【正文】 0,b0 0,b0 答案 D 由題目中給出的三個(gè)點(diǎn) ,可以畫(huà)出拋物線的示意圖 ,如圖所示 .所以 a0,b D. ? 3.(2022北京順義一模 ,9)在平面直角坐標(biāo)系 x39。O39。y39。中 ,如果拋物線 y39。=2x39。2不動(dòng) ,而把 x軸、 y軸分別 向下、向左平移 2個(gè)單位 ,則在新坐標(biāo)系下拋物線的表達(dá)式為 ? ( ) =2(x+2)22 =2(x+2)2+2 =2(x2)22 =2(x2)2+2 答案 D 若把 x軸、 y軸分別向下、向左平移 2個(gè)單位 ,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?(2,2),則拋物 線的表達(dá)式為 y=2(x2)2+ D. 4.(2022北京大興一模 ,11)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下 ,并且對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1的拋物線的表達(dá)式 . 答案 y=x2+2x1(答案不唯一 ) 解析 設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=ax2+bx+c,因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下 ,所以 a0,因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為直線 x=1, 所以 ? =1,即 b=2a,若 a=1,則 b=2,c可取任意值 ,不妨取 y=x2+ . 2ba5.(2022北京燕山一模 ,12)寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0,0),(2,0)的一個(gè)二次函數(shù)的解析式 (寫(xiě)一個(gè)即可 ). 答案 y=x2+2x(答案不唯一 ) 解析 設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=ax2+bx+c,因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn) (0,0),(2,0),所以 c=0,4a2b=0,當(dāng) a=1 時(shí) ,b=2,不妨取 y=x2+ . 6.(2022北京東城一模 ,12)請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二次函數(shù) ,其圖象滿足條件 :① 開(kāi)口向上 。② 與 y軸的交 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1).此二次函數(shù)的解析式可以是 . 答案 答案不唯一 .如 :y=x2+1 解析 設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax2+bx+c(a≠ 0),由開(kāi)口向上可知 a0,由與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1),可知 c= y=x2+ . 7.(2022北京海淀一模 ,14)在下列函數(shù) :① y=2x+1。② y=x2+2x。③ y=? 。④ y=3x中 ,與眾不同的一個(gè) 是 (填序號(hào) ),你的理由是 . 3x答案 ③ 。只有③中函數(shù)的自變量取值范圍不是全體實(shí)數(shù) (答案不唯一 ) 解析 所寫(xiě)理由只要能夠支撐填寫(xiě)的結(jié)論即可 .如 :① ,只有①是從左到右上升的直線 。② ,只有 ②的圖象是從左到右先下降后上升 。③ ,只有③中函數(shù)的自變量取值范圍不是全體實(shí)數(shù) 。④ ,只 有④是從左到右下降的直線 . 8.(2022北京豐臺(tái)二模 ,20)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,已知拋物線 y=x24x+2m1與 x軸交于點(diǎn) A,B (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ). (1)求 m的取值范圍 。 (2)當(dāng) m取最大整數(shù)時(shí) ,求點(diǎn) A、 B的坐標(biāo) . 解析 (1)∵ 拋物線 y=x24x+2m1與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn) , ∴ 方程 x24x+2m1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 , ∴ Δ=(4)24(2m1)0, ∴ m. (2)∵ m,∴ m可取的最大整數(shù)為 2. 當(dāng) m=2時(shí) ,拋物線方程為 y=x24x+2m1=x24x+3. 令 y=0,得 x24x+3=0,解得 x1=1,x2=3. ∴ A(1,0),B(3,0). 9.(2022北京豐臺(tái)一模 ,27)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=mx24mx+2m1(m≠ 0)與平行于 x軸 的一條直線交于 A,B兩點(diǎn) . (1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 。 (2)如果點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (1,2),求點(diǎn) B的坐標(biāo) 。 (3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交直線 AB于點(diǎn) C,如果直線 AB與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1,且拋物線頂點(diǎn) D到點(diǎn) C的距離大于 2,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=mx24mx+2m1=m(x2)22m1, ∴ 對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=2. (2)∵ 拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形 , ∴ 點(diǎn) A與點(diǎn) B關(guān)于直線 x=2對(duì)稱(chēng) , ∵ A(1,2),∴ B(5,2). (3)∵ 拋物線 y=mx24mx+2m1=m(x2)22m1, ∴ 頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (2,2m1). ∵ 直線 AB與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1, ∴ C(2,1). ∵ 頂點(diǎn) D到點(diǎn) C的距離大于 2, ∴ 2m1+12或 1+2m+12, ∴ m1或 m1. 10.(2022北京東城一模 ,27)二次函數(shù) y=(m+2)x22(m+2)xm+5,其中 m+20. (1)求該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程 。 (2)過(guò)動(dòng)點(diǎn) C(0,n)作直線 l⊥ y軸 . ① 當(dāng)直線 l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,求 n與 m的函數(shù)關(guān)系 。 ② 若拋物線與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn) ,將拋物線在 x軸下方的部分沿 x軸翻折 ,圖象的其余部分保持不 變 ,得到一個(gè)新的圖象 ,當(dāng) n=7時(shí) ,直線 l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn) ,求此時(shí) m的值 。 (3)若對(duì)于每一個(gè)給定的 x的值 ,它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都不小于 1,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)對(duì)稱(chēng)軸方程為 x=? =1. (2)① ∵ 直線 l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ n=2m+3. ② 依題意可知 :當(dāng) 2m+3=7時(shí) ,直線 l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn) . ∴ m=5. (3)拋物線 y=(m+2)x22(m+2)xm+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,2m+3). 依題意可得 ? 解得 ? ∴ m的取值范圍是 2m≤ 1. 2( 2)2( 2)mm???2 0,2 3 m????? ? ?? 2, ???? ??11.(2022北京海淀二模 ,27)已知 :點(diǎn) P(m,n)為拋物線 y=ax24ax+b(a≠ 0)上一動(dòng)點(diǎn) . (1)P1(1,n1),P2(3,n2)為 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的兩個(gè)位置 ,判斷 n1,n2的大小 ,并說(shuō)明理由 。 (2)當(dāng) 1≤ m≤ 4時(shí) ,n的取值范圍是 1≤ n≤ 4,求拋物線的解析式 . 解析 (1)n1=n2. 理由如下 : 由題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=2. ∵ P1(1,n1),P2(3,n2)在拋物線 y=ax24ax+b(a≠ 0)上 ,且點(diǎn) P1,P2到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等 ,∴ n1=n2. (2)當(dāng) a0時(shí) , 拋物線的頂點(diǎn)為 (2,1),且過(guò)點(diǎn) (4,4), ∴ 拋物線的解析式為 y=? x23x+4. 當(dāng) a0時(shí) ,拋物線的頂點(diǎn)為 (2,4),且過(guò)點(diǎn) (4,1), ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+3x+1. 綜上 ,拋物線的解析式為 y=? x23x+4或 y=? x2+3x+1. 343434 34考點(diǎn)二 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(2022北京懷柔二模 ,26)某商品的進(jìn)價(jià)為每件 40元 ,當(dāng)售價(jià)為每件 60元時(shí) ,每星期可賣(mài)出 300 件 ,現(xiàn)需降價(jià)處理 ,且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn) ,每降價(jià) 1元 ,每星期可多賣(mài)出 20件 ,在確保盈利的前提下 , 解答下列問(wèn)題 : (1)若設(shè)每件降價(jià) x(x為整數(shù) )元 ,每星期售出商品的利潤(rùn)為 y元 ,請(qǐng)寫(xiě)出 x與 y之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并 求出自變量 x的取值范圍 。 (2)請(qǐng)畫(huà)出上述函數(shù)的大致圖象 。 (3)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí) ,每星期的利潤(rùn)最大 ?最大利潤(rùn)是多少 ? 小麗的解答過(guò)程如下 : 解 :(1)根據(jù)題意 ,可列出表達(dá)式 : y=(60x)(300+20x)40(300+20x), 即 y=20x2+100x+6 000. ∵ 降價(jià)要確保盈利 ,∴ 4060x≤ 0≤ x20. (2)上述表達(dá)式的圖象是拋物線的一部分 ,函數(shù)的大致圖象如圖 : ? (3)∵ a=200, ∴ 當(dāng) x=? = ,y有最大值 ,y最大值 =? =6 125. 所以 ,當(dāng)降價(jià) ,每星期的利潤(rùn)最大 ,最大利潤(rùn)為 6 125 元 . 老師看了小麗的解題過(guò)程 ,說(shuō)小麗第 (1)問(wèn)的表達(dá)式是正確的 ,但自變量 x的取值范圍不準(zhǔn)確 .第 (2)(3)問(wèn)的答案 ,也都存在問(wèn)題 .請(qǐng)你就老師說(shuō)的問(wèn)題 ,進(jìn)行探究 ,寫(xiě)出你認(rèn)為 (1)(2)(3)中正確的 答案 ,或說(shuō)明錯(cuò)誤原因 . 2ba244ac ba?解析 (1)自變量 x的取值范圍是 0≤ x20,且 x為整數(shù) . (2)函數(shù)圖象不能為實(shí)線 ,是圖象中 ,當(dāng) x=0,1,2,3,4,5,… ,19時(shí) ,對(duì)應(yīng)的 20個(gè)點(diǎn) .如圖 : ? (3)若 x只取正整數(shù) ,則 x不能取 ,結(jié)果就不是 6 125元 , 顯然 ,只有當(dāng) x=2或 3時(shí) ,y有最大值 ,y最大值 =6 120,即當(dāng)降價(jià) 2元或 3元時(shí) ,每星期的利潤(rùn)最大 ,最大利 潤(rùn)為 6 120元 . 2.(2022北京石景山二模 ,22)為了促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展 ,某市新建一座景觀橋 .橋的拱肋 ADB可視 為拋物線的一部分 ,橋面 AB可視為水平線段 ,橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接 ,拱 肋的跨度 AB為 40米 ,橋拱的最大高度 CD為 16米 (不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì) ),求與 CD的距離為 5米的景觀燈桿 MN的高度 . ? 解析 建立如圖所示的坐標(biāo)系 . ? 設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=ax2+16(a0), 由題意可知 ,B的坐標(biāo)為 (20,0), ∴ 400a+16=0, ∴ a=? , ∴ y=? x2+16. 125125當(dāng) x=5時(shí) ,y=15. 答 :與 CD的距離為 5米的景觀燈桿 MN的高度為 15米 . 思路分析 建立平面直角坐標(biāo)系 ,將線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo) ,借助二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決 . B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :35分 ) 一、填空題 (共 3分 ) 1.(2022北京東城二模 ,12)拋物線 y=mx2+2mx+1(m為非零實(shí)數(shù) )的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 . 答案 (1,1m) 解析 y=mx2+2mx+1=m(x2+2x+11)+1=m(x+1)2+1m,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,1m). 二、解答題 (共 32分 ) 2.(2022北京順義一模 ,26)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,若拋物線 y=x2+bx+c的頂點(diǎn) A的橫坐標(biāo)是 1, 且與 y軸交于點(diǎn) B(0,1),點(diǎn) P為拋物線上一點(diǎn) . (1)求拋物線的表達(dá)式 。 (2)若將拋物線 y=x2+bx+c向下平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度 ,點(diǎn) P平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 OP=OQ,求點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 解析 (1)依題意得 ? =1,∴ b=2, 由拋物線過(guò)點(diǎn) B(0,1),得 c=1, ∴ 拋物線的表達(dá)式是 y=x2+2x1. (2)向下平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線 y=x2+2x5, 由 OP=OQ及平移的性質(zhì)可知 ,P、 Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同 ,縱坐標(biāo)互為相反數(shù) . 令 x2+2x1+x2+2x5=0,得 x1=3,x2=1. 把 x1=3,x2=1分別代入 y=x2+2x5,得 y1=2,y2=2, ∴ 點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (3,2)或 (1,2). 2b3.(2022北京豐臺(tái)二模 ,26)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,二次函數(shù) y=x22hx+h的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) D. (1)當(dāng) h=1時(shí) ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 (2)當(dāng) 1≤ x≤ 1時(shí) ,求函數(shù)的最小值 m.(用含 h的代數(shù)式表示 ) 解析 (1)∵ y=x22hx+h=(xh)2+hh2, ∴ 拋物線的頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (h,hh2), ∴ 當(dāng) h=1時(shí) ,點(diǎn) D的坐標(biāo)是 (1,2). (2)當(dāng) x=1時(shí) ,y=3h+1, 當(dāng) x=1時(shí) ,y=h+1. 因?yàn)閽佄锞€ y=x22hx+h的對(duì)稱(chēng)軸為直線 y=h,所以當(dāng) h1時(shí) ,函數(shù)的最小值 m=3h+1, 當(dāng) 1≤ h≤ 1時(shí) ,函數(shù)的最小值 m=hh2, 當(dāng) h1時(shí) ,函數(shù)的最小值 m=h+1. 思路分析 因?yàn)?h的值不確定 ,所以需要分類(lèi)討論 . 4.(2022北京海淀一模 ,27)平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=mx22m2x+2(m≠ 0)交 y軸于 A點(diǎn) ,交直 線 x=4于 B點(diǎn) . (1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x= (用含 m的代數(shù)式表示 )。 (2)若 AB∥ x軸 ,求拋物線的表達(dá)式 。 (3)記拋物線在 A,B之間的部分為圖象 G(包含 A,B兩點(diǎn) ),若對(duì)于圖象 G上任意一點(diǎn) P(xP,yP),yP≤ 2, 求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)m. (2)∵ 拋物線 y=mx22m2x+2與 y軸交于 A點(diǎn) , ∴ A(0,2). ∵ AB∥ x軸 ,B點(diǎn)在直線 x=4上 , ∴ B(4,2),∴ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=2. ∴ m=2. ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=2x28x+2. (3)當(dāng) m0時(shí) ,如圖 1. ? 圖 1 ∵ A(0,2), ∴ 要使 0≤ xP≤ 4時(shí) ,始終滿足 yP≤ 2,只需使拋物線 y=mx22m2x+2的對(duì)稱(chēng)軸與直線