【正文】 函數(shù)的解析式為 y=? (x0). 解方程組 ? 得 ? 或 ? (舍去 ) ∴ 點 C的坐標為 ? . (3)作點 D關(guān)于 y軸的對稱點 E,則 E(1,1),連接 CE交 y軸于點 M,點 M即為所求 .設(shè)直線 CE的解析式 為 y=kx+b(k≠ 0),則 ? 解得 ? ∴ 直線 CE的解析式為 y=(2? 3)x+2? 2. 當 x=0時 ,y=2? 2,∴ 點 M的坐標為 (0,2? 2). 1x3,1yxy x???? ???3 ,33xy? ??????3 ,33.xy? ????????3 ,33??????3 3,31,kbkb? ?????? ? ??2 3 3 ,2 3 2 .kb? ??????3 33 3考點二 反比例函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022浙江溫州 ,9,4分 )如圖 ,點 A,B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 ,點 C,D在反比例函數(shù) y=? (k0,x0)的圖象上 ,AC∥ BD∥ y軸 .已知點 A,B的橫坐標分別為 1,2,△ OAC與△ ABD的面積之和 為 ? ,則 k的值為 ? ( ) ? D.? 1x kx3232答案 B ∵ 點 A,B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , 且點 A,B的橫坐標分別是 1,2, ∴ A(1,1),B? . ∵ AC∥ BD∥ y軸 , ∴ 點 C與點 A的橫坐標相同 ,點 D與點 B的橫坐標相同 , ∵ 點 C,D在反比例函數(shù) y=? (k0,x0)的圖象上 , ∴ C(1,k),D? , 延長 CA、 DB分別與 x軸交于點 E、點 F, 則 S△ OAC=S△ OCES△ OAE=? ? . 易知 S△ ABD=? ? (21)=? ? , ∴ S△ OAC+S△ ABD=? ? +? ? =? ? =? ,∴ k=3. 1x12,2??????kx2,2k??????2k 1212 122k???????4k 142k 12 4k 14 34k 34 322.(2022重慶 ,11,4分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,菱形 ABCD的頂點 A,B在反比例函數(shù) y=? (k 0,x0)的圖象上 ,橫坐標分別為 1,4,對角線 BD∥ x軸 .若菱形 ABCD的面積為 ? ,則 k的值為 ? ( ) ? A.? B.? kx45254 154答案 D 連接 AC,設(shè) AC與 BD、 x軸分別交于點 E、 F. ? 已知 A、 B的橫坐標分別為 1,4,∴ BE=3,∴ BD=6. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ S菱形 ABCD=? ACBD=? , ∴ AC=? ,∴ AE=? . 設(shè)點 B的坐標為 (4,m),則 A點坐標為 ? . ∵ 點 A、 B都在函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ 4m=1? ,∴ m=? . 12 452152 154151, 4m???????kx154m???????54∴ B點坐標為 ? ,∴ k=5,故選 D. 54,4??????思路分析 根據(jù) A、 B的橫坐標求出 BD的長 ,利用菱形的面積公式求出 AC的長 ,設(shè)點 B的坐標 為 (4,m),用 m表示出點 A的坐標 ? .利用反比例函數(shù)圖象上點的橫縱坐標乘積為 k構(gòu)造方 程求出 m,進而求出 k. 151, 4m???????3.(2022廣東廣州 ,9,3分 )一次函數(shù) y=ax+b和反比例函數(shù) y=? 在同一直角坐標系中的大致圖 象是 ? ( ) ? abx?思路分析 分別根據(jù)各選項中的一次函數(shù)圖象 ,對 a、 b的正負情況進行判斷 ,再取 x=1,從圖象 判斷此時一次函數(shù)值與 0的大小關(guān)系 ,由此得到 ab的正負情況 ,從而知道反比例函數(shù)圖象所處 象限 ,作出正確判斷 . 答案 A (1)由題圖 A、 B可知一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限 ,則 a0,b0,當 x=1時 ,y= a+b,此時 y0,所以 a+b0,即 ab、三象限 .A正確 ,B錯誤 . (2)由題圖 C、 D可知一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限 ,則 a0,b0,當 x=1時 ,y=a+b,此時 y 0,所以 a+b0,即 ab、四象限 .C,D錯誤 .故選 A. 方法總結(jié) 解二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的相關(guān)問題時 ,我們經(jīng)常碰到根據(jù)圖象求 ab+c的范 圍 ,其實求的就是當 x=1時 ,函數(shù)值的范圍 .類似地 ,在本題中我們也要判斷 ab的范圍 ,所以令一 次函數(shù) y=ax+b中的 x=1,就可以由 y的范圍判斷 ab的范圍了 . 4.(2022江蘇連云港 ,8,3分 )如圖 ,△ ABC的三個頂點分別為 A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函數(shù) y=? 在第 一象限內(nèi)的圖象與△ ABC有交點 ,則 k的取值范圍是 ? ( ) ? ≤ k≤ ? ≤ k≤ 10 ≤ k≤ 6 ≤ k≤ ? kx494 252答案 A 若反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點 A(1,2),則 k= BC的表達式為 y=mx+b,則 ? 解得 ? 所以直線 BC的表達式為 y=x+7,若反比例函數(shù)圖象與直線 BC有交點 ,則反比例函 數(shù)圖象與直線 BC的交點橫坐標 x滿足 ? =x+7,即 x27x+k=0,由 Δ=b24ac=494k≥ 0,得 k≤ ? ,當 k= ? 時 ,可求得反比例函數(shù)的圖象與直線 BC的交點坐標是 ? ,該點在線段 BC上 .故當 2≤ k≤ ? 時 ,反比例函數(shù)的圖象與△ ABC有交點 ,故選 A. 2 5 ,6 1,mbmb???? ???1, ???? ??kx 494494 77,22??????4945.(2022湖北黃岡 ,19,6分 )如圖 ,反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點 A(3,4),直線 AC與 x軸交于點 C (6,0),過點 C作 x軸的垂線 BC交反比例函數(shù)圖象于點 B. (1)求 k的值與 B點的坐標 。 (2)在平面內(nèi)有點 D,使得以 A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形 ,試寫出符合條件的所有 D點的坐標 . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點 A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點 B的橫坐標為 6, ∵ 點 B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點 B的縱坐標為 2. ∴ 點 B的坐標為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點為頂點的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線段 BC的中點坐標為 (6,1),該點是線段 AD3 的中點 ,所以點 D3的坐標為 (9,2).故 D點的坐標為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12x12x1266.(2022吉林 ,22,7分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,直線 AB與函數(shù) y=? (x0)的圖象交于點 A(m,2),B (2,n).過點 A作 AC平行于 x軸交 y軸于點 C,在 y軸負半軸上取一點 D,使 OD=? OC,且△ ACD的面積 是 6,連接 BC. (1)求 m,k,n的值 。 (2)求△ ABC的面積 . ? kx12解析 (1)∵ 點 A的坐標為 (m,2),AC平行于 x軸 , ∴ OC=2,AC⊥ y軸 ,∵ OD=? OC,∴ OD=1.∴ CD=3. ∵ △ ACD的面積是 6,∴ ? CDAC=6. ∴ AC=4.? (2分 ) ∴ m=4.? (3分 ) ∵ 點 A(4,2)在 y=? 的圖象上 , ∴ k=42=8.? (4分 ) ∵ 點 B(2,n)在 y=? 的圖象上 ,∴ n=4.? (5分 ) (2)如圖 ,過點 B作 BE⊥ AC于點 E,則 BE=2.? (6分 ) ? 1212kx8x∴ S△ ABC=? ACBE=? 42=4. ∴ △ ABC的面積為 4.? (7分 ) 12 127.(2022湖南湘西 ,22,8分 )如圖 ,已知反比例函數(shù) y=? 的圖象與直線 y=x+b都經(jīng)過點 A(1,4),且該 直線與 x軸的交點為 B. (1)求反比例函數(shù)和直線的解析式 。 (2)求△ AOB的面積 . ? kx解析 (1)把 A(1,4)代入 y=? 得 k=14=4, 所以反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 把 A(1,4)代入 y=x+b得 1+b=4,解得 b=5, 所以直線的解析式為 y=x+5. (2)當 y=0時 ,x+5=0,解得 x=5,則 B(5,0), 所以△ AOB的面積 =? 54=10. kx4x12思路分析 (1)把 A點坐標分別代入 y=? 和 y=x+b中求出 k和 b,即可得到兩函數(shù)解析式 .(2)利用 一次函數(shù)解析式求出 B點坐標 ,然后根據(jù)三角形面積公式求解 . kx8.(2022湖南株洲 ,24,8分 )平行四邊形 ABCD的兩個頂點 A、 C在反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象 上 ,點 B、 D在 x軸上 ,且 B、 D兩點關(guān)于原點對稱 ,AD交 y軸于 P點 . (1)已知點 A的坐標是 (2,3),求 k的值及 C的坐標 。 (2)若△ APO的面積為 2,求點 D到直線 AC的距離 . ? kx解析 (1)∵ 點 A的坐標是 (2,3),平行四邊形 ABCD的兩個頂點 A、 C在反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的 圖象上 ,∴ k的值是 6,∴ C點的坐標是 (2,3). (2)∵ △ APO的面積為 2,點 A的坐標是 (2,3),∴ 2=? ,得 OP=2,設(shè)過點 P(0,2)、點 A(2,3)的直線 的解析式為 y=ax+b(a≠ 0),則 ? 解得 ? 即直線 PA的解析式為 y=? x+2,將 y=0代入 y= ? x+2,得 x=4,∴ OD=4,∵ A(2,3),C(2,3),∴ AC=? =2? ,設(shè)點 D到直線 AC的距 離為 m,∵ S△ ACD=S△ ODA+S△ ODC,∴ ? =? +? ,解得 m=? ,即點 D到直線 AC的距離是 ? . kx22OP?2,2 3,b ab??? ??? 1 ,22,ab? ??????121222( 3 3) ( 2 2)?? ???132 132 m? 432? 432? 1 2 1 3131 2 1 3139.(2022北京 ,23,5分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=kx+b(k≠ 0)與雙曲線 y=? 的一個交點為 P (2,m),與 x軸、 y軸分別交于點 A,B. (1)求 m的值 。 (2)若 PA =2AB,求 k的值 . 8x解析 (1)∵ 雙曲線 y=? 過點 P(2,m), ∴ m=4. (2)由題意可知 ,k0. 當直線經(jīng)過第一、二、三象限時 ,如圖 1. ? 圖 1 過點 P作 PH⊥ x軸于點 H,可得△ PHA∽ △ BOA, ∵ PA =2AB,∴ ? =? =2.∵ PH=4,∴ OB=2. 8xPHBO PABA∴ 點 B的坐標為 (0,2). 由直線經(jīng)過點 P,B,可得 k=1. 當直線經(jīng)過第一、三、四象限時 ,如圖 2. ? 圖 2 同理 ,由 PA =2AB,可得點 B的坐標為 (0,2). 由直線經(jīng)過點 P,B,可得 k=3. 綜上所述 ,k=1或 k=3. 10.(2022安徽 ,21,12分 )如圖 ,已知反比例函數(shù) y=? 與一次函數(shù) y=k2x+b的圖象交于 A(1,8),B( 4,m). (1)求 k k b的值 。 (2)求△ AOB的面積 。 (3)若 M(x1,y1)、 N(x2,y2)是反比例函數(shù) y=? 圖象上的兩點 ,且 x1x2,y1y2,指出點 M、 N各位于哪個 象限 ,并簡要說明理由 . ? 1kx1kx解析 (1)把 A(1,8),B(4,m)分別代入 y=? ,得 k1=8,m=2.∵ A(1,8),B(4,2)在 y=k2x+b圖象上 , ∴ ? 解得 ? ? (5分 ) (2)設(shè)直線 y=2x+6與 x軸交于點 C,當 y=0時 ,x=3, ∴ OC=3.∴ S△ AOB=S△ AOC+S△ BOC=? 38+? 32=15.? (8分 ) (3)點 M在第三象限 ,點 N在第一象限 .? (9分 ) 理由如下 : ① 若 x1x20,點 M、 N在第三象限分支上 ,則 y1y2,不合題意 。 ② 若 0x1x2,點 M、 N在第一象限分支上 ,則 y1y2,不合題意