜上 ,點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 4或 ? 或 ? .? (9分 ) ② M? 或 ? .? (11分 ) 【提示】作 AC的垂直平分線 ,交 BC于點(diǎn) M1,連接 AM1,過點(diǎn) A作 AN⊥ BC于點(diǎn) N,將△ ANM1沿 AN翻 折 ,得到△ ANM2,點(diǎn) M1,M2的坐標(biāo)即為所求 . 5 4 12?5 4 12?5 4 12?5 4 12?1 3 7,66???????2 3 7, ?思路分析 (1)求出直線 y=x5與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) B,C的坐標(biāo) ,用待定系數(shù)法求出拋物線的解 析式 。(2)因?yàn)椤?BOC是等腰直角三角形 ,得 ∠ ABC=45176。,求得 AM=2? ,因?yàn)橐渣c(diǎn) A,M,P,Q為頂點(diǎn) 的四邊形是平行四邊形 ,得 PQ=AM=2? ,過點(diǎn) P作 PD⊥ x軸交 BC于 D,易得 PD=4,設(shè)出點(diǎn) P的坐 標(biāo) ,則 |yPyD|=4,分類討論 ,解方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。(3)作線段 AC的垂直平分線 ,交 BC于點(diǎn) M1,易得 ∠ AM1B=2∠ ACB,作 AN⊥ BC于點(diǎn) N,作點(diǎn) M1關(guān)于直線 AN的對(duì)稱點(diǎn) M2,則 ∠ AM2C=2∠ ACB,分別 計(jì)算求出兩個(gè)點(diǎn) M的坐標(biāo) . 22疑難突破 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,考查知識(shí)點(diǎn)較多 ,難度大 .第 (1)問是常見的用待定系數(shù) 法求拋物線的解析式 。第 (2)問要用“鉛垂法”由 PQ的長(zhǎng)得出 PD的長(zhǎng) ,設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo) ,根據(jù) PD =4,分類討論列出方程 ,解方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。第 (3)問找使直線 AM與 BC夾角為 2∠ ACB的交點(diǎn) M,依據(jù)是“等腰三角形頂角的外角等于 2倍的底角” ,作 AC的垂直平分線確定點(diǎn) M1,得 ∠ AM1B =2∠ ACB,由等腰三角形兩底角 ∠ AM2C=∠ AM1B,用對(duì)稱性確定點(diǎn) M2,分別計(jì)算可以求出兩個(gè) 點(diǎn) M的坐標(biāo) . 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,23,10分 )某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為 16 米的矩形廣告牌 ,廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每 平方米 2 000元 ,設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為 x米 ,面積為 S平方米 . (1)求 S與 x之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并寫出自變量 x的取值范圍 。 (2)設(shè)計(jì)費(fèi)能達(dá)到 24 000元嗎 ?為什么 ? (3)當(dāng) x是多少米時(shí) ,設(shè)計(jì)費(fèi)最多 ?最多是多少元 ? 解析 (1)∵ 矩形的周長(zhǎng)為 16 米 ,一邊長(zhǎng)為 x米 , ∴ 其鄰邊長(zhǎng)為 (8x)米 . ∴ S=x(8x)=x2+8x. 其中 ,0x8.? (3分 ) (2)能 .理由如下 : ∵ 設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米 2 000元 , ∴ 當(dāng)設(shè)計(jì)費(fèi)為 24 000元時(shí) ,面積為 24 000247。2 000=12(平方米 ),令 x2+8x=12, 解得 x1=2,x2=6. ∴ 設(shè)計(jì)費(fèi)能達(dá)到 24 000元 .? (6分 ) (3)∵ S=x2+8x=(x4)2+16, ∴ 當(dāng) x=4時(shí) ,S取得最大值 ,且 Smax=16. 162 000=32 000(元 ). ∴ 當(dāng) x是 4 米時(shí) ,設(shè)計(jì)費(fèi)最多 ,最多是 32 000元 .? (10分 ) 思路分析 (1)一邊長(zhǎng)為 x米 ,用 x表示出其鄰邊的長(zhǎng) ,從而可求 S與 x的關(guān)系式 。(2)根據(jù)設(shè)計(jì)費(fèi)求 出面積 ,代入解析式能求出符合題意的邊長(zhǎng) ,所以答案是肯定的 。(3)把解析式表示成頂點(diǎn)式 ,求 出最大面積 ,進(jìn)而求出最多的設(shè)計(jì)費(fèi) . 方法規(guī)律 用函數(shù)探究實(shí)際問題中的最值問題一般有兩種方法 :一種是列出一次函數(shù)解析式 , 分析自變量的取值范圍 ,得出最值 。另一種是建立二次函數(shù)模型 ,列出二次函數(shù)關(guān)系式 ,整理成 頂點(diǎn)式 ,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于 0時(shí) ,有最大值 ,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ,自變量的取值即為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) 。當(dāng) 二次項(xiàng)系數(shù)大于 0時(shí) ,有最小值 ,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ,自變量的取值即為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) . 4.(2022天津 ,25,10分 )已知拋物線 y=x2+bx3(b是常數(shù) )經(jīng)過點(diǎn) A(1,0). (1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo) 。 (2)P(m,t)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 P39。. ①當(dāng)點(diǎn) P39。落在該拋物線上時(shí) ,求 m的值 。 ②當(dāng)點(diǎn) P39。落在第二象限內(nèi) ,P39。A2取得最小值時(shí) ,求 m的值 . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過點(diǎn) A(1,0), ∴ 0=1b3,解得 b=2, ∴ 拋物線的解析式為 y=x22x3. ∵ y=x22x3=(x1)24, ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4). (2)①由點(diǎn) P(m,t)在拋物線 y=x22x3上 ,有 t=m22m3, 又點(diǎn) P39。和 P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,∴ P39。(m,t), ∵ 點(diǎn) P39。落在拋物線 y=x22x3上 , ∴ t=(m)22(m)3,即 t=m22m+3, ∴ m22m3=m22m+3,解得 m1=? ,m2=? . 故 m的值為 ? 或 ? . ②由題意知 ,P39。(m,t)在第二象限 , ∴ m0,t0,即 m0,t0, 又拋物線 y=x22x3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,4),且開口向上 , 3333∴ 4≤ t0, 過點(diǎn) P39。作 P39。H⊥ x軸 ,H為垂足 ,則有 H(m,0), 又 A(1,0),t=m22m3, 則 P39。H2=t2,AH2=(m+1)2=m22m+1=t+4, 當(dāng)點(diǎn) A和 H不重合時(shí) ,在 Rt△ P39。AH中 ,P39。A2=P39。H2+AH2。 當(dāng)點(diǎn) A和 H重合時(shí) ,AH=0,P39。A2=P39。H2,符合上式 . ∴ P39。A2=P39。H2+AH2,即 P39。A2=t2+t+4(4≤ t0). 記 y39。=t2+t+4,則 y39。=? +? (4≤ t0), ∴ 當(dāng) t=? 時(shí) ,y39。取得最小值 , 把 t=? 代入 t=m22m3,得 ? =m22m3, 解得 m1=? ,m2=? , 由 m0,可知 m=? 不符合題意 , 212t???????1541212 121 42? 1 42?2∴ m=? . 1 42?思路分析 (1)把 A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得 b的值 ,進(jìn)而用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn) 坐標(biāo) . (2)①由對(duì)稱可表示出 P39。點(diǎn)的坐標(biāo) ,再由 P和 P39。都在拋物線上 ,可得到關(guān)于 m的方程 ,即可求得 m的 值 。②由點(diǎn) P39。在第二象限及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) ,可求得 t的取值范圍 ,由勾股定理可得 P39。A2關(guān)于 t的 二次函數(shù)解析式 ,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得 P39。A2取得最小值時(shí) t的值 ,進(jìn)而可求得 m的值 . 解題關(guān)鍵 在 (2)①中求得 P39。點(diǎn)的坐標(biāo) ,得到關(guān)于 m的方程是解題的關(guān)鍵 ,在 (2)②中用 t表示出 P39。 A2是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022安徽 ,22,12分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(2,4)與 B(6,0). (1)求 a,b的值 。 (2)點(diǎn) C是該二次函數(shù)圖象上 A,B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn) ,橫坐標(biāo)為 x(2x6).寫出四邊形 OACB的面 積 S關(guān)于點(diǎn) C的橫坐標(biāo) x的函數(shù)表達(dá)式 ,并求 S的最大值 . ? 解析 (1)將 A(2,4)與 B(6,0)代入 y=ax2+bx, 得 ? 解得 ? ? (5分 ) (2)如圖 ,過 A作 x軸的垂線 ,垂足為 D(2,0),連接 CD,過 C作 CE⊥ AD,CF⊥ x軸 ,垂足分別為 E,F. 4 2 4,36 6 0,abab???? ???1 ,23.ab? ???????二次函數(shù)表達(dá)式為 y=? x2+3x. S△ OAD=? ODAD=? 24=4, 112 1S△ ACD=? ADCE=? 4(x2)=2x4, S△ BCD=? BDCF=? 4? =x2+6x,? (8分 ) 則 S=S△ OAD+S△ ACD+S△ BCD=4+(2x4)+(x2+6x)=x2+8x. 所以 S關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式為 S=x2+8x(2x6).? (10分 ) 因?yàn)?S=(x4)2+16, 所以當(dāng) x=4時(shí) ,四邊形 OACB的面積 S取最大值 ,最大值為 16.(12分 ) 12 1212 1221 32 xx????????6.(2022天津 ,25,10分 )已知拋物線 C:y=x22x+1的頂點(diǎn)為 P,與 y軸的交點(diǎn)為 Q,點(diǎn) F? . (1)求點(diǎn) P,Q的坐標(biāo) 。 (2)將拋物線 C向上平移得拋物線 C39。,點(diǎn) Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 Q39。,且 FQ39。=OQ39。. ①求拋物線 C39。的解析式 。 ②若點(diǎn) P關(guān)于直線 Q39。F的對(duì)稱點(diǎn)為 K,射線 FK與拋物線 C39。相交于點(diǎn) A,求點(diǎn) A的坐標(biāo) . 11,2??????解析 (1)∵ y=x22x+1=(x1)2, ∴ 頂點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,0). ∵ 當(dāng) x=0時(shí) ,y=1, ∴ 點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (0,1). (2)①根據(jù)題意 ,設(shè)拋物線 C39。的解析式為 y=x22x+m, 則點(diǎn) Q39。的坐標(biāo)為 (0,m),其中 m1,得 OQ39。=m. ∵ 點(diǎn) F? , 11,2??????過點(diǎn) F作 FH⊥ OQ39。,垂足為 H,則 FH=1,Q39。H=m? . 在 Rt△ FQ39。H中 ,根據(jù)勾股定理 ,得 FQ39。2=Q39。H2+FH2. ∴ FQ39。2=? +12=m2m+? . 12212m???????54∵ FQ39。=OQ39。,∴ m2m+? =m2,解得 m=? . ∴ 拋物線 C39。的解析式為 y=x22x+?