【正文】 2千克以內(nèi)時 ,每千克 10元 ,當超 過 2千克時 ,超過的部分每千克 8元 ,故一次購買 3千克這種蘋果需 28元 。分三次每次購買 1千克這 種蘋果需 30元 ,所以一次購買 3千克這種蘋果比分三次每次購買 1千克這種蘋果可節(jié)省 2元 . 二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022北京東城一模 ,14)將直線 y=x沿 y軸向上平移 2個單位長度后 ,所得直線的函數(shù)表達式為 ,這兩條直線間的距離為 . 答案 y=x+2。? 2解析 直線 y=x沿 y軸向上平移 2個單位長度得直線 y=x+ 段的長度 ,過點 O作直線 y=x+2的垂線段 OA,則 OA與直線 y=x+2及 y軸圍成一個等腰直角三角形 . 其中底邊長為 2,則腰 OA的長為 ? ,所以兩條直線間的距離為 ? . 2 24.(2022北京朝陽二模 ,13)寫出一個圖象經(jīng)過點 (1,1)的函數(shù)的表達式 ,所寫的函數(shù)的表達式為 . 答案 y=x(答案不唯一 ) 解析 可設(shè)函數(shù)的表達式為 y=kx(k≠ 0), ∵ 經(jīng)過點 (1,1), ∴ k=1. ∴ 函數(shù)表達式為 y= . 5.(2022北京東城一模 ,12)請你寫出一個一次函數(shù) ,滿足條件 :① 經(jīng)過第一、三、四象限 。② 與 y 軸的交點坐標為 (0,1).此一次函數(shù)的解析式可以是 . 答案 y=x1(答案不唯一 ) 解析 設(shè)表達式為 y=kx+b,因為圖象經(jīng)過第一、三、四象限 ,則直線從左到右上升 ,所以 k0,又 與 y軸交于點 (0,1),則 b= ,只要滿足 k0且 b=1即可 . 三、解答題 (共 45分 ) 6.(2022北京東城一模 ,22)已知函數(shù) y=? (x0)的圖象與一次函數(shù) y=ax2(a≠ 0)的圖象交于點 A(3,m). (1)求實數(shù) a的值 。 (2)設(shè)一次函數(shù) y=ax2(a≠ 0)的圖象與 y軸交于點 C在 y軸上 ,且 S△ ABC=2S△ AOB,求點 C的坐標 . 3x解析 (1)∵ 點 A(3,m)在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ m=1,點 A(3,1). ∵ 直線 y=ax2(a≠ 0)過點 A(3,1), ∴ 3a2=1, 解得 a=1. (2)由 (1)知一次函數(shù)為 y=x2,易求得 B(0,2). ∵ S△ AOB=? OB| xA|,S△ ABC=? BC| xA|, 且 S△ ABC=2S△ AOB, ∴ BC=2OB=4. ∴ C點坐標為 (0,2)或 (0,6). 3x12 12思路分析 本題第二問需要借助三角形的面積關(guān)系尋找底邊的關(guān)系 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是通過表示面積發(fā)現(xiàn)底邊的關(guān)系 ,同時在圖形位置不確定的時候 要分類討論 . 7.(2022北京豐臺一模 ,22)在平面直角坐標系 xOy中 ,反比例函數(shù) y=? 的圖象與一次函數(shù) y=kx+b 的圖象的交點分別為 P(m,2),Q(2,n). (1)求一次函數(shù)的表達式 。 (2)過點 Q作平行于 y軸的直線 ,點 M為此直線上的一點 ,當 MQ=PQ時 ,直接寫出點 M的坐標 . 2x解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點 P(m,2),Q(2,n), ∴ m=1,n=1. ∴ 點 P,Q的坐標分別為 (1,2),(2,1). ∵ 一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過點 P(1,2),Q(2,1), ∴ ? 解得 ? ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y=x+1. (2)點 M的坐標為 (2,1+3? )或 (2,13? ). 提示 :因為 P,Q兩點的坐標分別為 (1,2),(2,1),所以 PQ=3? ,又因為 MQ=PQ,所以 MQ=3? ,且點 M的橫坐標為 2,所以點 M的坐標為 (2,1+3? )或 (2,13? ). 2x2,2 1,kbkb????? ? ? ?? 1, ??? ??2 22 22 28.(2022北京延慶一模 ,22)在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=kx+b(k≠ 0)與 x軸交于點 A,與 y軸交 于點 B,與反比例函數(shù) y=? (m≠ 0)的圖象在第一象限交于點 P(1,3),連接 OP. (1)求反比例函數(shù) y=? (m≠ 0)的表達式 。 (2)若△ AOB的面積是△ POB的面積的 2倍 ,求直線 y=kx+b(k≠ 0)的表達式 . mxmx解析 (1)∵ y=? (m≠ 0)的圖象經(jīng)過點 P(1,3), ∴ 3=? ,∴ m=3,即 y=? . (2)如圖① ,作 PE⊥ OB于 E,則 PE=1. ∵ S△ AOB=2S△ POB, ∴ OA=2PE=2, ∴ A(2,0), 將 A(2,0),P(1,3)代入 y=kx+b(k≠ 0), 可得 ? ∴ ? ∴ 直線 AB的表達式為 y=3x+6. mx1m 3x0 2 ,3,kbkb???? ???3,6,kb ???? ??? 圖① 同理 ,如圖② ,直線 AB的表達式為 y=x+2. ? 圖② 綜上 ,直線 AB的表達式為 y=3x+6或 y=x+2. 9.(2022北京西城二模 ,23)如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過點 A(4,n), AB⊥ x軸于點 B,點 C與點 A關(guān)于原點 O對稱 ,CD⊥ x軸于點 D,△ ABD的面積為 8. (1)求 m,n的值 。 (2)若直線 y=kx+b經(jīng)過點 C,且與 x軸 ,y軸的交點分別為點 E,F,當 CF=2CE時 ,求點 F的坐標 . ? mx解析 (1)∵ 點 A的坐標為 A(4,n),點 C與點 A關(guān)于原點 O對稱 , ∴ 點 C的坐標為 C(4,n). ∵ AB⊥ x軸于點 B,CD⊥ x軸于點 D, ∴ B,D兩點的坐標分別為 (4,0),(4,0). ∵ △ ABD的面積為 8,且 S△ ABD=? ABBD=? (n)8=4n, ∴ 4n=8,解得 n=2. ∵ 函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過點 A(4,n), ∴ m=4n=8. (2)由 (1)得點 C的坐標為 C(4,2). 如圖① ,當 k0時 ,設(shè)直線 y=kx+b與 x軸 ,y軸的交點分別為 E1,F1. 12 12mx? 圖① 由 CD⊥ x軸于點 D可得 CD∥ OF1. ∴ △ E1CD∽ △ E1F1O,∴ ? =? . ∵ CF1=2CE1,∴ ? =? ,∴ OF1=3DC=6. ∴ 點 F1的坐標為 (0,6). 如圖② ,當 k0時 ,設(shè)直線 y=kx+b與 x軸 ,y軸的交點分別為 E2,F2. 1DCOF 111ECEF1DCOF13圖② 同理可得 ,? =? . ∵ CF2=2CE2, ∴ E2為線段 CF2的中點 ,E2C=E2F2. ∴ OF2=DC=2. ∴ 點 F2的坐標為 (0,2). 綜上 ,點 F的坐標為 (0,6)或 (0,2). 2DCOF 222ECEF10.(2022北京海淀一模 ,21)在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 l1:y=k1x+b過 A(0,3),B(5,2), 直線 l2:y=k2x+2. (1)求直線 l1的表達式 。 (2)當 x≥ 4時 ,不等式 k1x+bk2x+2恒成立 ,請寫出一個滿足題意的 k2的值 . ? 解析 (1)∵ 直線 l1:y=k1x+b過 A(0,3),B(5,2), ∴ ? ∴ ? ∴ 直線 l1的表達式為 y=x3. (2)答案不唯一 ,滿足 k2? 即可 . 13,5 2 .b kb???? ??? 1 1, ??? ???1411.(2022北京西城一模 ,22)在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=x1與 y軸交于點 A,與雙曲線 y=? 交 于點 B(m,2). (1)求點 B的坐標及 k的值 。 (2)將直線 AB平移 ,使它與 x軸交于點 C,與 y軸交與點 △ ABC的面積為 6,求直線 CD的表達式 . ? kx解析 (1)∵ 點 B(m,2)在直線 y=x1上 , ∴ m1=2. 解得 m=3. ∴ B(3,2). 又 ∵ 點 B(3,2)在雙曲線 y=? 上 , ∴ k=6. (2)設(shè)平移后的直線的表達式為 y=x+b, 則它與 y軸交于點 D(0,b). ∵ AB∥ CD, ∴ S△ ABD=S△ ABC. ∴ S△ ABD=? ADxB=6. ∴ AD=4. ∴ b+1=4或 1b=4. ∴ b=3或 b=5. kx12∴ 平移后的直線的表達式為 y=x+3或 y=x5. ? 思路分析 (1)由點在圖象上求解 .(2)可以先表示出點 D的坐標 ,然后利用坐標表示面積 ,通過方 程來解決 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要通過點 D的坐標表示面積 ,由于點 D的位置不確定 ,所以要分 類討論 . 12.(2022北京西城一模 ,22)在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=? x+1與 x軸交于點 A,且與雙曲線 y= ? 的一個交點為 B? . (1)求點 A的坐標和雙曲線 y=? 的表達式 。 (2)若 BC∥ y軸 ,且點 C到直線 y=? x+1的距離為 2,求點 C的縱坐標 . 34kx 8 ,3 m??????kx34解析 (1)對于直線 y=? x+1,令 y=0,得 x=? , ∴ 點 A的坐標為 ? . ∵ 點 B? 在直線 y=? x+1上 , ∴ ? ? +1=m,解得 m=3. ∵ 點 B? 在雙曲線 y=? 上 , ∴ k=8. ∴ 雙曲線的表達式為 y=? . (2)當點 C在直線 AB的上方時 ,過點 C作 CD⊥ AB于點 D,延長 CB交 x軸于點 E,如圖 . 34 434 ,03???????8 ,3 m?????? 3434 838 ,33?????? kx8x? 由 (1)知 OA=? . ∵ BC∥ y軸 ,∴ CE⊥ x軸 . ∴∠ BEA=90176。,OE=? ,BE=3. ∴ AE=AO+OE=4. ∵ 在 Rt△ ABE中 ,BE=3,AE=4, ∴ AB=? =5. ∴ sin∠ ABE=? =? . 438322AE BE?AEAB 45∵ CD⊥ AB于點 D,點 C到直線 AB的距離為 2, ∴∠ CDB=90176。,CD=2. ∵∠ CBD=∠ ABE, ∴ 在 Rt△ CDB中 ,sin∠ CBD=? =? . ∴ CB=? .∴ CE=CB+BE=? . ∴ 點 C的縱坐標為 ? . 當點 C在直線 AB下方時 ,如圖 , ? CDCB4552 112112同理可求得 CB=? ,則 CE=BECB=? . ∴ 點 C的縱坐標為 ? . 綜上所述 ,點 C的縱坐標為 ? 或 ? . 52 1212112 12難點剖析 第 (2)問中 ,求 C的縱坐標可轉(zhuǎn)化為求 BC的長 ,由“距離”構(gòu)造直角三角形 ,解直角 三角形求解 . 解題關(guān)鍵 要充分理解距離的含義 ,同時在圖形的位置不確定時要考慮分類討論 .