【正文】 線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,4). (2)① 存在 .聯(lián)立 ? 解得 ?? ∴ A(? ,2? ),B(? ,2? ), ∴ 點(diǎn) B(? ,2? )關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B39。(2? ,2? ). ∵∠ AGC=∠ BGC,∴ 點(diǎn) B39。在直線 AG上 . 設(shè)直線 AB39。的方程為 y=kx+b(k≠ 0), 由 ? 22, 2 3,yxy x x??? ? ? ? ??113,2 3 ,xy? ??????223,2 3 ,xy? ????????3 3 3 33 3 3 32 3 3 ,2 3 (2 3 ) ,kbkb?? ? ? ???? ? ???得 ? ∴ y=2? x+62? ,令 x=1,得 y=6,∴ G(1,6). ② 設(shè) P(m,2m), 當(dāng)四邊形 OMPQ為平行四邊形時(shí) ,則 Q(m+1,2m), ∵ 點(diǎn) Q在拋物線 y=x2+2x+3上 ,∴ 2m=(m+1)2+2(m+1)+3,解得 m=1177。? , ∴ Q1(? ,22? ),Q2(? ,2+2? )。 當(dāng)四邊形 OMQP為平行四邊形時(shí) ,則 Q(m1,2m), ∵ 點(diǎn) Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=0或 2, ∴ Q3(1,4),Q4(1,0)(舍 )。 當(dāng) OM為平行四邊形對(duì)角線時(shí) ,則 Q(1m,2m), ∵ 點(diǎn) Q在拋物線 y=x2+2x+3上 , ∴ 2m=(m1)2+2(m1)+3,解得 m=2或 0, ∴ Q5(1,4),Q6(1,0)(舍 ). 2 3 ,6 2 3 ,kb? ???????3 355 5 5 5綜上所述 :點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (? ,22? )或 (? ,2+2? )或 (1,4). 5 5 5 56.(2022湖北武漢 ,24,12分 )拋物線 y=ax2+c與 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,頂點(diǎn)為 C,點(diǎn) P在拋物線上 ,且位于 x 軸下方 . (1)如圖 1,若 P(1,3),B(4,0). ① 求該拋物線的解析式 。 ② 若 D是拋物線上一點(diǎn) ,滿足 ∠ DPO=∠ POB,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 (2)如圖 2,已知直線 PA ,PB與 y軸分別交于 E,F兩點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)時(shí) ,? 是否為定值 ?若是 ,試 求出該定值 。若不是 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? OE OFOC?解析 (1)① 依題意有 ? ? (1分 ) 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2? .? (3分 ) ② 當(dāng)點(diǎn) D在 OP左側(cè)時(shí) , ∵∠ DPO=∠ POB,∴ PD∥ OB. ∴ D,P兩點(diǎn)關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng) ,∴ D(1,3).? (4分 ) 當(dāng)點(diǎn) D在 OP右側(cè)時(shí) ,延長(zhǎng) PD交 x軸于點(diǎn) G. 作 PH⊥ OB于點(diǎn) H,則 OH=1,PH=3. ? 3,1 6 0 ,acac? ? ??? ???1 ,516.5ac? ????? ????15 165∵∠ DPO=∠ POB,∴ PG=OG. 設(shè) OG=x,則 PG=x,HG=x1. Rt△ PGH中 ,由 x2=(x1)2+32,得 x=5. ∴ 點(diǎn) G(5,0).? (6分 ) ∴ 直線 PG的解析式為 y=? x? . 解方程組 ? 得 ? ? ∵ P(1,3),∴ D? . ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,3)或 ? .? (8分 ) (2)解法一 :? 的值為定值 :? (9分 ) 作 PQ⊥ AB于 Q點(diǎn) . 34 15423 1 5 ,441 1 6 ,55yxyx? ?????? ????111,3,xy ??? ???2211,427.16xy? ????? ????1 1 2 7,4 1 6???????1 1 2 7,4 1 6???????OE OFOC?? 設(shè) P(m,am2+c),A(t,0),B(t,0),則 at2+c=0,c=at2. ∵ PQ∥ OF,∴ ? =? , ∴ OF=? =? =? =amt+at2.? (10分 ) 同理 ,OE=amt+at2.? (11分 ) ∴ OE+OF=2at2=2c=2OC, ∴ ? =2.? (12分 ) 解法二 :? 的值為定值 :? (9分 ) PQOFBQBOP Q B OBQ? 2()am c ttm? ? ?? 22()am at tmt???OE OFOC?OE OFOC?設(shè)直線 PA的解析式為 y=k1x+b1,直線 PB的解析式為 y=k2x+b2. 由 ? 得 ax2k1x+cb1=0. ∴ xPxA=? .? (10分 ) 同理 ,xPxB=? . ∵ xA=xB, ∴ ? =? .? (11分 ) ∴ b1c=cb2,即 b1b2=2c,OE+OF=2OC, ∴ ? =2.? (12分 ) 211,y a x cy k x b? ????1cba?2cba?1cba? 2cba?OE OFOC?7.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,25,12分 )已知二次函數(shù) y=ax22ax+c(a0)的最大值為 4,且拋物線過(guò)點(diǎn) ? .點(diǎn) P(t,0)是 x軸上的動(dòng)點(diǎn) ,拋物線與 y軸的交點(diǎn)為 C,頂點(diǎn)為 D. (1)求該二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 (2)求 |PCPD|的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (3)設(shè) Q(0,2t)是 y軸上的動(dòng)點(diǎn) ,若線段 PQ與函數(shù) y=a|x|22a|x|+c的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn) ,求 t的取值 . 79,24???????解析 (1)y=ax22ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1, 所以拋物線過(guò) (1,4)和 ? 兩點(diǎn) .? (1分 ) 代入解析式得 ? ? (2分 ) 解得 a=1,c=3,∴ y=x2+2x+3,? (3分 ) ∴ 頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,4).? (4分 ) (2)∵ C、 D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,3),(1,4), 由三角形兩邊之差小于第三邊可知 |PCPD|≤ |CD|,? (5分 ) ∴ P、 C、 D三點(diǎn)共線時(shí) |PCPD|取得最大值 ,此時(shí)最大值為 |CD|=? .? (6分 ) 易知 CD所在直線的方程為 y=x+3, 將 P(t,0)代入得 t=3, ∴ 此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P為 (3,0).? (7分 ) (3)y=a|x|22a|x|+c的解析式可化為 79,24???????2 4,4 9 97,44a a ca a c? ? ???? ? ? ? ???2y=? ? (8分 ) 設(shè)線段 PQ所在直線的方程為 y=kx+b(k≠ 0),將 P(t,0),Q(0,2t)代入得到線段 PQ所在直線的方程 為 y=2x+2t,? (9分 ) ∴ ① 當(dāng)線段 PQ過(guò)點(diǎn) (0,3),即點(diǎn) Q與點(diǎn) C重合時(shí) ,線段 PQ與函數(shù) y=? 有一個(gè)公共點(diǎn) ,此時(shí) t=? , 當(dāng)線段 PQ過(guò)點(diǎn) (3,0),即點(diǎn) P與點(diǎn) (3,0)重合時(shí) ,t=3,此時(shí)線段 PQ與 y=? 有兩個(gè)公共 點(diǎn) ,所以當(dāng) ? ≤ t3時(shí) ,線段 PQ與 y=? 有一個(gè)公共點(diǎn) .? (10分 ) ② 將 y=2x+2t代入 y=x2+2x+3(x≥ 0)得 x2+4x+32t=0, 令 Δ=16+4(32t)=0,解得 t=? 0, 所以當(dāng) t=? 時(shí) ,線段 PQ與 y=? 也有一個(gè)公共點(diǎn) .? (11分 ) ③ 當(dāng)線段 PQ過(guò)點(diǎn) (3,0),即點(diǎn) P與點(diǎn) (3,0)重合時(shí) ,線段 PQ只與 y=x22x+3(x0)有一個(gè)公共點(diǎn) ,此 時(shí) t=3, 222 3( 0),2 3( 0).x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ??222 3( 0),2 3( 0)x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ?? 32222 3( 0),2 3( 0)x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ??32222 3( 0),2 3( 0)x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ??7272222 3( 0),2 3( 0)x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ??所以當(dāng) t≤ 3時(shí) ,線段 PQ與 y=? 也有一個(gè)公共點(diǎn) . 綜上所述 ,t的取值為 ? ≤ t3或 t=? 或 t≤ 3.? (12分 ) 222 3( 0),2 3( 0)x x xx x x?? ? ? ??? ? ? ??32 72評(píng)析 本題為二次函數(shù)綜合題 ,考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 ,三角形三邊關(guān)系 ,一次 函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 ,需要根據(jù)變量 t的不同取值分類(lèi)討論 ,此處是本題的解題 關(guān)鍵 .屬難題 . (說(shuō)明 :本試卷各題只要方法合理 ,可依據(jù)情況酌情給分 ) 解析 (1)因?yàn)辄c(diǎn) A是直線與拋物線的交點(diǎn) ,且其橫坐標(biāo)是 2, 所以點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 y=? (2)2=1,A點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,1). 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b,將 (0,4),(2,1)代入得 ? 解得 ? 所以直線的函數(shù)關(guān) 系式為 y=? x+4. 因?yàn)橹本€與拋物線相交 ,所以令 ? x+4=? x2,即 x26x16=0,解之得 x1=2,x2=8,當(dāng) x=8時(shí) ,y=? 8+4=1 6, 所以點(diǎn) B(8,16).? (4分 ) (2)如圖 1,過(guò)點(diǎn) B作 BG∥ x軸 ,過(guò)點(diǎn) A作 AG∥ y軸 ,交點(diǎn)為 G,所以 AG2+BG2=AB2. ? 144,2 1,b kb???? ? ?? 3 ,24,kb? ??????3232 14 32圖 1 由 A(2,1),B(8,16)可求得 AB2=325. 設(shè)點(diǎn) C(m,0),同理可得 ,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5, BC2=(m8)2+162=m216m+320. ① 若 ∠ BAC=90176。,則 AB2+AC2=BC2, 即 325+m2+4m+5=m216m+320. 所以 m=? . ② 若 ∠ ACB=90176。,則 AB2=AC2+BC2,即 325=m2+4m+5+m216m+320,化簡(jiǎn)得 m26m=0,解之得 m=0或 m=6. ③ 若 ∠ ABC=90176。,則 AB2+BC2=AC2,即 m216m+320+325=m2+4m+5,所以 m=32. 所以存在滿足題意的點(diǎn) C,點(diǎn) C的坐標(biāo)為 ? ,(0,0),(6,0),(32,0).? (10分 ) (3)設(shè) M? ,如圖 2,設(shè) MP與 y軸交于點(diǎn) Q,在 Rt△ MQN中 ,由勾股定理得 MN=? = ? =? a2+1. 121 ,02???????21, 4aa??????2221 14aa????????4211 116 2aa??14? 圖 2 又因?yàn)辄c(diǎn) P與點(diǎn) M縱坐標(biāo)相同 , 令 ? x+4=? a2,得 x=? ,所以點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 ? . 所以 MP=a? . 所以 MN+3PM=? a2+1+3? =? a2+3a+9=? (a6)2+18. 又因?yàn)?2≤ 6≤ 8,所以當(dāng) a=6時(shí) ,? a2+3a+9取到最大值 18. 所以當(dāng)點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為 6時(shí) ,MN+3PM的長(zhǎng)度最大 ,最大值是 18.? (14分 ) 32 142 166a ?2 166a ?2 166a ?142 166aa????????14 14149.(2022重慶 ,26,12分 )如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=? x2+? x+3? 交 x軸于 A,B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ),交 y軸于點(diǎn) W,頂點(diǎn)為 C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與 x軸的交點(diǎn)為 D. (1)求直線 BC的解析式 。 (2)點(diǎn) E(m,0),F(m+2,0)為 x軸上兩點(diǎn) ,其中 2m4,EE39。,FF39。分別垂直于 x軸 ,交拋物線于點(diǎn) E39。,F39。,交 BC 于點(diǎn) M,N,當(dāng) ME39。+NF39。的值最大時(shí) ,在 y軸上找一點(diǎn) R,使 |RF39。RE39。|的值最大 ,請(qǐng)求出 R點(diǎn)的坐標(biāo)及 | RF39。RE39。|的最大值 。 (3)如圖 2,已知 x軸上一點(diǎn) P? ,現(xiàn)以 P為頂點(diǎn) ,2? 為邊長(zhǎng)在 x軸上方作等邊三角形 QPG,使 GP ⊥ x軸 .現(xiàn)將△ QPG沿 PA方向以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移 ,當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) A時(shí)停止 .記平移后 的△ QPG為△ Q39。P39。G39。,設(shè)△ Q39。P39。G39。與△ ADC的重疊部分面積為 S,當(dāng)點(diǎn) Q39。到 x軸的距離與點(diǎn) Q39。到直 線 AW的距離相等時(shí) ,求 S的值 . 343 39 ,02?????? 3圖 1 圖 2 解析 (1