【正文】 82581.(2022天津紅橋一模 ,11)如圖 ,A、 B、 C、 D四個點均在☉ O上 ,∠ AOD=50176。,AO∥ DC,則 ∠ B的 度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 考點三 圓內(nèi)接三角形、四邊形 答案 D 連接 AD, ? ∵ OA=OD,∠ AOD=50176。, ∴∠ ADO=? =65176。, ∵ AO∥ DC, ∴∠ ODC=∠ AOD=50176。, ∴∠ ADC=∠ ADO+∠ ODC=115176。, ∴∠ B=180176?！?ADC=65176。. 故選 D. 180 2 AOD???2.(2022吉林長春 ,12)如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,點 E在 AB的延長線上 ,BF是 ∠ CBE 的平分線 ,∠ ADC=110176。,則 ∠ FBE= . ? 答案 55176。 解析 ∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∠ ADC=110176。, ∴∠ CBE=∠ ADC=110176。, ∵ BF是 ∠ CBE的平分線 , ∴∠ FBE=? ∠ CBE=55176。, 故答案為 55176。. 123.(2022天津和平質(zhì)檢 ,21)在△ ABC中 ,∠ A=68176。,以 AB為直徑的☉ O與 AC,BC的交點分別為 D,E. (1)如圖① ,求 ∠ CED的大小 。 (2)如圖② ,當 DE=BE時 ,求 ∠ C的大小 . ? 解析 (1)∵ 四邊形 ABED是圓內(nèi)接四邊形 , ∴ 四邊形 ABED的任意一個外角等于它的內(nèi)對角 ,∴∠ CED=∠ A. ∵∠ A=68176。,∴∠ CED=68176。. (2)連接 AE, ? ∵ DE=BE, ∴ ?=?, ∴∠ DAE=∠ EAB=? ∠ CAB=? 68176。=34176。. ∵ AB為直徑 , ∴∠ AEB=90176。. ∴∠ AEC=90176。. ∴∠ C=90176?！?DAE=90176。34176。=56176。. DE︵ BE︵12 121.(2022黑龍江哈爾濱南崗一模 ,9)如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,AB為☉ O的直徑 ,點 C為 ? 的 中點 ,若 ∠ DAB=50176。,則 ∠ ABC的大小是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 BD︵一、選擇題 (每小題 3分 ,共 18分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :45分 ) 答案 C 連接 OC,OD, ? ∵ 點 C為 ? 的中點 , ∴∠ BOC=? ∠ BOD,又 ∠ BAD=? ∠ BOD, ∴∠ BOC=∠ DAB=50176。, ∵ OC=OB, ∴∠ ABC=∠ OCB=? =65176。, 故選 C. BD︵12 12180 2 BOC???2.(2022貴州黔南州一模 ,11)如圖 ,在☉ O中 ,OA⊥ BC,∠ AOB=70176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ OA⊥ BC,∴ 由垂徑定理得 ,? =?, ∵∠ AOB=70176。,∴∠ ADC=? ∠ AOB=35176。. 故選 B. AB︵ AC︵123.(2022四川內(nèi)江資中一模 ,12)在半徑等于 5 cm的圓內(nèi)有長為 5? cm的弦 ,則此弦所對的圓周 角為 ? ( ) 176。 176?；?120176。 176。 176。或 120176。 3答案 D 連接 OA,OB,在優(yōu)弧 AB上任取一點 E,連接 AE,BE,在劣弧 AB上任取一點 F,連接 AF, BF, 過 O作 OD⊥ AB,則 D為 AB的中點 , ? ∵ AB=5? cm,∴ AD=BD=? AB=? cm, 又 OA=OB=5 cm,OD⊥ AB, ∴ OD平分 ∠ AOB,即 ∠ AOD=∠ BOD=? ∠ AOB, ∴ 在直角三角形 AOD中 , sin∠ AOD=? =? , ∴∠ AOD=60176。, 312 53212ADOA 32∴∠ AOB=120176。, 又圓心角 ∠ AOB(小于 180176。的 ∠ AOB)與圓周角 ∠ AEB所對的弧都為劣弧 AB, ∴∠ AEB=? ∠ AOB=60176。, ∵ 四邊形 AEBF為圓 O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ AFB+∠ AEB=180176。, ∴∠ AFB=180176?！?AEB=120176。, 則此弦所對的圓周角為 60176。或 120176。. 故選 D. 124.(2022陜西西安三十九中 ,9)如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,弦 DC垂直 AB于點 E,∠ DCB=30176。,EB=3,則 弦 AC的長為 ? ( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3答案 D 連接 OC, ? ∵ 弦 DC垂直 AB于點 E,∠ DCB=30176。, ∴∠ ABC=60176。, ∵ OB=OC,∴ △ BOC是等邊三角形 , ∵ EB=3, ∴ CB=OB=6, ∴ AB=12, ∵ AB為☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。, 在 Rt△ ACB中 ,AC=ABsin 60176。=12? =6? . 故選 D. 32 35.(2022天津河西 ,11)已知 A,B,C是☉ O上的三個點 ,四邊形 OABC是平行四邊形 ,那么下列結(jié)論 中錯誤的是 ? ( ) ? A.∠ AOC=120176。 OABC一定是菱形 AC,則 AC=? OA AC、 BO,則 AC與 BO互相垂直平分 2答案 C 連接 OB,AC, ? ∵ 四邊形 OABC是平行四邊形 ,OA=OC, ∴ 四邊形 OABC一定是菱形 , ∴ AC、 BO互相垂直平分 , ∵ OB=OC, ∴ △ BCO是等邊三角形 , ∴∠ BCO=60176。, ∴∠ AOC=120176。,∠ OAC=30176。, ∴ ? AC=? OA,∴ AC=? OA. 故選 C. 12 3236.(2022遼寧撫順 ,10)如圖 ,正方形 ABCD和正三角形 AEF都內(nèi)接于☉ O,EF與 BC、 CD分別相交 于點 G、 H,則 ? 的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? EFGH62 2 3答案 C 如圖 ,連接 AC、 BD、 OF,設(shè) AC與 EF相交于點 I,易知 AC與 BD交于點 O, ? 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 OF=r, ∵ △ AEF為正三角形 ,且內(nèi)接于☉ O, ∴ AO平分 ∠ EAF,且 ∠ EAF=60176。, ∴∠ OAF=30176。, ∵ OA=OF, ∴∠ OFA=∠ OAF=30176。, ∴∠ COF=30176。+30176。=60176。, 易得△ IOF為直角三角形 , ∴ FI=rsin 60176。=? r, 32∴ EF=? r2=? r, ∴ AI=? r,∴ OI=? r, ∴ CI=r? r=? r, 又易知 AC⊥ EF,AC⊥ BD,∴ EF∥ BD, ∴ ? =? =? , ∴ GH=? BD=? 2r=r, ∴ ? =? =? ,故選 C. 32332 1212 12GHBD CICO1212 12EFGH 3 rr 37.(2022湖北武漢武昌一模 ,21)如圖 ,銳角三角形 ABC內(nèi)接于☉ O,若☉ O的半徑為 6,sin A=? ,則 BC的長是 . ? 23二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 答案 8 解析 過 C作☉ O的直徑 CD,連接 BD, 則 CD=26=12,∠ CBD=90176。,∠ D=∠ A, ∴ BC=CDsin D=CDsin A=12? =8. ? 238.(2022四川瀘州瀘縣一診 ,13)已知☉ O的半徑為 4 cm,則☉ O的內(nèi)接正三角形的周長是 cm. 答案 12? 3解析 如圖 , ? ∵ △ ABC是半徑為 4 cm的☉ O的內(nèi)接正三角形 , ∴ AD⊥ BC,OB=4 cm,∠ OBD=? ∠ ABC=30176。, ∴ BD=cos 30176。OB=? 4=2? cm, 又易知 BD=CD, ∴ BC=2BD=4? cm, 即正三角形 ABC的邊長為 4? cm, ∴ ☉ O的內(nèi)接正三角形的周長是 4? 3=12? cm. 12323333 39.(2022黑龍江哈爾濱南崗一模 ,24)如圖 ,點 E在菱形 ABCD的對角線 BD上 ,連接 AE,且 AE=BE,☉ O是△ ABE的外接圓 ,連接 OB. (1)求證 :OB⊥ BC。 (2)若 BD=? ,tan∠ OBD=2,求☉ O的半徑 . ? 3 2 55三、解答題 (共 21分 ) 解析 (1)證明 :連接 OA、 OE,設(shè) OE交 AB于 F, ? ∵ AE=BE,∴∠ AOE=∠ BOE, ∵ OA=OB,∴ OE⊥ AB, ∴ AF=BF,∠ OFB=∠ BFE=90176。, ∴∠ BEF+∠ EBF=90176。, ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ CBD=∠ ABD, ∵ OB=OE, ∴∠ OBE=∠ OEB, ∴∠ OBE+∠ CBD=90176。, ∴∠ OBC=90176。, ∴ OB⊥ BC. (2)連接 AC,交 BD于 G, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AB=BC,AC⊥ BD,BG=? BD=? , 12 1 6 55∴∠ BGC=90176。, ∴∠ GCB+∠ GBC=90176。, ∵∠ OBD+∠ CBG=90176。, ∴∠ GCB=∠ OBD, 在 Rt△ BCG中 ,tan∠ GCB=tan∠ OBD=2, ∴ ? =2,∴ CG=? , ∴ BC=? =? =8, ∴ AB=8,∴ BF=4, 在 Rt△ BEF中 ,tan∠ BEF=tan∠ OBD=2, ∴ ? =2,∴ EF=2, 設(shè)☉ O的半徑為 r, 在 Rt△ BOF中 ,OF2+BF2=OB2, 即 (r2)2+42=r2,解得 r=5, BGCG 85522CG BG? 228 5 1 6 555? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?BFEF即☉ O的半徑為 5. 10.(2022天津河西 ,21)在△ ABC中 ,以 AC邊為直徑的☉ O交 BC于點 D,在劣弧 AD上取一點 E使 ∠ EBC=∠ DEC,延長 BE交 AC于點 G,交☉ O于點 H. (1)求證 :AC⊥ BH。 (2)若 ∠ ABC=45176。,☉ O的直徑等于 10,BD=8,求 CE的長 . ? 解析 (1)證明 :連接 AD, ∵∠ DAC=∠ DEC,∠ EBC=∠ DEC, ∴∠ DAC=∠ EBC, ∵ AC是☉ O的直徑 , ∴∠ ADC=90176。, ∴∠ DCA+∠ DAC=90176。, ∴∠ EBC+∠ DCA=90176。, ∴∠ BGC=180176。(∠ EBC+∠ DCA)=180176。90176。=90176。, ∴ AC⊥ BH. ? (2)∵∠ BDA=180176?！?ADC=90176。,∠ ABC=45176。, ∴∠ BAD=45176。,∴ BD=AD, ∵ BD=8,∴ AD=8, 在 Rt△ ADC中 ,AD=8,AC=10, ∴ DC=6,∴ BC=BD+DC=14, ∵∠ EBC=∠ DEC,∠ BCE=∠ ECD, ∴ △ BCE∽ △ ECD, ∴ ? =? ,即 CE2=BCCD=146=84, ∴ CE=? =2? . BCCE CECD84