【正文】 =0(a≠ 0)的兩根之和 ? ( ) ? 0 0 0 2323b???????答案 A 根據(jù)題圖可知 a0,b0,b24ac0. 在方程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)中 ,Δ=? 4ac=b2? b+? 4ac=b24ac? b+? 0,設(shè)此方程的兩 根分別為 x1,x2,則 x1+x2=? =? +? 0,故選 A. 23b??????? 223b??????? 43 49 43 4923b a? ba 23 a3.(2022寧夏 ,10,3分 )若二次函數(shù) y=x22x+m的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn) ,則 m的取值范圍是 . 答案 m1 解析 當(dāng)二次函數(shù) y=x22x+m的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) ,方程 x22x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根 ,所以 Δ=44m0,解得 m m的取值范圍是 m1. 4.(2022云南 ,20,8分 )已知二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A(0,3),B? 兩點(diǎn) . (1)求 b、 c的值 。 (2)二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象與 x軸是否有公共點(diǎn) ?若有 ,求公共點(diǎn)的坐標(biāo) 。若沒有 ,請說明理 由 . 316 94, 2????????316解析 (1)∵ 二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A(0,3)、 B? 兩點(diǎn) , ∴ ? 解得 ? ∴ b=? ,c=3.? (4分 ) (2)∵ ? ∴ y=? x2+bx+c=? x2+? x+3. 由 ? x2+? x+3=0得 x26x16=0,解得 x=2或 x=8.? (6分 ) ∴ 二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象與 x軸有兩個(gè)公共點(diǎn) ,公共點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2,0),(8,0).? (8分 ) 316 94, 2????????23,39( 4 ) 4 ,1 6 2cbc????? ? ? ? ? ? ???9 ,83.bc? ??????989 ,83,bc? ??????316 316 98316 98316思路分析 (1)將 A、 B的坐標(biāo)分別代入解析式 ,列方程組求得 b、 c. (2)由 (1)得二次函數(shù)解析式 ,令 y=0,解方程即可 . 考查內(nèi)容 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其與一元二次方程的關(guān)系 ,熟練地解方程 (組 )是 解決本題的關(guān)鍵 . 5.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線 L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ),并與 y軸 相交于點(diǎn) C. (1)求 A、 B、 C三點(diǎn)的坐標(biāo) ,并求△ ABC的面積 。 (2)將拋物線 L向左或向右平移 ,得到拋物線 L39。,且 L39。與 x軸相交于 A39。、 B39。兩點(diǎn) (點(diǎn) A39。在點(diǎn) B39。的左側(cè) ), 并與 y軸相交于點(diǎn) C39。,要使△ A39。B39。C39。和△ ABC的面積相等 ,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá) 式 . 解析 (1)令 y=0,得 x2+x6=0, 解得 x=3或 x=2, ∴ A(3,0),B(2,0).? (2分 ) ∴ AB=5, 令 x=0,得 y=6, ∴ C(0,6),? (3分 ) ∴ OC=6, ∴ S△ ABC=? ABOC=? 56=15.? (4分 ) (2)由題意 ,得 A39。B39。=AB=5. 要使 S△ A39。B39。C39。=S△ ABC,只要拋物線 L39。與 y軸的交點(diǎn)為 C39。(0,6)或 C39。(0,6)即可 . 設(shè)所求拋物線 L39。:y=x2+mx+6,y=x2+nx6.? (7分 ) 又知 ,拋物線 L39。與拋物線 L的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同 , ∴ ? =? ,? =? , 解得 m=177。7,n=177。1(n=1舍去 ). 12 122244 m? 24 14??2244 n?? 24 14??∴ 拋物線 L39。的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2+7x+6,y=x27x+6或 y=x2x6.? (10分 ) 思路分析 (1)令 y=0,求得點(diǎn) A,點(diǎn) B坐標(biāo) 。令 x=0,求得點(diǎn) C坐標(biāo) ,然后利用三角形面積公式求出△ ABC的面積 。(2)將拋物線向左或向右平移 ,A39。B39。=AB,要使△ A39。B39。C39。和△ ABC的面積相等 ,則點(diǎn) C39。的 坐標(biāo)為 (0,6)或 (0,6),然后根據(jù)拋物線向左或向右平移頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變 ,求出滿足條件的拋物線 的函數(shù)表達(dá)式 . 解題關(guān)鍵 二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的題的本質(zhì)為點(diǎn)的坐標(biāo)表示 ,其中多涉及二次函數(shù)圖象 的性質(zhì) ,象限中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的正負(fù) ,用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長度等 .根據(jù)題意準(zhǔn)確找出點(diǎn) C39。的 坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 . 6.(2022吉林 ,26,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=ax2+2ax3a(a0)與 x軸相交于 A,B兩 點(diǎn) ,與 y軸相交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 D,直線 DC與 x軸相交于點(diǎn) E. (1)當(dāng) a=1時(shí) ,拋物線頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ,OE= 。 (2)OE的長是否與 a值有關(guān) ,說明你的理由 。 (3)設(shè) ∠ DEO=β,45176?！?β≤ 60176。,求 a的取值范圍 。 (4)以 DE為斜邊 ,在直線 DE的左下方作等腰直角三角形 P(m,n),直接寫出 n關(guān)于 m的函數(shù) 解析式及自變量 m的取值范圍 . ? 解析 (1)(1,4)。3.? (2分 ) (2)OE的長與 a值無關(guān) . 理由 :∵ y=ax2+2ax3a, ∴ C(0,3a),D(1,4a). ∴ 直線 CD的解析式為 y=ax3a.? (4分 ) 當(dāng) y=0時(shí) ,x=3. ∴ OE=3. ∴ OE的長與 a值無關(guān) .? (5分 ) (3)當(dāng) β=45176。時(shí) ,在 Rt△ OCE中 ,OC=OE. ∵ OE=3,OC=3a, ∴ 3a=3. ∴ a=1.? (6分 ) 當(dāng) β=60176。時(shí) ,在 Rt△ OCE中 ,OC=? OE. ∵ OE=3,OC=3a, 3∴ 3a=3? .? (7分 ) ∴ a=? .∴ 當(dāng) 45176?！?β≤ 60176。時(shí) ,? ≤ a≤ 1.? (8分 ) (4)n=m1(m1).(如圖 )? (10分 ) ? 評分說明 : (2)題 ,證明正確 ,但不先寫結(jié)論不扣分 。 33 3 (4)題 ,解析式正確給 1分 ,自變量取值范圍正確給 1分 . 思路分析 (1)將 a=1代入拋物線方程 ,然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求頂點(diǎn) D的坐標(biāo) ,令 x=0可求 C點(diǎn) 坐標(biāo) ,從而求出直線 CD的方程 ,令 y=0即可求出 OE。(2)求出 C、 D點(diǎn)坐標(biāo) ,從而可求直線 CD的表 達(dá)式 ,令 y=0,即可判斷 。(3)分別求出 β=45176。和 60176。時(shí) a的值 ,即可確定 a的取值范圍 。(4)如解析圖 ,由 P(m,n)及二次函數(shù)對稱軸為 x=1可知 PM=1n,PN=m,由 ∠ DPE=∠ PMD=90176。,PM∥ AE可推出 ∠ PDM=∠ PEN,從而可推出 Rt△ DPM≌ Rt△ EPN,可得 PM=PN,問題解決 . 7.(2022浙江寧波 ,23,10分 )已知拋物線 y=(xm)2(xm),其中 m是常數(shù) . (1)求證 :不論 m為何值 ,該拋物線與 x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn) 。 (2)若該拋物線的對稱軸為直線 x=? . ① 求該拋物線的函數(shù)解析式 。 ② 把該拋物線沿 y軸向上平移多少個(gè)單位長度后 ,得到的拋物線與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) ? 52解析 (1)證明 :∵ y=(xm)2(xm)=(xm)(xm1),? (2分 ) ∴ 令 y=0,得 x1=m,x2=m+1.∵ m≠ m+1, ∴ 拋物線與 x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn) (m,0),(m+1,0).? (4分 ) (2)① ∵ y=(xm)(xm1)=x2(2m+1)x+m(m+1), ∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? , 解得 m=2,? (6分 ) ∴ 拋物線的函數(shù)解析式為 y=x25x+6.? (8分 ) ② ∵ y=x25x+6=? ? , ∴ 該拋物線沿 y軸向上平移 ? 個(gè)單位長度后 ,得到的拋物線與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn) .? (10分 ) (2 1)2m??52252x???????14148.(2022浙江寧波 ,23,10分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象過 A(2,0),B(0,1)和 C(4,5)三點(diǎn) . (1)求二次函數(shù)的解析式 。 (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 (3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線 y=x+1,并寫出當(dāng) x在什么范圍內(nèi)時(shí) ,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的 值 . ? 解析 (1)∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象過 A(2,0),B(0,1)和 C(4,5)三點(diǎn) ,∴ ? ? (2 分 ) ∴ a=? ,b=? ,c=1,∴ 二次函數(shù)的解析式為 y=? x2? x1.? (4分 ) (2)當(dāng) y=0時(shí) ,有 ? x2? x1=0,? (5分 ) ∴ x1=2,x2=1,? (6分 ) ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,0).? (7分 ) (3)圖象如圖 .? (8分 ) ? 4 2 0 ,1,1 6 4 5 ,a b cca b c? ? ??????? ? ? ??12 12 12 1212 12所求的 x的取值范圍為 1x4.? (10分 ) 評析 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 ,以及一次函數(shù)的圖象、拋物線與 x軸的 交點(diǎn)問題 ,屬中檔題 . C組 教師專用題組 考點(diǎn) 1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,10,3分 )若滿足 ? x≤ 1的任意實(shí)數(shù) x,都能使不等式 2x3x2mx2成立 ,則 實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ? ( ) 1 ≥ 5 4 ≤ 4 12答案 D ∵ ? x≤ 1,∴ 不等式 2x3x2mx2可變形為 2x2xm? ,作出函數(shù) y=2x2xm,y=? 的圖 象 ,如圖所示 , ? 易知拋物線的對稱軸為直線 x=? ,∵ 當(dāng) ? x≤ 1時(shí) ,不等式 2x3x2mx2恒成立 ,即 2x2xm? 恒成 立 ,∴ 只需拋物線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x≤ ? 即可 ,將 x=? 代入 y=? ,得 y=4,將 ? 代入 y=2x 2xm,解得 m=4.∵ 拋物線越往上平移越符合題意 ,∴ m≤ 4. 12 2x 2x14 12 2x12 12 2x 1 ,42??????解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要將不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的問題來解決 ,同時(shí)要注意 本題中二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為 m,所以最后在判斷 m的取值范圍時(shí)不要寫反 . 2.(2022連云港 ,7,3分 )已知拋物線 y=ax2(a0)過 A(2,y1)、 B(1,y2)兩點(diǎn) ,則下列關(guān)系式一定正確的 是 ? ( ) 0y2 0y1 y20 y10 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2(a0), ∴ A(2,y1)關(guān)于 y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2,y1), 當(dāng) x0時(shí) ,y隨 x的增大而增大 . 又 ∵ a0,012, ∴ 0y2y1. 故選 C. 3.(2022鹽城 ,6,3分 )如圖 ,將函數(shù) y=? (x2)2+1的圖象沿 y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象 ,其 中點(diǎn) A(1,m)、 B(4,n)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A39。、 B39。.若曲線段 AB掃過的面積為 9(圖中的陰影 部分 ),則新圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 ? ( ) ? =? (x2)22 =? (x2)2+7 =? (x2)25 =? (x2)2+4 1212 1212 12答案 D ∵ 函數(shù) y=? (x2)2+1的圖象過點(diǎn) A(1,m),B(4,n), ∴ m=? (12)2+1=? ,n=? (42)2+1=3, ∴ A? ,B(4,3), 過 A作 AC∥ x軸 ,交 B39。B的延長線于點(diǎn) C,則 C? , ∴ AC=41=3. ∵ 曲線段 AB掃過的面積為 9, ∴ ACAA39。=3AA39。=9, ∴ AA39。=3, 即將函數(shù) y=? (x2)2+1的圖象沿 y軸向上平移 3個(gè)單位長度得到一條新函數(shù)的圖象 , ∴ 新圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 y=? (x2)2+4. 故選 D. 1212 32 1231,2??????34,2??????12124.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )拋物線 y=(x1)23的對稱軸是 ? ( ) x=1 x=1 x=3 答案 C 拋物線 y=(x1)23的對稱軸是直線 x=1,故選 C. 5.(2022廣西南寧 ,10,3分 )如圖 ,已知二次函數(shù) y=x2+2x