【正文】 2千克以內(nèi)時(shí) ,每千克 10元 ,當(dāng)超 過 2千克時(shí) ,超過的部分每千克 8元 ,故一次購(gòu)買 3千克這種蘋果需 28元 。分三次每次購(gòu)買 1千克這 種蘋果需 30元 ,所以一次購(gòu)買 3千克這種蘋果比分三次每次購(gòu)買 1千克這種蘋果可節(jié)省 2元 . 二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022北京東城一模 ,14)將直線 y=x沿 y軸向上平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度后 ,所得直線的函數(shù)表達(dá)式為 ,這兩條直線間的距離為 . 答案 y=x+2。? 2解析 直線 y=x沿 y軸向上平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度得直線 y=x+ 段的長(zhǎng)度 ,過點(diǎn) O作直線 y=x+2的垂線段 OA,則 OA與直線 y=x+2及 y軸圍成一個(gè)等腰直角三角形 . 其中底邊長(zhǎng)為 2,則腰 OA的長(zhǎng)為 ? ,所以兩條直線間的距離為 ? . 2 24.(2022北京朝陽二模 ,13)寫出一個(gè)圖象經(jīng)過點(diǎn) (1,1)的函數(shù)的表達(dá)式 ,所寫的函數(shù)的表達(dá)式為 . 答案 y=x(答案不唯一 ) 解析 可設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為 y=kx(k≠ 0), ∵ 經(jīng)過點(diǎn) (1,1), ∴ k=1. ∴ 函數(shù)表達(dá)式為 y= . 5.(2022北京東城一模 ,12)請(qǐng)你寫出一個(gè)一次函數(shù) ,滿足條件 :① 經(jīng)過第一、三、四象限 。② 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1).此一次函數(shù)的解析式可以是 . 答案 y=x1(答案不唯一 ) 解析 設(shè)表達(dá)式為 y=kx+b,因?yàn)閳D象經(jīng)過第一、三、四象限 ,則直線從左到右上升 ,所以 k0,又 與 y軸交于點(diǎn) (0,1),則 b= ,只要滿足 k0且 b=1即可 . 三、解答題 (共 45分 ) 6.(2022北京東城一模 ,22)已知函數(shù) y=? (x0)的圖象與一次函數(shù) y=ax2(a≠ 0)的圖象交于點(diǎn) A(3,m). (1)求實(shí)數(shù) a的值 。 (2)設(shè)一次函數(shù) y=ax2(a≠ 0)的圖象與 y軸交于點(diǎn) C在 y軸上 ,且 S△ ABC=2S△ AOB,求點(diǎn) C的坐標(biāo) . 3x解析 (1)∵ 點(diǎn) A(3,m)在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ m=1,點(diǎn) A(3,1). ∵ 直線 y=ax2(a≠ 0)過點(diǎn) A(3,1), ∴ 3a2=1, 解得 a=1. (2)由 (1)知一次函數(shù)為 y=x2,易求得 B(0,2). ∵ S△ AOB=? OB| xA|,S△ ABC=? BC| xA|, 且 S△ ABC=2S△ AOB, ∴ BC=2OB=4. ∴ C點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,2)或 (0,6). 3x12 12思路分析 本題第二問需要借助三角形的面積關(guān)系尋找底邊的關(guān)系 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是通過表示面積發(fā)現(xiàn)底邊的關(guān)系 ,同時(shí)在圖形位置不確定的時(shí)候 要分類討論 . 7.(2022北京豐臺(tái)一模 ,22)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,反比例函數(shù) y=? 的圖象與一次函數(shù) y=kx+b 的圖象的交點(diǎn)分別為 P(m,2),Q(2,n). (1)求一次函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)過點(diǎn) Q作平行于 y軸的直線 ,點(diǎn) M為此直線上的一點(diǎn) ,當(dāng) MQ=PQ時(shí) ,直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo) . 2x解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點(diǎn) P(m,2),Q(2,n), ∴ m=1,n=1. ∴ 點(diǎn) P,Q的坐標(biāo)分別為 (1,2),(2,1). ∵ 一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn) P(1,2),Q(2,1), ∴ ? 解得 ? ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x+1. (2)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (2,1+3? )或 (2,13? ). 提示 :因?yàn)?P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (1,2),(2,1),所以 PQ=3? ,又因?yàn)?MQ=PQ,所以 MQ=3? ,且點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為 2,所以點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (2,1+3? )或 (2,13? ). 2x2,2 1,kbkb????? ? ? ?? 1, ??? ??2 22 22 28.(2022北京延慶一模 ,22)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=kx+b(k≠ 0)與 x軸交于點(diǎn) A,與 y軸交 于點(diǎn) B,與反比例函數(shù) y=? (m≠ 0)的圖象在第一象限交于點(diǎn) P(1,3),連接 OP. (1)求反比例函數(shù) y=? (m≠ 0)的表達(dá)式 。 (2)若△ AOB的面積是△ POB的面積的 2倍 ,求直線 y=kx+b(k≠ 0)的表達(dá)式 . mxmx解析 (1)∵ y=? (m≠ 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) P(1,3), ∴ 3=? ,∴ m=3,即 y=? . (2)如圖① ,作 PE⊥ OB于 E,則 PE=1. ∵ S△ AOB=2S△ POB, ∴ OA=2PE=2, ∴ A(2,0), 將 A(2,0),P(1,3)代入 y=kx+b(k≠ 0), 可得 ? ∴ ? ∴ 直線 AB的表達(dá)式為 y=3x+6. mx1m 3x0 2 ,3,kbkb???? ???3,6,kb ???? ??? 圖① 同理 ,如圖② ,直線 AB的表達(dá)式為 y=x+2. ? 圖② 綜上 ,直線 AB的表達(dá)式為 y=3x+6或 y=x+2. 9.(2022北京西城二模 ,23)如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(4,n), AB⊥ x軸于點(diǎn) B,點(diǎn) C與點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱 ,CD⊥ x軸于點(diǎn) D,△ ABD的面積為 8. (1)求 m,n的值 。 (2)若直線 y=kx+b經(jīng)過點(diǎn) C,且與 x軸 ,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn) E,F,當(dāng) CF=2CE時(shí) ,求點(diǎn) F的坐標(biāo) . ? mx解析 (1)∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 A(4,n),點(diǎn) C與點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱 , ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 C(4,n). ∵ AB⊥ x軸于點(diǎn) B,CD⊥ x軸于點(diǎn) D, ∴ B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (4,0),(4,0). ∵ △ ABD的面積為 8,且 S△ ABD=? ABBD=? (n)8=4n, ∴ 4n=8,解得 n=2. ∵ 函數(shù) y=? (x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(4,n), ∴ m=4n=8. (2)由 (1)得點(diǎn) C的坐標(biāo)為 C(4,2). 如圖① ,當(dāng) k0時(shí) ,設(shè)直線 y=kx+b與 x軸 ,y軸的交點(diǎn)分別為 E1,F1. 12 12mx? 圖① 由 CD⊥ x軸于點(diǎn) D可得 CD∥ OF1. ∴ △ E1CD∽ △ E1F1O,∴ ? =? . ∵ CF1=2CE1,∴ ? =? ,∴ OF1=3DC=6. ∴ 點(diǎn) F1的坐標(biāo)為 (0,6). 如圖② ,當(dāng) k0時(shí) ,設(shè)直線 y=kx+b與 x軸 ,y軸的交點(diǎn)分別為 E2,F2. 1DCOF 111ECEF1DCOF13圖② 同理可得 ,? =? . ∵ CF2=2CE2, ∴ E2為線段 CF2的中點(diǎn) ,E2C=E2F2. ∴ OF2=DC=2. ∴ 點(diǎn) F2的坐標(biāo)為 (0,2). 綜上 ,點(diǎn) F的坐標(biāo)為 (0,6)或 (0,2). 2DCOF 222ECEF10.(2022北京海淀一模 ,21)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 l1:y=k1x+b過 A(0,3),B(5,2), 直線 l2:y=k2x+2. (1)求直線 l1的表達(dá)式 。 (2)當(dāng) x≥ 4時(shí) ,不等式 k1x+bk2x+2恒成立 ,請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的 k2的值 . ? 解析 (1)∵ 直線 l1:y=k1x+b過 A(0,3),B(5,2), ∴ ? ∴ ? ∴ 直線 l1的表達(dá)式為 y=x3. (2)答案不唯一 ,滿足 k2? 即可 . 13,5 2 .b kb???? ??? 1 1, ??? ???1411.(2022北京西城一模 ,22)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=x1與 y軸交于點(diǎn) A,與雙曲線 y=? 交 于點(diǎn) B(m,2). (1)求點(diǎn) B的坐標(biāo)及 k的值 。 (2)將直線 AB平移 ,使它與 x軸交于點(diǎn) C,與 y軸交與點(diǎn) △ ABC的面積為 6,求直線 CD的表達(dá)式 . ? kx解析 (1)∵ 點(diǎn) B(m,2)在直線 y=x1上 , ∴ m1=2. 解得 m=3. ∴ B(3,2). 又 ∵ 點(diǎn) B(3,2)在雙曲線 y=? 上 , ∴ k=6. (2)設(shè)平移后的直線的表達(dá)式為 y=x+b, 則它與 y軸交于點(diǎn) D(0,b). ∵ AB∥ CD, ∴ S△ ABD=S△ ABC. ∴ S△ ABD=? ADxB=6. ∴ AD=4. ∴ b+1=4或 1b=4. ∴ b=3或 b=5. kx12∴ 平移后的直線的表達(dá)式為 y=x+3或 y=x5. ? 思路分析 (1)由點(diǎn)在圖象上求解 .(2)可以先表示出點(diǎn) D的坐標(biāo) ,然后利用坐標(biāo)表示面積 ,通過方 程來解決 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要通過點(diǎn) D的坐標(biāo)表示面積 ,由于點(diǎn) D的位置不確定 ,所以要分 類討論 . 12.(2022北京西城一模 ,22)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=? x+1與 x軸交于點(diǎn) A,且與雙曲線 y= ? 的一個(gè)交點(diǎn)為 B? . (1)求點(diǎn) A的坐標(biāo)和雙曲線 y=? 的表達(dá)式 。 (2)若 BC∥ y軸 ,且點(diǎn) C到直線 y=? x+1的距離為 2,求點(diǎn) C的縱坐標(biāo) . 34kx 8 ,3 m??????kx34解析 (1)對(duì)于直線 y=? x+1,令 y=0,得 x=? , ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 ? . ∵ 點(diǎn) B? 在直線 y=? x+1上 , ∴ ? ? +1=m,解得 m=3. ∵ 點(diǎn) B? 在雙曲線 y=? 上 , ∴ k=8. ∴ 雙曲線的表達(dá)式為 y=? . (2)當(dāng)點(diǎn) C在直線 AB的上方時(shí) ,過點(diǎn) C作 CD⊥ AB于點(diǎn) D,延長(zhǎng) CB交 x軸于點(diǎn) E,如圖 . 34 434 ,03???????8 ,3 m?????? 3434 838 ,33?????? kx8x? 由 (1)知 OA=? . ∵ BC∥ y軸 ,∴ CE⊥ x軸 . ∴∠ BEA=90176。,OE=? ,BE=3. ∴ AE=AO+OE=4. ∵ 在 Rt△ ABE中 ,BE=3,AE=4, ∴ AB=? =5. ∴ sin∠ ABE=? =? . 438322AE BE?AEAB 45∵ CD⊥ AB于點(diǎn) D,點(diǎn) C到直線 AB的距離為 2, ∴∠ CDB=90176。,CD=2. ∵∠ CBD=∠ ABE, ∴ 在 Rt△ CDB中 ,sin∠ CBD=? =? . ∴ CB=? .∴ CE=CB+BE=? . ∴ 點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 ? . 當(dāng)點(diǎn) C在直線 AB下方時(shí) ,如圖 , ? CDCB4552 112112同理可求得 CB=? ,則 CE=BECB=? . ∴ 點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 ? . 綜上所述 ,點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 ? 或 ? . 52 1212112 12難點(diǎn)剖析 第 (2)問中 ,求 C的縱坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為求 BC的長(zhǎng) ,由“距離”構(gòu)造直角三角形 ,解直角 三角形求解 . 解題關(guān)鍵 要充分理解距離的含義 ,同時(shí)在圖形的位置不確定時(shí)要考慮分類討論 .